Символьне розв’язування рівнянь

У Mathcad можна швидко і точно знайти чисельне значення кореня за допомогою функції root. Але є деякі завдання, для яких можливості Mathcad дозволяють знаходити розв’язок в символьному (аналітичному) вигляді.

Розв’язок рівнянь в символьному вигляді дозволяє знайти точне або наближене значення коренів рівняння:

• Якщо рівняння має параметр, то розв’язок в символьному вигляді може виразити шуканий корінь безпосередньо через параметр. Тому замість того, щоб розв’язувати рівняння для кожного нового значення параметра, можна просто замінювати його значення в знайденому символьному рішенні.

• Якщо потрібно знайти всі комплексні корені полінома степеня менше або рівного 4, символьний розв’язок дасть їх точні значення в одному векторі або в аналітичному або цифровому вигляді.

Команда Символи → Переменные→Вычислить дозволяє вирішити рівняння відносно деякої змінної і виразити його корені через останні параметри рівняння. Щоб вирішити рівняння символьно необхідно:

• Надрукувати вираз (для введення знаку рівності використовуйте комбінацію клавіш [Ctrl]=).

• Виділити змінну, відносно якої потрібно розв’язати рівняння, клацнувши на ній мишею.

• Вибрати пункт меню Символи → Переменные → Вычислить.

Немає необхідності прирівнювати вираз нулю. Якщо Mathcad не знаходить знаку рівності, він передбачає, що потрібно прирівняти вираз нулю.

Щоб розв’язати систему рівнянь в символьному вигляді, необхідно виконати наступне:

• Надрукувати ключове слово Given.

• Надрукувати рівняння у будь-якому порядку нижче Given. Впевніться, що для введення знаку = використовується [Ctrl]=.

• Надрукувати функцію Find, відповідну системі рівнянь.

• Натискувати [Ctrl]. (клавіша CTRL, що супроводжується крапкою). Mathcad відображуватиме символьний знак рівності →.

• Клацнути мишею на функції Find.

1. Розв’язання нелінійних рівнянь за допомогою функцій root|, polyroot|

а) - знайшли корінь рівняння x-cos(x)=0 на інтервалі значень x від -10 до 10

б) - знайшли корінь рівняння G(x)=0 (корінь знайдений з погрішністю близько 10-5)

Точність знайдених рішень|розв'язань| визначається системній змінній TOL|, яку при необхідності можна перевизначити|перевизначати|.

в)

Знайшли вектор коріння полінома 3 степеня|міри|. Вектор v розмірністю 4 містить|утримує| коефіцієнти при 0-му, 1-му, 2-му і 3-му степенях|мірах| полінома.

З першим із знайденого коріння виконана перевірка. Похибка рішення складає близько 10^-9

2. Вирішення систем нелінійних рівнянь за допомогою блоків Given-Find| і Given-Minerr|

а) Розв’яжемо|рішаємо| систему 2 нелінійних рівнянь

Пошук рішення|розв'язання| походить від початкової точки (1,1). Задання|задавання| якої-небудь початкової точки необхідне.

У записі рівнянь використовується логічний оператор рівності, що вводиться з панелі Логічний або поєднанням клавіш Ctrl+=

б) Розв’яжемо нелінійне рівняння, що не має рішення, – буде знайдена мінімальна нев'язність рівняння, тобто, значення x, при якому ліва і права частини рівняння найбільш близькі.

Системна змінна ERR показує нев'язність рівняння

3. Символьні обчислення|підрахунки|

1) Деякі рівняння можна розв’язати|рішати| в символьному вигляді|виді|. Для цього, записавши рівняння, досить виділити змінну, щодо|відносно| якої розв’язується|розв'язується| рівняння, і звернутися|обертатися| до меню Символика-Переменная-Решить

2) Також можна використовувати оператор solve, що вводиться з палітри Символьна. Після введення рівняння досить ввести оператора solve і ім'я змінної, щодо якої розв’язується рівняння. Для символьного вирішення змінні не мають бути визначені заздалегідь!

3) Аналогічно можна розв’язати|рішати| в символьному вигляді|виді| систему рівнянь. Тут після|потім| оператора Find|(x,y|) введений|запроваджувати| оператор «символічна оцінка» (Ctrl+|. або значок на панелі Символьний)

4) Інші символьні оператори:

Simplify| – спростити вираз|вираження|

Expand| – розкласти|розкладати| вираз|вираження| по ступенях|мірах| вказаної змінної

Factor| – розкласти|розкладати| число або вираз|вираження| на множники

Collect| – розкласти|розкладати| доданки по підвиразу

Substitute| – замінити змінну у виразі|вираженні|

Series| – розкласти|розкладати| функцію в ряд|лаву| Тейлора

тут z указує|вказує| змінну, по якій проводиться|виробляє| розкладання, 10 - ступінь|міра| розкладання

Coeffs| – обчислити|обчисляти| коефіцієнти полінома

Порядок виконання роботи

1. Повторити теоретичні відомості.

2. Побудувати графік функції F(x) (Додаток 1, Завдання 1) і наближено визначити один із коренів рівняння. При визначенні використати кнопку панелі «График» - «Трассировка (Следить)»

3. Розв’язати рівняння f(x)=0 з точністю ε= 10^-4:

   1. За допомогою вбудованої функції Mathcad root.

   2. метолом Ньютона (дотичних), використовуючи функцію until. Визначити число ітерацій в методі за допомогою функції last.

   3. методом половинного ділення, склавши відповідну програму.

4. Для полінома g(x) (Додаток 1 Завдання 2) виконати наступні дії:

1. За допомогою команди Символы→Коэффициенты полинома створити вектор V, який міститиме коефіцієнти полінома;

2. Розв’язати рівняння g(x)=0 за допомогою функції polyroots;

3. Розв’язати рівняння символьно, використовуючи команду Символы→ Переменные → Вычислить;

5. Перетворити нелінійні рівняння системи (Додаток 1 Завдання 3) до виду f₁(x)=y і f₂(y)=x. Побудувати їх графіки і визначити початкове наближення розв’язку. Розв’язати систему нелінійних рівнянь:

1. За допомогою функції Minerr;

2. Методом Ньютона.

Таблиця 1

№	Завдання 1		Завдання 2	Завдання 3
	f(x)	проміжок	g(x)	Система нелінійних рівнянь