14) Определитель произведения матриц

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Определение через разложение по первой строке

Схема расчета определителя матрицы .

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы детерминант определяется как

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:

, где — дополнительный минор к элементу . Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

Свойства определителей

- Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.

- При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

- Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

- Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

- Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

- Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

- Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

- Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

- Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

- Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).

- С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

17) Многочлены от одного неизвестного и операции над ними

Многочлены от одного неизвестного. Общий вид уравнения n-ной степени (где n некоторое положительное число) есть: a0xN+a1x(N-1)+…+a(n-1)x+an=0. - многочленом n-ной степени от неизвестного х. Многочленом называется лишь выражение вида: a0xN+a1x(N-1)+…+a(n-1)x+an. то есть лишь сумма целых неотрицательных степеней неизвестного x, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами. В частности, мы не будем считать многочленами такие выражения, которые содержат неизвестное x с отрицательными или дробными показателями. Для сокращенной записи многочленов употребляются символы f(x), g(x) и так далее. Деление многочленов. Теория многочленов в определенном отношении похожа на теорию целых чисел, хотя внешне эти две теории не имеют ничего общего. Внутренняя же близость, схожесть этих теорий объясняется тем, что для многочленов, так же как и для целых чисел, можно определить деление и, что еще более важно, деление с остатком. f(x) ,g(x)/=0.q(x).Многочлен делится на многочлен , если существует такой многочлен , что выполняется равенство: f(x)=g(x)q(x). Для многочленов, как и для целых чисел, существует алгоритм деления с остатком. Теорема о делении с остатком. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) можно найти такие многочлены q(x) и r(x , что f(x)=g(x)q(x)+r(x), причем степень r(x) меньше степени g(x) или же r(x)=0. Многочлены q(x) и r(x), удовлетворяющие этому условию, определяются однозначно. f(x)-r1(x), s(x)=r1(x)-r(x). Если разности f(x)-r(x) и обе делятся наg(x), то их разность также делится наg(x). Если бы многочлен s(x) был ненулевым, то он имел бы степень меньшую, чем g(x), и не мог бы тогда делится наg(x). r1(x)=r(x) .Следовательно, s(x)=0, так что . В практической деятельности для нахождения частного и остатка применяют способ вычисления, называемый «деление углом». Деление многочлена на многочлен с остатком. Теорема 2.3 Для любого полинома f(x) и любого полинома g(x) = 0 существуют полиномы q(x) и r(x), удовлетворяющие двум условиям: f(x) = g(x)q(x) + r(x) и deg r(x) < deg g(x) Полиномы q(x) и r(x) определяются однозначно. Полиномы q(x) и r(x) называют соответственно частным и остатком от деления f(x) на g(x). В частности, если здесь положить g = x − λ, то r- константа и мы получаем в Теорема 2.4 (Безу) Значение полинома f(x) в точке λ равно остатку от деления f(x) на λ: f(λ) = r. На практике деление с остатком выполняют ¾уголком¿, однако част- ный случай деления многочлена p(x) = a0xn + a1xn−1 + ... + an−1x + an на двучлен x−λ удобнее осуществлять по схеме Горнера, даже если нам нужен только лишь остаток от деления, то есть значение p(λ). Схема получается простым сравнением коэффициентов при одинаковых степенях при раскрытии скобок в правой части тождества a0xN + a1x(N-1) + . . . + an = (x − λ)(b0x(N−1)+ b1x(N−2) + . . . + bn−1) + r Делители многочлена .Делитель многочлена f(x) - многочлен g(x), такой, что f(x) = g(x)q(x). Наибольший общий делитель двух многочленов. Наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) - такой их общий делитель d(x), который делится на любой другой их общий делитель. Алгоритм Евклида (алгоритм последовательного деления) нахождения наибольшего общего делителя многочленов f(x) и g(x): f(x)=g(x)q1(x)+r1(x), g(x)=r1(x)q2(x)+r2(x), r1(x)=r2(x)q3(x)+r3(x), ……………………………….. r(k-3)(x)=r(k-2)(x)+r(k-1)(x), r(k-2)(x)=r(k-1)(x)qk(x)+rk(x), r(k-1)(x)=rk(x)q(k+1)(x). Тогда rk(x) - наибольший общий делитель f(x) и g(x).