П.10 Формула Тейлора для функций нескольких переменных
Теорема
Если функция
дифференцируема
раз в некоторой окрестности точки
(т.е. все частные производные n-го
порядка дифференцируемы в этой точке),
то для любой точки
из этой окрестности справедливо
равенство:
.
Здесь
.
Остаточный член
в форме Пеано:
,
при
.
Остаточный член
в форме Лагранжа:
.
§ 4 Неявные функции п.1 Определения
Рассмотрим
уравнение
.
(1)
Пусть для любого
х из
некоторого множества
это уравнение имеет решение относительно
y.
Тем самым каждому
ставится в соответствие определенное
число y
– решение уравнения (1). Заметим, что
уравнение (1) может иметь несколько
решений относительно y,
номы выбираем какое-то одно из них. Это
означает, что на множестве X
определена функция
.
При этом правило f,
ставящее в соответствие каждому х
некоторое
единственное число y,
не указано явно, а задано с помощью
уравнения (1).
Такой способ задания функции называется неявным, а сама функция – неявной функцией.
Итак, функция задана неявно, если является решением уравнения (1) относительно y, т.е.
.
Пример 1
Уравнение
неявно определяет функцию
при условии
,
функцию
при условии
.
Это же уравнение определяет бесконечно
много других функций. Например,
при
и
при
.
Заметим, что ни
в одном прямоугольнике с центром в точке
уравнение
не определяет y
как неявную функцию от х.
Если множество точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют уравнению (1),
назвать графиком
уравнения,
то здесь график уравнения нельзя взаимно
однозначно спроектировать на ось х
ни в каком прямоугольнике с центром в
точке
.
Во многих случаях не удается выразить функцию из уравнения (1) в явном виде.
П.2 Существование, непрерывность и дифференцируемость неявной функции
Теорема
(достаточные условия) Пусть 1) функция
в окрестности точки
имеет непрерывные частые производные
и
;
2)
;
3)
.
Тогда существует прямоугольник
,
в котором уравнение
определяет единственную неявную функцию
вида
,
которая непрерывно дифференцируема на
интервале
,
и её производная вычисляется по формуле:
.
Пример
Найти
при
,
если функция
задана неявно уравнением
.
Решение. Обозначим
.
,
– непрерывны в окрестности точки
.
,
.
Тогда
.
Замечание. Если условие не выполнено, то уравнение (1) может иметь не единственное решение относительно y, а может не иметь ни одного решения.
Например,
рассмотрим уравнение
и точку
.
Здесь
,
,
.
При
уравнение неразрешимо в окрестности
точки
,
а при
имеет два решения
.
Уравнение
не имеет решений относительно y
при
.
Уравнение
в окрестности точки
имеет 4 непрерывных решения (
и
).
П.3 Неявная функция нескольких переменных
Аналогично уравнению (1) можно рассмотреть уравнение
(2)
и ввести понятие
неявной функции
,
определенной уравнением (2).
Теорема
Пусть 1) функция
в окрестности точки
имеет непрерывные частые производные
по переменным
;
2)
;
3)
.
Тогда существует такой параллелепипед
,
в котором уравнение
(2) определяет единственную неявную
функцию вида
,
которая
дифференцируема
при
,
,
и её частные производные вычисляются
по формулам:
.
Пример
Найти
и
при
,
если функция
задана неявно уравнением
.
Решение. Обозначим
.
,
,
– непрерывны в окрестности точки
.
,
.
Тогда
,
.