Нормальный закон распределения

Случайная величина называется распределенной по нормальному закону (нормальная с.в.), если ее дифференциальная функция распределения имеет следующий вид:

(29)

Математическое ожидание и дисперсия нормальной случайной величины соответственно равны а и  :

;

Величина  называется средним квадратичным отклонением. Введем в рассмотрение функцию Лапласа:

(30)

Известны следующие свойства функции Лапласа:

1. 

т.е. функция Лапласа является нечетной функцией;

2. 

если x₁ < x₂, т.е. функция Лапласа – монотонно возрастающая функция;

3. .

Значения функции Лапласа находят при помощи таблиц, причем при x > 5 (иногда и при x > 3) полагают .

Вероятность попадания нормального распределения с.в. в интервал от  до  вычисляется с помощью функции Лапласа по формуле

(31)

Вероятность отклонения нормального распределения случайной величины от ее математического ожидания меньше чем на  равна:

(32)

Пример 26. Случайная величина распределена по нормальному закону. По результатам наблюдаемых значений: 35, 15, 5, 25, 5 – оценить параметр распределения a.

Решение. Параметр a нормального распределения имеет смысл математического ожидания, которое, в свою очередь, равно среднему значению случайной величины, следовательно,

Пример 27. Случайная величина имеет плотность вероятности

Вычислить:

Решение. Математическое ожидание случайной величины равно 3, среднее квадратичное отклонение  равно 2, следовательно, дисперсия Тогда, пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, получим

Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Необходимость изучения нормально распределенных с.в. вытекает из следующей центральной предельной теоремы Ляпунова.

Если случайная величина Х представляет собой сумму достаточно большого числа независимых, одинаково распределенных случайных величин, причем влияние каждого из слагаемых на всю сумму мало, то закон распределения такой случайной величины близок к нормальному.

Пусть имеется некоторое случайное событие А, вероятность появления которого в каждом из независимых испытаний одинаково и равна р. Производится n независимых испытаний. Случайная величина Х – число появлений события А в n независимых испытаниях. Данная с.в. распределена по биноминальному закону и

M(X) = n  р; D(X) = n р q,

где q = 1 – p = p( ). Если число испытаний велико, а вероятность наступления события А – р > 0, то на основании центральной предельной теоремы Ляпунова можно считать, что с.в. Х распределена по нормальному закону с параметрами а = n р,  = n р q. Тогда, как следует из формулы (30), вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит не менее k₁ и не более k₂ раз может быть вычислено по формуле

(33)

Последняя формула носит название интегральной теоремы Муавра-Лапласа. (Заметим, что в случае редких событий, т.е. для малых вероятностей, нужно пользоваться формулой Пуассона и распределением Пуассона, а при небольшом числе испытаний биноминальным распределением (14)).

Пример 28. В магазин приходит в день 1200 покупателей, каждый из которых с вероятностью p=0.6 покупает электрическую лампочку. Определить вероятность того, что будет куплено от 680 до 760 электрических лампочек.

Решение. Здесь р = 0.6, q = 0.4, n р = 1200  0.6 = 720, n р q = 720  0.4 = 288. Пусть X –число купленных лампочек. По интегральной теореме Муавра – Лапласа получаем