3. Рекомендації щодо рішення задач

Вказівки до виконання задачі №1

Розрахунок електричного кола постійного струму розглянемо на прикладі схеми наведеної на рис.1.1.

Рис.1.1

Перед складанням системи рівнянь кола на підставі правил Кірхгофа необхідно:

1. довільно обрати позитивні напрямки струмів у гілках кола та позначити їх для складання рівнянь кола за першим правилом Кірхгофа ;

2. довільно обрати позитивні напрямки обходу незалежних контурів для складання рівнянь кола за другим правилом Кірхгофа.

Для отримання лінійно незалежних рівнянь за першим правилом Кірхгофа система складається з кількості рівнянь які дорівнюють кількості вузлів без одного. За другим правилом Кірхгофа – з кількості рівнянь які дорівнюють кількості незалежних контурів. Складати рівняння за другим правилом Кірхгофа слід таким чином, щоб охопити усі гілки кола, виключивши гілки із джерелами струму.

Для схеми кола на рис.1.1 отримаємо:

Перетворення схеми електричного кола у схему з трьох контурів здійснюється шляхом заміни джерел струму джерелами електрорухомої сили.

Рис.1.2

В наведеній схемі рис.1.2 джерела струму та замінені джерелами електрорухомої сили з послідовним опором , та , з послідовним опором . Паралельно з’єднані гілки з елементами та замінимо еквівалентною гілкою з елементами (метод двох вузлів)

Послідовно з’єднані опори також підсумовані

Визначення струмів в гілках кола методом контурних струмів започатковано на припущенні, що у кожному незалежному контурі діють гіпотетичні струми які мають назву контурних. напрямок струмів обирається довільно. Так для трьох контурної схеми на рис.1.2 за другим правилом Кірхгофа отримаємо:

Вирішуючи систему рівнянь, знаходимо значення контурних струмів Дійсні значення струмів у гілках кола знаходяться з урахуванням їх обраних напрямків та напрямку контурних струмів. Так для трьох контурної схеми отримуємо:

Для оцінки достовірності розрахованих значень струмів у вихідній схемі кола складається рівняння балансу потужностей. Для складання цього рівняння слід розрахувати суму усіх потужностей споживаних опорами, тобто:

,

де k– започаткований номер опору, а n – їх загальна кількість. З іншого боку слід визначити суму усіх потужностей джерел живлення яка надсилається у електричне коло джерелами електрорухомої сили та струмів:

,

де k– започаткований номер джерела, а n – їх загальна кількість джерел.

Слід враховувати, що позитивним значенням складових потужностей відповідають співпадаючі напрями струмів та електрорухомих сил джерел, як зображено на рис.1.3.

Рис.1.3

Баланс потужності вважається задовільним при умові, що виконується тотожність . Допустима розбіжність у балансі не повинна перевищувати 1%.

Визначення потенціалів та побудова потенційної діаграми зовнішнього контуру електричного кола здійснюється наступним чином. Для започаткованої схеми електричного кола на рис.1.1.обирається напрямок обходу контуру. У будь-якому місці на контурі обирається точка, якій надається потенціал – нуль. Відносно цієї точки, з урахуванням обраного напрямку обходу контуру, визначаються потенціали після кожного елементу. Внутрішні опори джерел електрорухомої сили вважаємо нульовими, а джерел струму нескінченними. Так для прикладу кола на рис.1.1 отримаємо:

Рис.1.4

За отриманими значеннями потенціалів будується потенційна діаграма, рис.1.4. Вказівки до виконання задачі №2

Рівняння для розрахунку миттєвих значень струмів у електричному колі змінного струму складаються аналогічно до кіл постійного струму, але з урахуванням того, що падіння напруги визначаються наступним чином:

• на активному опорі

• на котушці індуктивності

• на конденсаторі

Рис.2.1

Так для схеми електричного кола наведеній на рис.2.1 і з урахуванням обраних напрямів струмів у гілках та обходу контурів, отримаємо:

Що стосується визначення діючих значень струмів у гілках кола, то на початку слід надати значення електрорухомих сил та опорів у комплексній формі за виразами:

Після цього можна скласти рівняння за правилами Кірхгофа, для прикладу, у вигляді:

Після підстановки значень величин у рівняння та вирішення, отримаємо значення струмів у комплексній формі, наприклад , де діюче значення становить .

