Решение:
а)
Найдём вектор
и вектор
.
Тогда
б)
Найдём вектор
.
Вектор
.
Тогда
и
в)
Найдём векторы
и
.
Тогда скалярное произведение векторов:
Косинус
угла между векторами
и
:
г)
Найдём вектор
.
Вектор
.
Векторы будут коллинеарны, если их
координаты пропорциональны. Проверим
.
Т.е. векторы
и
не будут коллинеарными.
Проверим
векторы на ортогональность. Векторы
будут ортогональными, если их скалярное
произведение будет равным нулю. Найдём
.
Следовательно, векторы не являются
ортогональными.
д)
Проверим, будут ли векторы
,
,
компланарными. Векторы компланарны,
если их смешанное произведение равняется
нулю. Найдём
.
Следовательно, векторы не компланарны.
Задание 5. Вершины пирамиды находятся в точках А(2,3,4), В(4,7,3), С(1,2,2) и D(-2,0,-1). Методами векторной алгебры найти:
а) площадь грани АВС;
б) объем пирамиды АВСD;
в) уравнение плоскости АВС.
Решение:
а)
Известно, что
.
Находим:
Окончательно имеем:
;
б)
Найдём векторы
.
в) Для составления уравнения плоскости АВС воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки. Так как, А(2,3,4), В(4,7,3), С(1,2,2) то
.
Преобразуем уравнение плоскости к общему виду.
Таким
образом, уравнение плоскости АВС: