Задания первого поточного контроля
Задача 1. Записать математическую модель задачи, приведенной в экономической постановке.
1.1. Фабрика производит два вида конфет: «Каракум» и «Красная шапочка». Для производства конфет используются два ингредиента А и В. Известны расходы А и В на 1 кг соответствующих конфет и максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов (см. табл.). Оптовые цены одного кг конфет равны: 19 грн. за «Каракум»; 17 грн. за «Красную шапочку».
Ингредиенты |
Расход ингредиентов, кг ингр./кг конфет |
Запас, кг ингр./сутки |
|
«Каракум» |
«Красная шапочка» |
||
А |
3 |
4 |
12 |
В |
2 |
1 |
16 |
Установить, какое количество конфет каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.
1.2. На приобретение нового оборудования для открытия филиала фирма имеет в наличии 25 тыс. грн., причем наличная производственная площадь составляет 28 м2. Фирма может себе позволить содержать штат из 20 работников для обслуживания данного оборудования. На рынке представлено 2 вида подобного оборудования «Люкс» и «Стандарт». «Люкс» стоимостью 5 тыс. грн., требует 3 человека для обслуживания и производственную площадь 5 м2, позволяет производить 3 тыс. ед. продукции за смену. «Стандарт» стоимостью 2,5 тыс. грн., требует 2 человека для обслуживания и производственную площадь 7 м2, производственная мощность составляет 2 тыс. ед. продукции за смену.
Найти такой вариант приобретения оборудования, при котором филиал будет выпускать наибольшее количество продукции.
1.3. На склад ковровых изделий поступил заказ на куски дорожек размерами 1,4; 1,7 и 2,5 м, в количествах соответственно не менее: 15 шт., 20 шт. и 14 шт. Склад имеет в достаточном количестве дорожек в рулонах по 10 м. Необходимо провести раскрой рулонов таким образом, чтобы используемое количество рулонов было минимальным.
1.4. После осушения болот площадь пашни в хозяйстве возросла на 140 га. Эту площадь было решено отвести под посев овса и ячменя, причем овса необходимо получить не менее 1100 ц. В хозяйстве имеется 700 ц. минеральных удобрений. Выращивание культур характеризуется следующими показателями:
Показатели |
Овес |
Ячмень |
Прибыль (грн. за 1 ц) |
45 |
30 |
Расход пашни (га) на 1 ц культуры |
0,05 |
0,04 |
Внесение удобрений (ц) на 1 га пашни |
0,4 |
0,2 |
Найти такое распределения пашни под указанные культуры, при котором получаемая прибыль будет максимальной.
1.5. В городе имеется сеть из 5 АЗС, топливо для которых поставляют 3 нефтеперерабатывающих завода (НПЗ). Известны удельные затраты на перевозку топлива от каждого НПЗ каждой АЗС (грн./т). Запасы поставщиков топлива ограничены. Известны также суточные потребности в продукции каждой АЗС.
Запасы топлива на НПЗ, т |
Объемы потребности в топливе АЗС, т |
|||
60 |
35 |
40 |
65 |
|
Стоимость перевозки 1 т топлива, грн. |
||||
90 |
5 |
6 |
7 |
11 |
65 |
4 |
2 |
5 |
7 |
110 |
4 |
3 |
6 |
5 |
Необходимо определить такой план перевозки топлива от НПЗ к АЗС, при котором общие затраты на перевозку будут минимальными.
1.6. При откорме уток каждая птица ежедневно должна получить не менее 100 единиц питательного вещества А, не менее 50 единиц питательного вещества В и не менее 12 единиц питательного вещества С. Указанные питательные вещества содержаться в двух видах корма I и II (см. таблицу).
Питательные вещества |
Количество единиц в 1 кг корма |
|
I вида |
II вида |
|
А |
1,5 |
5 |
В |
2 |
0,5 |
С |
3,5 |
4 |
Цена за 1 кг |
12,5 |
8 |
Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах.
