2.3. Примеры решения задач

Пример 2.4. Бросают две игральные кости (с шестью гранями каждая). Сколькими способами они могут упасть так, что либо на каждой грани выпадет четное число очков, либо на каждой грани выпадет нечетное число очков?

Решение. Пусть А – число способов выпадения на каждой кости четного числа очков, В – число способов выпадения на каждой кости нечетного числа очков. Тогда по правилу суммы, искомое число равно А + В. Пусть С – число способов выпадения четного числа очков на первой кости, а D – число способов выпадения четного числа очков на второй кости. Ясно, что С = D = 3, а по правилу произведения А = С D = 9. Аналогично, В = 9, а искомое число

равно 18. 

Пример 2.5. Сколькими способами три награды (за первое, второе и третье места) могут быть распределены между 10 участниками соревнований?

Решение. Требуется найти число способов, сколькими из 10 человек можно выбрать троих, без повторений, так как один человек не может занимать сразу два призовых места. Разные варианты искомых выборок могут быть одинаковыми по составу, но отличаться лишь порядком следования элементов или, иначе говоря, способом распределения призовых мест между выбранными тремя участниками. Задача сводится к нахождению числа всех (10, 3)-размещений без повторений. Следовательно, три награды могут быть распределены между 10 участниками соревнований = 720 способами. 

Пример 2.6. Имеется 10 различных книг. Сколькими способами их можно расставить на полке?

Решение. Расстановке подлежат все имеющиеся 10 книг, и вариант от варианта отличается только порядком следования книг на полке. Искомое число способов равно числу всех (10, 10)-размещений без повторений или числу всех перестановок без повторений из 10 элементов. Получаем: = P₁₀ = 10! = =3 628 000 способов. 

Пример 2.7. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?

Решение. Порядок следования цифр в числе важен. Например, 47 и 74 – две различные выборки, удовлетворяющие условию задачи. Кроме этого, комбинация, например, 77 также является одним из решений. Значит, речь идет о размещениях с повторениями из трех по два. Следовательно, количество чисел равно = 3² = 9. 

Пример 2.8. Сколькими способами можно вытянуть 5 карт трефовой масти из стандартной колоды, содержащей 52 карты?

Решение. Всего в колоде 13 карт трефовой масти. Из этих 13 карт надо выбрать 5, причем без повторений и учета порядка следования карт в выборке. Разные варианты должны отличаться по составу. Следовательно, требуется найти число всех (13,5)-сочетаний: = =1287. 

Пример 2.9. В магазине продается 4 сорта пирожных: бизе, эклеры, песочные, наполеоны. Сколькими способами можно выбрать 7 пирожных?

Решение. Каждая покупка – это выборка из 4 элементов по 7, причем с повторениями, так как 4 < 7. Порядок следования сорта пирожных внутри выборки не важен. Следовательно, число таких покупок равно числу всех (4, 7)-сочетаний с повторениями: = = = = 120. 

Пример 2.10. У врача 3 таблетки одного лекарства, 2 таблетки – другого и 4 таблетки – третьего. Сколькими способами он может распределить прием имеющихся таблеток по одной в день?

Решение. Общее число таблеток 3 + 2 + 4 = 9 равно числу дней приема лекарств, то есть все таблетки входят в выборку, но присутствуют повторяющиеся неразличимые элементы – таблетки одного лекарства. Решение задачи сводится к нахождению числа всех перестановок с повторениями из 9 элементов: = = 1260. 