2.6.4 Анализ (расчет) сложных электрических цепей методом эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора относится к классу методов, основанных на принципе упрощения электрической схемы цепи – когда с помощью тех или иных методов преобразования сложная схема электрической цепи упрощается до простой электрической схемы, в которой можно найти искомый ток по закону Ома. Сущность метода эквивалентного генератора состоит в следующем: любая, сколь угодно сложная схема линейной электрической цепи, может быть представлена относительно двух своих узлов в виде простой цепи – последовательного соединения источника ЭДС с внутренним сопротивлением (активного двухполюсника) и сопротивления нагрузки; ток в такой цепи легко найти по закону Ома.

На рис. 2.8 представлена эквивалентная электрическая схема так называемого эквивалентного генератора. Она содержит эквивалентный генератор, состоящий из ЭДС эквивалентного генератора с внутренним сопротивлением (левая часть схемы рис. 2.8, выделенная штриховой линией) и нагрузку этого генератора .

Если к такой эквивалентной схеме привести анализируемую цепь рис. 2.7, то затем найти ток в этой цепи можно будет по закону Ома:

. (2.54)

Рис. 2.8. Электрическая схема эквивалентного генератора.

Для рассмотрения метода эквивалентного генератора используем первоначальную анализируемую схему рис. 2.1 в виде, показанном ранее на рис. 2.5, где источники тока и первоначальной схемы рис. 2.1 преобразованы в эквивалентные им источники ЭДС и на схеме рис. 2.5. Исключив в схеме рис. 2.5 обозначения направлений обхода контуров цепи, получим схему, показанную на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Эквивалентная схема анализируемой электрической цепи

В качестве искомого тока примем ток . После этого схему рис. 2.9 перерисуем и представим в виде, показанном на рис. 2.10.

На этом рисунке дополнительно введена точка , а анализируемая схема представлена так, чтобы было удобно рассматривать её относительно точек . Тогда эквивалентный генератор (левая относительно этих точек часть схемы) и его нагрузка (правая относительно этих точек часть схемы) будут соответствовать расположению этих элементов, принятых на рис. 2.8.

Рис. 2.10. Схема анализируемой цепи с сопротивлением , выделенным в качестве нагрузки эквивалентного генератора (искомый ток )

Для того, чтобы воспользоваться выражением (2.54) закона Ома для цепи, содержащей эквивалентный генератор и его нагрузку, необходимо привести левую относительно точек часть схемы сложной анализируемой цепи рис. 2.10 к виду, показанному на рис. 2.8 для эквивалентного генератора. Роль нагрузки схемы рис. 2.8 будет выполнять сопротивление схемы рис. 2.10.

Для преобразования схемы рис. 2.10 в схему рис. 2.8, следует определить ЭДС эквивалентного генератора и его внутреннее сопротивление .

Для определения ЭДС эквивалентного генератора , удалим сопротивление в схеме рис. 2.10, получившуюся схему покажем на рис. 2.11, а, а затем заменим её эквивалентной схемой рис. 2.11, б.

а б

Рис. 2.11. Схема анализируемой цепи в режиме холостого хода (а));

эквивалентная схема анализируемой цепи в виде схемы

эквивалентного генератора (б))

После таких преобразований, когда анализируемая цепь рис. 2.10 переведена в режим холостого хода относительно точек (рис. 2.11, а), естественно, режим её работы изменится: изменятся токи ветвей и падения напряжений на сопротивлениях. Это изменение режима работы цепи отражено на рис. 2.11, а тем, что все обозначения токов ветвей и падений напряжений на сопротивлениях имеют верхний индекс «штрих».

Установление режима холостого хода относительно точек приводит к тому, что ток во внешней цепи генератора, эквивалентного анализируемой цепи (рис. 2.11, б), равен нулю, падения напряжения на внутреннем сопротивлении генератора и все напряжение эквивалентного генератора оказывается приложенным к точкам и этой цепи. Таким образом, ЭДС эквивалентного генератора равно напряжению холостого хода анализируемой схемы относительно разомкнутых клемм схемы. То есть, условие обеспечения холостого хода в первой ветви рис. 2.10, ток которой следует определить, выглядит так:

, (2.55)

. (2.56)

Тогда можно найти ЭДС эквивалентного генератора , показанного на рис. 2.11, б, которое оказывается равным напряжению холостого хода (рис. 2.11, а):

, (2.57)

оно же оказывается равным напряжению (рис. 2.11 б):

, (2.58)

а падение напряжения на внутреннем сопротивлении эквивалентного генератора рис. 2.11, б при этом равно нулю:

. (2.59)

Выражение (2.58) показывает, каким образом можно определить напряжение холостого хода и эквивалентного генератора – они равны разности потенциалов между точками и схемы анализируемой цепи при холостом ходе в ветви определяемого тока. При этом остается определить указанные потенциалы любым известным методом расчета сложных электрических цепей.

Второй неизвестной величиной в выражении (2.54) является внутреннее сопротивление эквивалентного генератора. Для его определения необходимо найти входное сопротивление схемы рис. 2.11, а, которое и будет этим сопротивлением . При этом наличие источников ЭДС и источников тока не имеет значения для сопротивления схемы, так как их внутренние сопротивления равны, соответственно, либо нулю, либо бесконечности. Учитывая, что внутреннее сопротивление источников ЭДС нулевое и на величины сопротивлений ветвей не влияет, преобразуем схему рис. 2.11, а, содержащую источники ЭДС, в схему рис. 2.12, содержащую только сопротивления без источников.

