6.6. Основы моделирования строительных конструкций

Сущность инженерного моделирования состоит в том, что натурный объект на основе теории подобия заменяется его аналогом-моделью. Различают физическое моделирование, когда исследование ведется на моделях, сохраняющих физическую природу изучаемого явления, и математическое - на моделях иной физической природы, имеющих такое же математическое описание (электрические, мембранные, гидравлические и другие аналоги).

Моделирование дает возможность решить большое число довольно сложных задач:

1. Выявить экспериментальным путем при минимальных затратах Материала, трудоемкости и стоимости действительную картину распределения усилий во всех характерных сечениях и узловых сопряжениях элементов конструкций.

2. Произвести экспериментальным путем анализ напряженного состояния сложного сооружения взамен аналитического расчета, когда методы строительной механики и теории упругости не приемлемы.

З. Проверить правильность гипотез, положенных в основу аналитического расчета. 4. Уточнить расчетную схему сооружения.

5. Определить характер разрушения и разрушающую нагрузку.

6. Определить реальный запас прочности.

7. Установить влияние различных факторов на работу конструкции: свойств материалов, условий сопряжений, податливости основания и др.

Для новых, сложных, малоизученных сооружений исследование может вестись в несколько этапов: 1) расчет на ЭВМ с применением математической или маломасштабной модели (1/10—1/20); 2) исследование крупномасштабной модели (1/2—1/5); 3) натурные испытания сооружения или его отдельных узлов и элементов.

Теоретическая основа моделирования — теория подобия,. которая устанавливает определенные соотношения между геометрическими размерами, свойствами материалов, нагрузками и деформациями модели и натурной конструкции.. Различают простое и расширенное подобие. При простом (линейном) подобии масштабы всех безразмерных величин равны 1, при расширенном (нелинейном) они могут отличаться от 1, а разные величины одинаковой размерности могут иметь и отличные масштабы

Подобными называют явления, происходящие в геометрически подобных системах, если отношения одноименных физических величин во всех сходственных точках представляют постоянные числа.

При простом подобии безразмерные величины в сходственны точках равны:

; ; ; ,

где индекс «н» относится к натурному объекту, а «м» — к его модели: — нормальное напряжение; и — приращение длины х.

Переход от натурного объекта к модели осуществляется введением системы коэффициентов пропорциональности или масштабов преобразования:

; ; ; ,

где Е, Р, L, — соответственно модуль упругости, усилие геометрический размер и коэффициент Пуассона.

Масштабы преобразования взаимосвязаны и не могут быть назначены произвольно. Так, при действии сосредоточенных. сил подобие напряженно-деформированного состояния обеспечивается, если удовлетворены условия

; (6.1)

, (6.2)

а при действии равномерно распределенной по длине нагрузки -

(6.3)

Выражения (6.1), (6.2), (6.3) называют индикаторами подобия. У подобных явлений индикаторы подобия равны единице. Это составляет содержание первой теоремы подобия. Вторая теорема устанавливает взаимосвязь преобразования физических уравнений в критериальные: если физические процессы подобны, их критерии подобия между собой равны. Третья тёорема устанавливает необходимые и достаточные условия подобия: для подобных явлений достаточно, чтобы они описывались одинаковыми уравнениями и имели подобные начальные и граничные условия.

Условия подобия определяют путем анализа уравнений задачи или анализа размерностей входящих в уравнения величин. Размерность величин записывается символически с помощью букв, присвоенных основным физическим величинам. Так, если М—масса, Т—время, а L—длина, то размерность напряжения , а изгибающего момента [М] [Т]^-2 [L]^-2

Величины могут быть и безразмерными, например относительная деформация ε, коэффициент Пуассона. Необходимые условия простого подобия:

1. Модель и натурный объект геометрически подобны.

2. Коэффициенты Пуассона для материалов модели и натуры должны быть равными.

3. Относительные деформации модели и натуры равны.

4. Все нагрузки, действующие на модель, находятся в таком же отношении, как и нагрузки, действующие на натурный объект.

5. Материалы модели и натуры могут отличаться при соответствующем коэффициенте масштаба напряжений.

Рассмотрим пример моделирования изгибаемого элемента.

Дана балка (рис. 6.12, а), изготовленная из бетона и загружена в середине пролета сосредоточенной силой Р=6 кН. (Размеры балки указаны в сантиметрах.) При модуле упругости материала натуры Е_н=2,4·10⁴МПа напряжение, относительное удлинение нижнего волокна и прогиб в середине пролета балки соответственно равны: ; ; .

Рис. 6.12. Бетонная балка:

а - натурная конструкция; б - модель

Модель (рис. 6.12, 6) изготовлена из бетона той же прочности (Е_r=1 и ). Масштаб длин . Масштаб нагрузки определяем по формуле (6.1): Р_r=0,04. Линейные размеры модели уменьшены в 5 раз, а нагрузка - в 25 раз. Напряжения, относительные удлинения и прогибы оригинала после испытания модели определяются по следующим формулам:

; ;

Масштабы силового и геометрического подобия в данном случае не совпадают.

Оригинал в модель отличаются размерами, свойствами материалов и соотношениями нагрузки. Для оценки точности и достоверности результатов модельных испытаний при переходе от модели к реальной конструкции должна учитываться изменчивость свойств оригинала и модели и даваться оценка погрешности полученных результатов.

Под планированием эксперимента понимается выбор числа моделей и образцов для определения их свойств при заданной вероятности Р и принятой погрешности . для множителя преобразования предложена интервальная оценка, где и —усредненные величины, полученные по результатам испытаний оригинала и модели:

где — показатель степени, с которой множитель преобразования входит в индикатор подобия; ,. — математическое ожидание множителя преобразования.

При моделировании железобетонных конструкций, учитывается масштабный фактор как функция случайного аргумента призменной прочности бетона. Это вызвано тем, что при изготовлении образцов из одного и того же материала с уменьшением размеров практически не всегда удается точно найти математическое ожидание материала модели, поэтому обычно определяется некорректно.

При испытаниях больших и малых призм выявляется действие масштабного фактор а, учитывающего некоторые различия натурного и модельного материалов.

Выбор материала для изготовления модели и методики исследования напряженно-деформированного состояния является важным вопросом теории и практики моделирования строительных конструкций. Крупномасштабные модели обычно изготавливаются из тех же материалов, что и натурная конструкция: сталь, алюминий, железобетон, армоцемент, древесина, пластмассы.

В зависимости от цели исследования модуль упругости материала модели можёт отличаться от модуля упругости материала натуры или быть идентичным.

Маломасштабные модели, как правило, работают в упругой стадии. Поэтому их следует изготавливать из материалов с хорошими упругими свойствами. К таким материалам относятся металлы, оргстекло, некоторые пластмассы и минеральные материалы

Если предусматривается исследование работы модели в упругопластической стадии, материал должен обладать низким модулем упругости и высокой пластичностью при обязательном выполнении заданных соотношений между напряжениями и деформациями.

Выбор масштаба и материала модели зависит от целей и задач моделирования, вида исследуемой конструкции, способа изготовления и загружения, методики исследования напряженно-деформированного состояния, производственных возможностей и технико-экономических соображений

Так, если для исследования напряженно-деформированного состояния выбран поляризационно-оптический метод, для изготовления