1.7. На производство одной партии тетрадей, дневников и контурных карт требуется соответственно 4500, 2500 и 3200 кг сырья. При этом затраты рабочего времени на производство одной партии тетрадей и дневников составляют 0,12 и 0,34 машино-часов. На производстве одной партии контурных карт заняты специальные автоматы в течение 3,6 часа. Всего для производства бумажной продукции завод сможет использовать не более 365 т сырья. Основное оборудование может быть занято в течение 32,5 машино-часов, а автоматы по производству контурных карт – в течение 18,4 ч. Прибыль от реализации одной партии тетрадей, дневников и контурных карт соответственно равна 200, 350 и 320 грн. Завод должен ежедневно производить не более 80 партий тетрадей. На производство другой продукции ограничений нет.
Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно производить заводу, чтобы получаемая прибыль была максимальной.
1.8. В саду имеются персики различного возраста. Новый хозяин сада стоит перед дилеммой: имеющихся у него удобрений явно не хватает на подкормку всех персиков. Так как сад находится в нечернозёмной зоне, то неудобренные деревья практически не дают урожая. Известна урожайность деревьев каждого возраста при надлежащем уходе и количество удобрений, вносимых на одно дерево каждого возраста.
Вид удобрений |
Возраст деревьев, лет |
Запас удобрений |
|||
8 – 13 |
14 – 19 |
20 – 25 |
26 – 30 |
||
Органические удобрения, кг |
1,9 |
5 |
4,5 |
7 |
120 |
Карбамид, г |
35 |
75 |
130 |
175 |
1950 |
Суперфосфат, г |
155 |
300 |
450 |
690 |
9800 |
Хлорид калия, г |
40 |
95 |
140 |
280 |
3700 |
Урожайность с 1 дерева, кг |
11 |
36 |
87 |
58 |
– |
Количество деревьев в саду |
12 |
9 |
5 |
7 |
– |
Необходимо найти оптимальное количество деревьев, которые должен удобрить хозяин, чтобы урожайность была максимальной.
1.9. При разводе
рыбы в рыбхозяйстве необходимо, чтобы
ежедневно каждая особь получала 4 вида
питательных веществ
в количествах соответственно 18, 12, 15 и
11 ед. Эти питательные вещества
содержатся в 2-х видах кормов. Содержание
питательных веществ в одном кг корма
приведено в следующей таблице:
Питательные вещества |
Количество единиц питательных веществ в одном кг корма |
|
І вида |
ІІ вида |
|
А1 |
5 |
7 |
А2 |
7 |
4 |
А3 |
4 |
3 |
А4 |
8 |
2 |
Необходимо составить оптимальный рацион кормления рыб, если известно, что цена одного кг І вида корма составляет 2 грн., а ІІ вида – 1 грн.
1.10. На предприятии имеется склад вместимостью 110 м2, половину которого занимает сырьё для производства продукции. Предприятие имеет финансовые проблемы и поэтому должно получить максимальную прибыль в течение ближайших 3-х дней. Аналитический отдел прогнозирует ежедневный рост цен на производимую предприятием продукцию, получаемую из сырья, занимающего 1 м2 места на складе: 1 день – 800 грн., 2 день – 1100 грн., 3 день – 1700 грн.
После одного дня работы предприятие должно загрузить всю готовую продукцию на склад, т.к. заказчики забирают её только утром на следующий день. Готовая продукция, полученная из сырья, размещающегося на 1 м2, занимает 3 м2 места на складе.
Оптимизировать ежедневный выпуск продукции, а соответственно и ежедневное потребление сырья, таким образом, чтобы за 3 дня получить максимальную прибыль.
1.11. При составлении суточного рациона кормления стада молочных коров можно использовать свежее сено (не более 60 кг) и силос (не более 95 кг). Общий рацион должен обладать определённой питательностью (число кормовых единиц не менее 30) и содержать питательные вещества: белок (не менее 1 кг), кальций (не менее 120 г) и фосфор (не менее 75 г). В таблице приведены данные о концентрации необходимых веществ в 1 кг каждого корма и себестоимость (коп./кг) этих кормов.