Побудова векторної діаграми струмів сумісно з топологічною діаграмою потенціалів зовнішнього контуру кола виконується за обраним масштабом та таким чином, щоб вона була наочною на комплексній площині. Слід пам’ятати, що вектори струмів повинні складатися у замкнений трикутник, а різниці потенціалів на відповідних за характером опорах повинні здійснювати з ними відповідні їх характеру кути.

Для побудови топографічної діаграми позначимо літерами зовнішнє коло після кожного його елементу, як показано на рис.2.1. Приймаємо комплексний потенціал точка (а) та визначимо потенціали інших точок за обраним напрямком руху:

Розраховані значення потенціалів будуємо сумісно з векторною діаграмою струмів, рис.2.2.

Рис.2.2

Для визначення показань ватметру, яке залежить від напруги і струму прикладених до нього, то слід враховувати наступне. Позитивними вважаються струм і напруга, якщо вони співпадають за напрямком та генераторними затискачами ватметру, які вказані на рис.2.3. Якщо напрямок струму або напруги не співпадає з вказаними на рис.2.3, то їх значення обирають з протилежним знаком. Так для схеми на рис.2.1отримаємо.

Рис.2.3

Комплексно спряжене значення повної потужності щодо напруги і струму ватметру становить:

Звідки показання ватметру, яке дорівнюватиме реальній складовій комплексно спряженому значенню повної потужності визначиться наступним чином:

або

Вказівки до виконання задачі №3

Приклад застосування графоаналітичного методу щодо розрахунку магнітного кола з визначення величини магнітного потоку зовнішнього магнітного поля по відомій його намагнічуючий силі.

Рис.3.1

На рис.3.1 наведено магнітне коло, яке складається з чотирьох феромагнітних елементів, повітряних щілин та однієї котушки намагнічування.

Рис.3.2

Тобто магнітне коло має дві складові – одну з властивостями феромагнетику з нелінійною залежністю між магнітними потоком та падінням магнітної напруги - , та іншу з властивістю повітря, в якій ця залежність лінійна. На рис.3.2(а), для пояснення обраного методу рішення, наведено електричну схему заміщення магнітного кола, де нелінійні опори –феромагнетики, ВАХ яких – вебер амперна характеристика - задано однаковою і наведено на рис.3.2(б). Інші опори – лінійні і відповідають повітряним щілинам.

Першою дією на шляху розрахунку є побудова вебер амперних характеристик кожної феромагнітної ділянки кола, тобто Значення магнітного потоку визначають за виразом падіння магнітної напруги - де поточні значення величин за характеристикою переріз та довжина кожної ділянки магнітного кола. За отриманими (д=4, у прикладі на рис.3.1) вебер амперними характеристиками ділянок магнітного кола, які з’єднані послідовно будується підсумкова вебер амперна характеристика рис.3.3. Результати розрахунку зведені до таблиці.

	22,4	24	25,3	25,9	26,2	26,4
	960	1140	1920	2440	2840	3320

Рис.3.3

Вебер амперна характеристика повітряних щілин лінійна залежність та згідно до другого методу розрахунку нелінійних електричних кіл постійного струму маже бути побудована наступним чином. За другим законом Кірхгофа щодо магнітного кола можливо записати рівняння магнітної рівноваги у вигляді:

де опір повітряних щілин на шляху магнітного потоку

Якщо в рівнянні рівноваги прийняти магнітний потік Ф=0, то це можливо при умові, що

Якщо прийняти падіння магнітної напруги то в цьому випадку магнітний потік становитиме

Таким чином лінійну вебер амперну характеристику проводимо за двома точками ( , ( рис.3.3. Проекція точки (С) перехрестя вебер амперних характеристик на вісь ординат – потоку, дає його значення, а саме: Відповідне йому значення магнітної індукції становить

При виконанні окремих пунктів задачі №4 слід використовувати теоретичний матеріал підручників, вказаний на окремих сторінках рекомендованої літератури (таблиця 7).

Сторінки рекомендованої літератури до виконанні задачі №4 Таблиця 7

Підручник	1	2	3	4	5	6
Пункти завдань
1	165-171	225-255	159-165	297-304	370-373	299-302
2,3	172-173	231-233	165-168	314-318	374-376	302-303
4	175-176	237-238	171-176	322-323	378-379	307-308
5	154-175	234-236	168-170	313-314	377-378	306-307

Вказівки до виконання задачі №4

Для зображення наданої періодичної не синусоїдної функції напруги у вигляді тригонометричного ряду Фур’є можна використовувати табличне розкладання подібних кривих, які наведені у [2,3]. Деякі з наданих кривих напруги у функції часу можуть відрізнятися від табличних аналогів наявністю постійної складової. Якщо у таблицях розкладання відсутня потрібна функція, то можна використовувати графоаналітичний метод розкладання.

Наприклад, розглянемо періодичну не синусоїдну величину електрорухомої сили надану у вигляді функції часу, рис.4.1. Поділимо період функції на однакових інтервалів довжини . Відповідно до масштабу величини , наприкінці кожного інтервалу визначимо значення електрорухомої сили - У цьому випадку амплітуди гармонічних складових ряду Фур’є становлять:

Що стосується амплітуд вищих гармонік , то вони становлять: або:

=

Складові суми підкореного виразу, а саме де можна розглядати як проекції на вертикальну і горизонтальну вісі прямокутної системи координат відрізків рис.4.1, розташованих по відношенню до горизонтальної вісі під кутами

Рис.4.1

Таким чином, для визначення амплітуди гармоніки необхідно з початку прямокутної системи координат під кутом до горизонтальної вісі відкласти відрізок у масштабі цієї величини до якого, як продовження, під тим же кутом добудувати відрізок і т.п., рис.4.2. Останнім добудовується відрізок

Від’ємні значення величини враховуються відрізками ( перший з яких відкладають, по відношенню до минулого під кутом радіан.

Рис.4.2

Геометрична сума (полігон) побудованих відрізків , поділена на величину є по значенню і за напрямом амплітудою гармоники тобто Початкова фаза гармоніки визначається кутом , яких відраховується за коротшим напрямом від амплітуди гармоніки до позитивної вісі ординат. Кут вважають позитивним, якщо підрахунок його здійснюється у напрямку відкладання відрізків, тобто проти часової стрілки і негативним при відрахуванні за часовою стрілкою.

Приклад графічного визначення амплітуд першої і другої гармонічних складових ряду Фур’є, який надано у вигляді часової залежності на рис.4.1, наведено на рис.4.3 та рис.4.4.

Рис.4.3

Згідно до побудованого полігону, щодо визначення амплітуди і початкової фази першої гармоніки , отримуємо: тобто

Рис.4.4

Згідно до побудованого полігону, щодо визначення амплітуди і початкової фази другої гармоніки , отримуємо: тобто

Рис.4.5

На рис.4.5 наведено підсумкову величину , побудовану за рядом Фур’є з врахуванням постійної складової та першої і другої гармонічних складових, тобто як = що неможливо вважати повним розкладом оскільки не досягнуто нормованої похибки розбіжності «образу» та «оригіналу» величини у 5%.

Аналогічний розклад можна отримати без побудови полігону не синусоїдної величини, тобто аналітично. Як у наведеному вище прикладі, період не синусоїдної величини поділяється на кінцеву кількість однакових ділянок. У прикладі (бажано ), та складається таблиця

	1	2	3	4	5	6	7	8
	1,6	2,0	3,4	4,6	5,0	-1,5	-0,8	1,9

Оскільки оригінал величини e не відповідає умовам симетрії, то при його розкладу у синусний ряд Фур’є варто розраховувати гармонічні складові до отримання допустимої похибки у розбіжності величини оригіналу з підсумковою після розкладу - .