Рис. 2.12. Схема анализируемой цепи без источников ЭДС для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора

Анализ схемы рис. 2.12 показывает, что в представленном виде эта схема не содержит последовательных и параллельных соединений. Соединения сопротивлений в этой схеме представляют собой звезды и треугольники:

- сопротивления , , , соединенные между собой в узле , соединены звездой;

- сопротивления , , , соединенные между собой в узле , также соединены звездой;

- сопротивления , , , соединены между собой треугольником;

- сопротивления , , , соединены между собой также треугольником.

Для преобразования сложной электрической цепи, схема которой содержит соединения сопротивлений треугольниками и звездами, проще всего преобразовать один из треугольников сопротивлений в эквивалентную ему звезду.

Для схемы рис. 2.12 преобразуем, например, треугольник сопротивлений , , в эквивалентную ему звезду. Это преобразование иллюстрируется рис. 2.13, a ,b.

В соответствии с правилом преобразования треугольника сопротивлений , , 2.13, a, в эквивалентную ему звезду , , 2.13, б, запишем сопротивления лучей звезды , , 2.13, б через сопротивления сторон треугольника , , 2.13, a:

, (2.60)

, (2.61)

. (2.62)

Образовавшийся при этом дополнительный узел является промежуточным и во всех последующих преобразованиях не участвует.

а б

Рис. 2.13. Преобразование треугольника сопротивлений (а) в

эквивалентную звезду (б)

После определения сопротивлений , , лучей звезды рис. 2.13, б, эквивалентной исходному треугольнику рис. 2.13, а сопротивлений , , , можно будет найти входное сопротивление схемы рис. 2.12 относительно точек . Это сопротивление и будет внутреннее сопротивление эквивалентного генератора схем рис. 2.8, рис. 2.11, б. Для этого схему рис. 2.12 необходимо перерисовать с учетом замены треугольника сопротивлений , , рис. 2.13, а на эквивалентную ему звезду сопротивлений , , , рис. 2.13, б. Такая схема показана на рис. 2.14. После преобразования треугольника сопротивлений , , на эквивалентную ему звезду сопротивлений , , , сопротивления и оказываются включенными последовательно, и их общее сопротивление равно:

. (2.63)

Рис. 2.14. Эквивалентная схема анализируемой цепи для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора

Сопротивления и также оказываются включенными последовательно между собой и их общее сопротивление равно их сумме:

. (2.64)

Полученные в выражениях (2.63) и (2.64) сопротивления и оказываются включенными между собой параллельно. Их общее сопротивление (относительно узлов и a) равно:

. (2.65)

Сопротивление оказывается включенным последовательно с сопротивлением (схема рис. 2.14). Их общее сопротивление относительно точек схемы рис. 2.14, рис. 2.12, рис. 2.11, а, оказывается равным внутреннему сопротивлению эквивалентного генератора рис. 2.11, б и рис. 2.8:

. (2.66)

После определения величины ЭДС эквивалентного генератора (2.58) и его внутреннего сопротивления (2.66), можно найти величину искомого тока из выражения (2.54):

. (2.67)

В описанном нами методе эквивалентного генератора внутреннее сопротивление эквивалентного генератора было получено путем преобразования исходной анализируемой схемы рис. 2.9 к виду рис. 2.11, б путем упрощения исходной схемы (2.60) – (2.66). Однако, существует другой способ расчета внутреннего сопротивления эквивалентного генератора – через использование параметров режимов холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ) на выходе цепи (относительно точек схемы, для которых определяется её сопротивление). Мы не будем подробно рассматривать этот способ определения величины , запишем только выражение для определения этого сопротивления через ток короткого замыкания и напряжение холостого хода :

, (2.68)

где режимы холостого хода и короткого замыкания определяются относительно точек схемы рис. 2.14.

Таким образом, найти входное сопротивление некоторой схемы относительно двух заданных точек схемы можно двумя основными путями: преобразованием сложной схемы в простую, или взяв отношение напряжения холостого хода к току короткого замыкания относительно заданных точек схемы.

Порядок расчета сложной электрической цепи методом эквивалентного генератора таков:

- сопротивление , включенное между двумя точками сложной электрической цепи, в котором необходимо найти ток , представляют нагрузкой и отключают от остальной части цепи, создав таким образом относительно этих точек цепи режим холостого хода с напряжением между ними;

- остальную часть сложной цепи представляют активным двухполюсником с некоторой ЭДС и внутренним сопротивлением , последовательное включение которых представляет собой эквивалентный генератор;

- любым известным способом рассчитывают величину ЭДС эквивалентного генератора как напряжение холостого хода относительно точек схемы, от которых отключено сопротивление с искомым током;

- величину внутреннего сопротивления генератора определяют либо как входное сопротивление схемы относительно точек цепи, от которых отключено сопротивление с искомым током, либо как отношение напряжения холостого хода к току короткого замыкания на этом же участке цепи;

- искомый ток находят как частное от ЭДС эквивалентного генератора на величину суммы внутреннего сопротивления эквивалентного генератора и сопротивления ветви с искомым током.