- •Раздел 8. Функции многих переменных. §. Воспоминания о будущем.
- •§. Определение функции многих переменных.
- •§. Повторные пределы (на примере функций двух переменных).
- •§. Непрерывные функции.
- •§. Функции непрерывные в области.
- •§. Равномерная непрерывность функции на множестве.
- •§. Компактные множества в Еn.
§. Определение функции многих переменных.
Def: Если в Еn задано правило по которому, каждой точке пространства поставлено в соответствие число , то говорят, что в Еn задано вещественно – значная функция n переменных .
Def: Областью определения функции называется множество точек евклидового пространства, для которых задано значение функции. Областью значений функции называется множество вещественных чисел, являющихся образами точек евклидового пространства.
Def: Число А называется пределом функции f (P) при если:
.
Тº. Пусть и D(f) = M. Для того, чтобы существовал необходимо и достаточно, чтобы , числовая последовательность .
Пример:
1). Для нахождения , рассмотрим последовательность:
, а не существует.
2º). т.к. .
§. Повторные пределы (на примере функций двух переменных).
1º). Пусть . Требуется найти двойной предел: .
Рассмотрим:
а). . б). .
Найденные пределы функции называются повторными пределами.
Т.к. повторные пределы различны, то не существует.
2º). Пусть . Требуется найти двойной предел: .
а). ; б). .
Последний из повторных пределов, а вместе с ним и двойной не существует.
Примеры показывают, что при перестановке двух предельных переходов следует быть очень осторожным.
Тº. Если: 1) Существует (конечный или нет) двойной предел: ;
При любом существует (конечный) предел по х: ,
то существует и повторный предел: , равный двойному Δ▲.
Однако, не следует думать, что существование двойного предела необходимо для равенства повторных:
Пример: , как было установлено, не существует, а повторные пределы существуют , и равны между собой.
§. Непрерывные функции.
Def: Функция называется непрерывной в точке Р0, если или, что тоже самое, . В противном случае говорят, что имеет разрыв в точке .
На языке ε – δ.
Def: Функция непрерывна в точке Р0, если или, что тоже самое, или
.
Если функция непрерывна, то она оказывается непрерывной по любой переменной, по любой паре переменных, …..
Пример: Если рассмотреть функцию , и учесть ранее установленный факт, что не существует, то получим пример функции, имеющей в точке точку разрыва.
Легко сформулировать и доказать теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения, частного двух непрерывных функций.
Тº . Пусть и, кроме того, .
Кроме того, пусть функции все непрерывны в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке с координатами .
Тогда и сложная функция: также
непрерывна в точке .
Δ. Сначала по определим и найдем такие что, из
следует , что и доказывает теорему.▲
§. Функции непрерывные в области.
Def: Функция непрерывна на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Тº. (аналог теоремы Больцано - Коши). Пусть функция непрерывна в связной области D и такие, что тогда в области существует точка , в которой .
Δ
• либо в какой – то вершине функция равна нулю и тогда теорема доказана.
• либо это не так и, следовательно, найдется отрезок ломаной, на котором функция имеет разный знак на концах. Переобозначим концы этого отрезка как .
Уравнение этого отрезка прямой имеет вид: .
Тогда, при движении вдоль прямой исходная функция становится функцией одного переменного t: , которая непрерывна, как суперпозиция непрерывных функций и к ней применима соответствующая теорема для функции одного переменного: .▲
1-я теорема Вейерштрасса. Если определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она ограничена на нем, т.е. .
Δ. От противного. Пусть неограниченна. Тогда .
Имеем последовательность . Из последовательности выберем сходящуюся подпоследовательность и т.к. предельная точка замкнутой области D, , то из непрерывности следует, что , что противоречит .▲
2-я теорема Вейерштрасса. Если определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения, т.е.
Δ. (Докажем для верхней границы). Пусть . Т.к. М - точная верхняя грань, то
Построена последовательность ; извлекаем из нее сходящуюся подпоследовательность . Тогда , ибо функция непрерывна и, кроме того, . В пределе , но больше быть не может . ▲