Питательные вещества
Виды кормов |
Концентрация питательных веществ в кормах |
Себестоимость кормов, коп./кг |
|||
количество кормовых единиц, кг |
белок, г/кг |
кальций, г/кг |
фосфор, г/кг |
||
Сено свежее |
0,7 |
30 |
1,5 |
2 |
12 |
Силос |
0,6 |
15 |
2,5 |
1 |
15 |
Определить оптимальный рацион, чтобы общие затраты на откорм были минимальными.
1.12. Завод выпускает два вида продукции, используя при этом четыре вида сырьевых ресурсов. Нормы затрат сырья, его запасы, а также доход получаемый от выпуска единицы продукции приведены в таблице
Виды сырья |
Нормы затрат на единицу продукции, кг |
Запасы сырья, кг |
|
продукция 1 вида |
продукция 2 вида |
||
Р1 |
0,6 |
0,5 |
180 |
Р2 |
0,5 |
0,7 |
220 |
Р3 |
0,9 |
0,3 |
290 |
Р4 |
0 |
0,01 |
140 |
Доход от реализации единицы продукции, грн. |
24 |
65 |
– |
Определить такой план выпуска продукции, при котором будет получен максимальный доход.
1.13. Кооператив, используя три типа сырьевых ресурсов, реализует продукцию четырех видов. Имеющийся объем ресурсов, их затраты на производство одной партии изделий, а также прибыль от ее реализации приведены в таблице:
Ресурсы |
Затраты ресурсов на реализацию одной партии изделий, усл. ед./парт. |
Общий объем ресурсов, усл. ед. |
|||
1 вид |
2 вид |
3 вид |
4 вид |
||
1 |
5 |
7 |
1 |
7 |
85 |
2 |
3 |
8 |
8 |
4 |
112 |
3 |
4 |
6 |
9 |
3 |
78 |
Прибыль от реализации одной партии изделий, грн./парт. |
24 |
35 |
23 |
19 |
– |
Определить план производства партий изделий, обеспечивающий максимальную прибыль кооперативу.
1.14. Столовая «Улыбка» использует следующие продукты и нормативы их затрат на приготовление ста блюд четырех видов и получает от их продажи прибыль (см. таблицу).
Продукты |
Нормативы затрат продуктов на приготовление 100 блюд |
Запас продуктов |
|||
1 вид блюд |
2 вид блюд |
3 вид блюд |
4 вид блюд |
||
Мясо, кг |
5 |
9 |
– |
– |
2500 |
Рыба, кг |
– |
– |
8 |
– |
1800 |
Молоко, л |
2 |
– |
– |
20 |
3700 |
Макаронные изделия, кг |
3 |
3 |
2 |
8 |
2700 |
Овощи, кг |
6 |
7 |
4 |
– |
6400 |
Прибыль от продажи 100 блюд, грн. |
500 |
900 |
650 |
600 |
– |
Определить такую структуру приготовления блюд, которая обеспечит столовой максимальную прибыль.
1.15. Пять строительных объектов используют песок, добываемый в трех карьерах. Суточная производительность каждого карьера, потребность в песке на объектах и расстояние от карьеров до потребителей (в километрах) представлены в таблице.
Резервы карьеров, т |
Потребности строительных объектов, т |
||||
250 |
220 |
370 |
580 |
130 |
|
Расстояние от карьеров до строительных объектов, км |
|||||
700 |
3 |
5 |
4 |
9 |
3 |
600 |
7 |
7 |
6 |
5 |
5 |
800 |
2 |
8 |
3 |
2 |
6 |
1.16. На трех типах технологического оборудования предприятие может производить пять видов изделий, для каждого из которых задано минимально необходимое количество их выпуска. Затраты времени на единицу продукции, фонд времени по группам оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия приведены в таблице.
Тип оборудования |
Затраты времени на производство одного изделия, ч./изд. |
Фонд времени, ч. |
||||
1 вид |
2 вид |
3 вид |
4 вид |
5 вид |
||
1 тип |
5 |
4 |
8 |
2 |
5 |
2000 |
2 тип |
4 |
2 |
6 |
9 |
6 |
2500 |
3 тип |
3 |
7 |
7 |
7 |
3 |
1800 |
Минимальный план выпуска изделий, шт. |
800 |
1200 |
400 |
950 |
1000 |
|
Прибыль от единицы продукции, грн./изд. |
7 |
6 |
4 |
3 |
5 |
|
1.17. С трех складов необходимо поставить цемент в четыре торговые точки. Стоимость перевозки 1 т цемента, резервы поставщиков, а также потребности торговых предприятий представлены в таблице.
