- •Определители второго и третьего порядков. Матрицы и линейные операции над ними
- •Ранг матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Метод Гаусса. Формулы Крамера
- •Системы координат
- •Решение.
- •1. Используя формулу
- •Векторная алгебра
- •4.1. Скалярное произведение векторов
- •4.2. Векторное и смешанное произведения векторов
- •Прямая на плоскости
- •Плоскости и прямые в пространстве
- •Линии второго порядка
- •Решить систему методами Гаусса и Крамера
- •Даны координаты вершин пирамиды . Средствами векторной алгебры найти:
Системы координат
Пример. Найти расстояние между точками М1(1, -2, -3) и М2(-3, 1, 1). Определить координаты точки С, делящей отрезок М1М2 в отношении 2:3.
Решение.
1. Используя формулу
М1М2 = ,
получим М1М2 = .
2. Координаты точки С определим по формуле вида
,
где .
Векторная алгебра
4.1. Скалярное произведение векторов
Пример. Найти угол φ между векторами и , если М1(1, -2, -3), М2(-3, 1, 1), М3(3, 2, 2).
Решение. Для нахождения cosφ используем формулу
где - скалярное произведение векторов и .
Определим координаты векторов и cosφ:
= (-3-1, 1+2, 1+3) =(-4, 3, 4), = (3-1, 2+2, 2+3) = (2, 4, 5),
,
φ = 87045'54".
4.2. Векторное и смешанное произведения векторов
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1, -2, -3), А2(-3, 1, 1), А3(4, 3, -1), А4(3, 2, 2). Найти площадь грани А1 А2 А3 и объем пирамиды.
Решение. Площадь треугольника А1А2А3 найдем, используя геометрический смысл векторного произведения векторов
,
где - векторное произведение векторов.
Вначале находим
,
а затем
ед2.
Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов
,
следовательно, ед3.
Прямая на плоскости
Прямую на плоскости можно задать многими способами. При решении задач на прямую часто используются следующие типовые уравнения и соотношения:
Уравнения прямой с угловым коэффициентом
,
где k – угловой коэффициент ( , - угол наклона прямой к оси Ox), b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(x0, y0) c данным угловым коэффициентом k
.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2)
.
Заметим, что в случае , уравнение принимает вид . Аналогично, если , уравнение прямой записывается .
Расстояние d от точки М0 до прямой определяется по формуле
.
Угол , отсчитываемый против часовой стрелки от прямой до прямой , определяется по формуле
.
Из формулы следует:
1) прямые l1 и l2 параллельны, если ;
2) прямые l1 и l2 перпендикулярны, если .
6. Уравнения биссектрис углов между прямыми и имеют вид
.
7. Точка пересечения медиан делит любую из них на части в отношении 2:1 (считая от вершины).
Пример 1. Даны две вершины треугольника А(-3,-3) и С(5,1); его биссектрисы пересекаются в точке N(2,2). Найти координаты вершины В и уравнение медианы, проведенной из этой вершины.
Решение. Для нахождения дополнительных точек на сторонах АВ и ВС будем использовать геометрическое свойство биссектрис AN и CN.
1. Составляем уравнение биссектрис AN и CN:
уравнение AN - или ,
уравнение CN - или .
2. Далее рассуждаем так: AN – биссектриса угла А, поэтому на стороне АВ должна лежать точка С1, симметричная точке С относительно AN. Аналогично на стороне ВС должна найтись точка А1, симметричная точке A относительно биссектрисы CN. Найдем точки С1 и А1.
Составляем уравнение перпендикуляра CF, опущенного из вершины С на биссектрису АN :
, где .
Следовательно, уравнение CF: .
Рис. 1.
Находим координаты точки F пересечения AN и перпендикуляра CF, решая систему
откуда F(3,3).
Определяем координаты точки С1, учитывая, что отрезок С1С в точке F делится пополам и, следовательно,
или С1(1,5).
Поступая аналогично (советуем проделать это самостоятельно), находим точку А1(1,9).
Составляем уравнения сторон АВ и ВС, соответственно,
и
или
и .
Находим координаты вершины В, решая систему
из которой следует, что В(2,7).
5. Составляем уравнение медианы ВЕ, предварительно найдя координаты точки Е - середины стороны АС. Имеем
.
Уравнение ВЕ:
или .
Пример 2.
Даны три точки , , на плоскости, являющиеся вершинами треугольника. Требуется написать уравнения сторон треугольника и определить углы треугольника.
Решение. Чтобы написать уравнение стороны АВ треугольника, используем вид уравнения прямой, проходящей через две точки:
,
а угол между двумя прямыми АВ и АС найдем, записав соответствующие уравнения в виде уравнений с угловым коэффициентом:
,
.
Тогда тангенс угла между указанными прямыми определяется по формуле:
.
При нахождении тангенса может оказаться, что знаменатель равен нулю, то есть . Данное обстоятельство говорит о том, что тангенс не определен, а угол между прямыми равен , то есть прямые перпендикулярны (рис. 2).
Рис. 2.