Так амплітуда постійної складової становить:

Амплітуда синусної складової першої гармоніки

Амплітуда косинусної складової першої гармоніки

Амплітуда першої гармонічної складової становить:

Тангенс кута початкової фази початку першої гармоніки відповідно дорівнює:

Таким чином, якщо обмежитись постійною складовою, першою гармонікою і другою, побудованою аналогічно, то ряд Фур’є отримає вигляд:

Для визначення залежності періодичного несинусоїдного струму у вигляді синусного ряду Фур’є слід визначити комплекс повного опору електричного кола до входу якого прикладена несинусоїдна напруга. Відомо, що амплітуда струму к^-ої гармоніки обумовлена відповідною амплітудою напруги , а тому миттєве значення струму знаходять як суму миттєвих значень струмів які б мали місце в лінійному колі навантаження при незалежній дії окремих гармонік напруги, тобто у вигляді

У виразі постійна складова струму , перша гармоніка , інші відповідно .

У електричних колах, де існують періодичні не синусоїдні величини струму або напруги і їх розкладено на гармонічні складові за рядом Фур’є, приходиться мати справу з визначенням діючого або середнього значення цих величин та таких, які вимірюються приладами електромагнітної, електродинамічної, електростатичної або теплової системи і визначаються середнє квадратичним (ефективним) їх значенням за період визначення.

Відомо, що діюче значення величини, яка змінюється синусоїдально визначається наступним чином

Роблячи підстановку не синусоїдного струму, наданого у вигляді тригонометричного ряду Фур’є, а саме як:

отримаємо діюче значення не синусоїдного струму у вигляді виразу:

де діючі значення струмів гармонік знаходяться за значеннями їх амплітуд, котрі відомі після розкладу не синусоїдної величини у тригонометричний ряд Фур’є за виразом

Таким же чином діюче значення напруги становить:

де діючі значення відповідних гармонік становлять

Підсумовуючи можна зробити висновок про те, що діюче значення не синусоїдної величини визначається діючими значеннями кожної з їх гармонічних складових та не залежить від власних початкових фаз цих гармонік.

Повна потужність кола становить: ; активна ; реактивна ; потужність викривлення .

Вказівки до виконання задачі №5

При виконанні окремих пунктів задачі №5 слід використовувати теоретичний матеріал підручників, вказаний на окремих сторінках рекомендованої літератури (таблиця 8).

Сторінки рекомендованої літератури до виконанні задачі №5 Таблиця 8

Підручник	1	2	3	4	5	6
сторінки	199-238	324-382	180-234	327-360	408-480	319-383

Класичний спосіб розрахунку перехідного процесу у розгалуженому електричному колі розглянемо на прикладі схеми наведеній на мал.5.1.

Мал.5.1

Топологічний аналіз схеми показує, що вона додержить три гілки, два вузли та два незалежних контури. Тому, відповідно до довільно вибраних напрямів струмів у гілках та напрямків обходу незалежних контурів, по правилам Кірхгофа складається система незалежних диференційних рівнянь щодо миттєвих значень напруг і струмів вузлів. Складену систему диференційних рівнянь вирішують відносно одного з невідомих струмів або напруги на ємності. У результаті рішення отримується лінійне неоднорідне диференційне рівняння с постійними коефіцієнтами, порядок якого дорівнює сумі реактивних необ’єднаних елементів. Рішення цього рівняння знаходиться як сума усталеної та вільної складових відповідної електричної величини, причому в вираз вільної складової завжди входять постійні інтегрування, кількість яких дорівнює порядку диференційного рівняння. Знаходять постійні інтегрування з урахуванням законів комутації та початкових незалежних або додатково залежних умов. Закони зміни вільних складових залежать від параметрів початкової схеми кола. Так, якщо коло додержить тільки реактивні індуктивні елементи або лише ємнісні з активним опором, то вільні складові струму затухатимуть по показовому закону. Якщо в електричному колі одночасно присутні індуктивності і ємності, то не виключена можливість обміну енергією між ними, а, тому, перехідний процес буде затухаючим коливальним.

