- •1. Дайте определение предела послед-и. Приведите примеры: а) послед-и, сходящейся к числу 3; б) ограниченной послед-и, не имеющей предела.
- •3. Докажите, что сходящаяся послед-ь имеет только один предел
- •4. Докажите ограниченность сход послед-и
- •5. Дайте определение послед-и, ограниченной снизу. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02
- •6. Что можно сказать о пределе суммы двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, сумма которых сходится.
- •7. Что можно сказать о пределе произведения двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, произведение которых сходится.
- •9. Дайте определение бесконечно малой (бм) послед-и. Приведите примеры бм послед-ей, отношение которых: а) является бм послед-ью; б) не является бм послед-ью.
- •10. Докажите, что произведение бм и ограниченной послед-ей является бм послед-ью.
- •13. Всякая ли неограниченная послед-ь является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.
- •14. Приведите пример двух бесконечно больших послед-ей, сумма которых является бесконечно малой послед-ью.
- •15. Дайте определение убывающей послед-и. Что можно сказать о пределе убывающей послед-и, если она: а) ограничена снизу; б) не ограничена? Ответ обоснуйте.
- •17. Докажите, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если последние существуют.
- •32. Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке?
- •34. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций.
- •40. Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей.
- •41. Дайте опред и сформул необх усл лок экстремума ф-ии одной переменной. Прив прим ф-ии, для котор это усл выполнено в нек т, но экстремум отсутствует.
- •45. Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из этой теоремы утверждение теоремы Лагранжа.
- •62. Дайте определение однородной функции нескольких переменных. Приведите пример однородной функции f (X, y) степени 3, не являющейся рациональной функцией.
- •70. Дайте определение выпуклого множества в Rn . Приведите примеры выпуклых множеств в r2 , объединение которых: а) является выпуклым множеством; б) не является выпуклым множеством.
- •71. Докажите, что пересечение двух выпуклых множеств u , V . R2 является выпуклым множеством.
- •73. Дайте определение первообразной. Может ли первообразная иметь точку разрыва?
- •77. Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
- •78. Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла.
- •82. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона - Лейбница для определенного интеграла.
- •83. Докажите, что для любых непрерывных на отрезке [a,b] функций f (X) и g(X) справедливо равенство
- •91. Дайте определения числового ряда и его суммы. Найдите сумму ряда
- •92. Рассмотрев последовательность частичных сумм ряда, докажите, что при ряд расходится.
- •93. Может ли ряд cходиться, если ряд сходится, а ряд
- •96. Докажите, что для сходимости ряда n, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
- •97 Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.
- •98 Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сход ряда с положит членами, к кот этот признак применим.
- •100 Сформулируйте признак Лейбница для знакочеред числовых рядов. Приведите пример знакочеред ряда, сход условно.
- •114 Дайте определение лин дифф ур 2 ого порядка. Док-те, что если y1(X) и y2(X) решения лнду, то их разность y1(X)-y2(X) явл решением соответ дифф Ур-я.
9. Дайте определение бесконечно малой (бм) послед-и. Приведите примеры бм послед-ей, отношение которых: а) является бм послед-ью; б) не является бм послед-ью.
Послед-ь {αn} называется бм, если lim (n→∞) αn = 0.
Для любого ε > 0, сущ. N, такое, что для любого n ≥ N | αn | < ε.
а) 1/n, 1/ ^4√n – бм послед-и: ^4√n/ n = n^-3/4 – бм послед-ь
б) n/ ^4√n = n^3/4 - не бм послед-ь
10. Докажите, что произведение бм и ограниченной послед-ей является бм послед-ью.
док-во:
Пусть {Хn} – ограниченная, а {αn} – бм послед-и. Доказать, что {Xn * αn} – бм. Так как {Хn} ограниченна, то существует число А > 0 такое, что любой элемент Хn удовлетворяет неравенству | Хn | ≤ А. Возьмем любое ε > 0. Поскольку {αn} – бм, то для положительного числа ε/А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство | αn | < ε/А. Тогда при n > N |Xn * αn | = |Xn| * | αn | < A * ε/A = ε. Это означает, что послед-ь {Xn * αn} – бм.
11. Докажите, что lim (n→∞) Xn = 0 тогда и только тогда, когда lim (n→∞) |Xn| = 0.
1) lim (n→∞) Xn = 0 => бм => для любого ε > 0, сущ. N, для любого n ≥ N: | Xn – a | < ε,
| Xn| < ε
2)||Xn| - a| <ε, || Xn || < ε, | Xn| < ε
12. Дайте определение бесконечно большой (бб) послед-и. Что означает запись «lim (n→∞) Xn = +∞»? Докажите, исходя из определения, что lim (n→∞) √n + 9 = +∞.
1) Послед-ь {Xn} называется бб, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство |Xn| > A. (lim (n→∞) Xn = ∞ ).
Для любого A > 0, сущ. N, для любого n ≥ N: |Xn| > A.
2) Если, начиная с некоторого номера, все Xn > 0, то lim (n→∞) Xn = +∞ (Xn > A).
3) √n + 9 > A => √n + 9 > 0 => lim (n→∞) √n + 9 = +∞; N = [A² - 9] + 1.
13. Всякая ли неограниченная послед-ь является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.
Любая бб послед-ь является неограниченной. Однако неограниченная послед-ь может и не быть бб послед-ью. Например, неограниченная послед-ь 1, 2, 1, 3 .., 1, n, 1, n + 1 … не является бб, поскольку при А > 1 неравенство |Xn| > A не имеет места для всех элементов Xn с нечетными номерами.
14. Приведите пример двух бесконечно больших послед-ей, сумма которых является бесконечно малой послед-ью.
{аn}= (n + 1) + 1/(2 ^n+1) : 2 + ¼; 3 + 1/8; 4 + 1/16… - бб послед. (Xn > 0 => lim (n→∞) Xn = + ∞)
{bn}= -(n+1): -2; -3; -4…- бб послед. (Xn < 0 => lim (n→∞) Xn = - ∞)
{an + bn}: ¼; 1/8; 1/16 – бм послед-ь
15. Дайте определение убывающей послед-и. Что можно сказать о пределе убывающей послед-и, если она: а) ограничена снизу; б) не ограничена? Ответ обоснуйте.
Послед-ь {Xn} – убывающая т. и т. т., когда для любого n Xn+1 < Xn
если Xn ограничена снизу, то lim (n→∞) Xn = a (inf X), мы имеем нижнюю грань
если Xn не ограничена, то lim (n→∞) Xn = - ∞, нет предела.
16. Дайте определение предела функции в точке. Найдите, исходя из определения , lim (x→1) (7x + 3)/x² + 7. Приведите пример функции, не имеющей предела в точке x = 1.
1) Число а называется пределом функции f (x) в точке X0 (или пределом при X→ X0) если для любой сходящейся к точке X0 послед-и значений аргумента, отличных от X0, соответствующая послед-ь значений функции сходится к числу а, т. е.
lim Xn = X0 (Xn ≠ X0) => lim f(Xn) = a; lim (X→ X0) f(x) = a.
2) lim (x→1) (7x + 3)/x² + 7 = 5/4
3) y = x/x - 1 – функция, не имеющая предела в точке X = 1 (уходит в разные стороны, дробно-линейная функция).