Контрольные вопросы

1. Каков физический смысл функции распределения молекул газа по скоростям?

2. Какой вид имеет распределения молекул газа по скоростям?

3. Объясните вид графика распределения молекул по скоростям.

4. Каков физический смысл площади, ограниченной кривой графика распределения молекул по скоростям и осью абсцисс?

5. Что такое наиболее вероятная скорость? Как ее определить по графику распределения Максвелла?

6. Что такое характерные скорости распределения Максвелла? Покажите их на графике.

7. Запишите формулы для расчета характерных скоростей распределения Максвелла.

8. Каково соотношение между характерными скоростями распределения Максвелла?

9. Выведите формулу для получения наиболее вероятной скорости.

10. Как влияет повышение температуры на вид распределения Максвелла? Сделайте рисунок для двух различных температур.

11. Как влияет повышение массы молекул газа на вид распределения Максвелла? Сделайте рисунок для молекул двух различных масс.

12. Во сколько раз и как изменится средняя скорость движения молекул при переходе от кислорода к водороду?

13. При каких условиях распределение молекул газа по скоростям описывается распределением Максвелла?

14. Почему распределение Максвелла называют равновесным распределением?

15. В чем заключается идея метода по моделированию распределения молекул газа по скоростям, использованного в работе?

16. Как в эксперименте рассчитывается скорость шарика, попадающего в каждый отсек?

Приложение 1.

Распределение молекул по компонентам скорости

Представим себе сосуд с газом, помещенный в пустое пространство в поле тяжести. Газ внутри сосуда находится в равновесии и его молекулы каким-то образом распределены по скоростям. Это распределение нам и требуется найти. Если в какой-то момент времени сосуд разбить, то молекулы газа станут двигаться по всем направлениям, в частности, и вверх – против направления силы тяжести. Наличие силы тяжести поможет найти то распределение, которое существовало в газе до того, как сосуд был разбит.

Направим одну из координатных осей, например ось Z, по вертикали с началом отсчета в том месте, где находится сосуд. Сила тяжести влияет только на z-компоненту скорости молекул, так что будем искать распределение молекул не по скоростям, а по значениям составляющей скорости υ_z.

Рис. 1. Слой газа высотой dz на произвольной высоте z.

Движение молекул вверх вдоль оси Z сопровождается уменьшением z – компоненты их скорости. Если, например, у некоторой молекулы массой m_o на некоторой начальной высоте z_о эта компонента была υ_zо, то на высоте z справедливо соотношение закона сохранении энергии:

(1)

где υ_z – значение z-компоненты скорости на высоте. Те молекулы, у которых кинетическая энергия , не могут подняться до высоты, большей, чем z. Для них наивысшая точка подъема z определяется равенством . На этой высоте у таких молекул υ_z становится равной пулю, после чего они падают, ускоряясь, как всякое тело, брошенное вертикально вверх.

Выделим на некоторой произвольной высоте z слой газа высотой dz с площадью основания, равной единице (рис. 1). Газ в этом слое состоит из движущихся молекул. Это молекулы, проходящие через него снизу вверх и сверху вниз (напомним, что рассматриваем только составляющие скоростей молекул по оси Z). Разница между молекулами, приходящими снизу и сверху, в том, что молекулы, приходящие снизу, имеют z-компоненты скоростей, которые по модулю непременно превышают значение , в то время как молекулы, приходящие сверху, могут иметь z-компоненты скорости любых значений, от 0 до .

В условиях равновесия, когда число молекул в слое должно быть постоянным, число молекул, проходящих сверху вниз, должно быть равно числу молекул, проходящих снизу вверх.

На высоте z_о число молекул в единице объема с z-компонентами скорости, лежащими в интервале от υ_zо до υ_zо + dυ_zо, определяется равенством:

.

В единицу времени наш слой на высоте z пересекают таких молекул. Общее же число молекул, пересекающих слой снизу вверх (обозначим это число через N_), равно

.

Таким же образом мы получим, что число молекул, пересекающих слой сверху вниз (N_), равно

.

При равновесии N_ и N_ должны быть равны друг другу,

.

Разделив обе части этого равенства на n_zо и имея в виду, что согласно барометрической формуле , получаем:

. (2)

Из закона сохранения энергии (1) дифференцированием при фиксированном значении z получаем:

(3)

Учитывая (3) и заменив нижний предел интегрирования в (2), получим

Отсюда следует, что , или

. (4)

Учитывая выражение для закона сохранения энергии (1), равенство (4) может быть справедливым, если только

и ,

где А - некоторая постоянная. При любом другом виде функции распределения уравнение (4) не будет совместимо с законом сохранения энергии.

Итак, функция распределения молекул по составляющим скорости по оси Z имеет вид:

(5)

Число молекул в единице объема, z-компоненты которых лежат в интервале от υ_z до υ_z + dυ_z выражается теперь формулой:

или (6)

Как уже указывалось, dn/n представляет собой вероятность того, что z-компонента скорости любой молекулы газа равна υ_z с точностью до dυ_z.

Остается определить постоянную А, входящую в функцию распределения. Для этого достаточно проинтегрировать выражение dn/n (6) по всем возможным значениям υ_z от - до +. Тогда получим вероятность того, что молекула газа обладает скоростью с каким-то значением z-компоненты. Такая вероятность равна единице, так как о любой молекуле можно с достоверностью утверждать, что она обладает какой-то z-компонентой скорости. Таким образом,

откуда

Вычисление этого интеграла дает, что

(7)

С учетом (6), (7) выражение для функции распределения принимает вид:

(8)

Графически эта функция имеет вид, изображенный на рис. 2. Из графика видно, что функция f(υ_z) стремится к нулю при υ_z  0. Но доля молекул с z-компонентой скорости, равной нулю, не равна нулю. Как видно из формулы (8) и из кривой рис. 2, доля молекул, z-компоненты скоростей которых близки к нулю, равна А (в этом и состоит физический смысл этой постоянной). С повышением температуры доля таких молекул уменьшается.

Рис. 2. График функции распределения, описываемой соотношением (8)

Функцию распределения молекул по составляющим скорости мы получили, рассматривая газ в поле силы тяжести. Это не значит, что вид распределения молекул по составляющим скорости как-то связан с действием силы тяжести или, что именно сила тяжести и создает это распределение. Барометрическая формула, которой воспользовались при выводе, сама является следствием распределения молекул по скоростям. Роль силы тяжести состояла только в том, что она «проявила» существовавшее в газе распределение. То, что сила тяжести не играет роли в установлении распределения, видно уже из того, что в функцию распределения не входит величина g, характеризующая силу тяжести.