Розрахунок перехідного процесу починають з визначення початкових незалежних умов щодо струмів та напруг у електричному колі до комутації, тобто при . Враховуючи, що для джерела живлення постійного струму частота якого , опір котушки індуктивності в усталеному режимі роботи кола (до комутації) . Тому на схемі електричного кола вона еквівалентна короткозамкненій ділянці. Відповідно конденсатор має опір , і це на схемі електричного кола еквівалентне розриву ділянки гілки. З урахуванням попереднього, схема електричного кола до комутації наведена на рис.5.2. Застосовуючи до схеми закон Ома для електричного кола, визначимо загальний струм джерела:

Рис. 5.2

Струм у гілці з конденсатором внаслідок її розриву становить Відповідно падіння напруг на елемента за законом Ома для ділянки кола будуть:

Наступним етапом визначаються усталені значення струмів і напруг у електричному колі, тобто їх значення після завершення перехідного процесу для часу В усталеному режимі при джерелі живлення постійного струму також , . Тому схема електричного кола матиме вид наведений на рис.5.3.

Застосовуючи до схеми закон Ома для електричного кола, визначимо загальний струм джерела:

Рис. 5.3

Струм у гілці з конденсатором внаслідок її розриву становить Відповідно падіння напруг на елемента за законом Ома для ділянки кола будуть:

Що стосується струмів в гілках і напруг на елементах під час комутації електричного кола , то його схема має вид наведений на рис.5.4.

Рис.5.4

Відповідно до довільно вибраних напрямів струмів у гілках та напрямків обходу незалежних контурів, складаємо по правилам Кірхгофа систему незалежних диференційних рівнянь щодо миттєвих значень напруг і струмів вузлів. Складена система диференційних рівнянь дозволить визначити струми і напруги на приймачах, а також їх похідної в мить комутації . Під час вирішення системи рівнянь враховуються перший і другий закони комутації. Отримуємо:

Згідно до першого закону комутації до другого закону З їх урахуванням система рівнянь становить:

Вирішуючи систему знаходимо початкові незалежні і залежні умови:

Для визначення вільних складових струму і напруг складемо систему рівнянь кола справедливу для будь якої митті часу:

З третього рівняння визначимо напругу на конденсаторі:

та його похідну

З другого рівняння визначимо струм джерела живлення:

Після підстановки визначень у перше рівняння отримаємо неоднорідне диференційне рівняння з невідомою величиною – струмом у котушці індуктивності:

Здійснивши заміну змінною отримаємо характеристичне рівняння:

корні якого становлять

Якщо корні та неоднакові дійсні числа, то перехідний процес буде аперіодичним і, наприклад, напруга на конденсаторі становитиме:

Постійні інтегрування та знаходимо з урахуванням початкових незалежних умов та другого закону комутації щодо яких повне рішення для митті часу отримає вид:

Оскільки дві постійні інтегрування з одного рішення визначити неможливо, складемо додаткове рівняння взявши похідну від виразу повної напруги на конденсаторі, отримаємо:

З урахуванням початкових залежних умов ,

де .

Додаткове рівняння відповідає будь який митті часу і, в тому числі, митті часу :

Сумісне рішення рівнянь та щодо постійних інтегрування дає:

звідки

Повне рішення у загальному вигляді становитиме:

Інші величини визначаться наступним чином:

За отриманими виразами величин струмів та напруг будуються їх часові функції для відрізку часу від t = 0 до t = 3/[p_min], де p_min – найменше значення кореня характеристичного рівняння.

Зміст стор.

Вступ…………………………………………............................................................3

Перелік питань для самостійного вивчення програми дисципліни..........................4

Література………….................................................................................................8

1. Загальні положення....................................................................................................9

2. Завдання .................................................................................................................... 10

2.1. Завдання №1. Лінійне електричне коло постійного струму.............................10

2.2. Завдання №2. Лінійне електричне коло змінного синусоїдного струму..........13

2.3. Завдання №3.Нелінійне магнітне коло постійного струму................................16

2.4. Завдання №4. Лінійне електричне коло періодичного

не синусоїдного струму..................................................................17

2.5. Завдання №5. Перехідні процеси у лінійних електричних колах......................21

3. Рекомендації щодо рішення задач..........................................................................24