Резервы поставщиков, т |
Потребность торговых предприятий, т |
|||
70 |
45 |
38 |
32 |
|
Стоимость перевозки 1 т груза, грн./т |
||||
120 |
3 |
6 |
2 |
1 |
78 |
4 |
2 |
7 |
3 |
97 |
2 |
1 |
1 |
4 |
Составить такой план перевозок цемента от поставщиков потребителям, чтобы суммарные затраты на перевозку были минимальными.
Задача 2. В приведенной далее таблице для каждого варианта указаны координаты крайних точек , множества планов ЗЛП, содержащего кроме перечисленных крайнюю точку 0=(0;0), вектор-градиент целевой функции и указана цель решения (поиск максимума или минимума). Выполнить следующие задания:
восстановить математическую модель ЗЛП;
решить ЗЛП графическим методом;
решить ЗЛП Симплекс-методом.
Замечания.
1. Изложение результатов выполнения п. 2 обязательно сопровождать объяснением каждого этапа решения задачи.
2. Решение задачи симплекс-методом (п. 3) предварить, при необходимости, каноническим видом искомой задачи, с последующим обоснованием целесообразности расширенной задачи.
3. При решении задачи симплекс-методом (п. 3) на каждой итерации обязательно выписывать опорный план и излагать результаты проверки его оптимальности.
Литература
1. Ляшенко И.Н. и др. Линейное и нелинейное программирование – Киев: Вища школа, 1975.
2. Данциг Д. Линейное программирование, его обобщения и приложение. – М.: Прогресс, 1966.
3. Гасс С. Линейное программирование.- М.: Физматгиз, 1961.
4. Ашманов С.А. Линейное программирование.- М.: Наука, 1981.
5. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах.- М.: Высшая школа, 1986.
Вариант |
|
|
|
|
|
|
|
max (min) |
|||||||
1 |
0 |
12 |
14 |
4 |
13 |
12 |
8 |
13 |
14 |
0 |
-9 |
-9 |
min |
0 |
12 |
2 |
0 |
5 |
4 |
15 |
15 |
8 |
12 |
11 |
15 |
0 |
11 |
10 |
max |
0 |
5 |
3 |
0 |
2 |
5 |
13 |
14 |
8 |
6 |
15 |
14 |
0 |
-10 |
-4 |
min |
0 |
2 |
4 |
0 |
4 |
14 |
3 |
3 |
6 |
12 |
9 |
14 |
0 |
12 |
0 |
max |
0 |
4 |
5 |
0 |
3 |
15 |
4 |
5 |
9 |
9 |
10 |
15 |
0 |
-11 |
-1 |
min |
0 |
3 |
6 |
0 |
11 |
15 |
9 |
10 |
11 |
1 |
12 |
15 |
0 |
4 |
10 |
max |
0 |
11 |
7 |
0 |
9 |
12 |
10 |
3 |
14 |
15 |
2 |
15 |
0 |
-1 |
-3 |
min |
0 |
9 |
8 |
0 |
1 |
8 |
12 |
11 |
3 |
5 |
15 |
11 |
0 |
-9 |
-10 |
min |
0 |
1 |
9 |
0 |
1 |
14 |
3 |
5 |
7 |
13 |
12 |
14 |
0 |
5 |
10 |
max |
0 |
1 |
10 |
0 |
8 |
4 |
11 |
2 |
10 |
5 |
11 |
7 |
0 |
3 |
4 |
max |
0 |
8 |
11 |
0 |
3 |
8 |
15 |
9 |
15 |
3 |
14 |
13 |
0 |
-4 |
-7 |
min |
0 |
3 |
12 |
0 |
12 |
7 |
15 |
15 |
4 |
11 |
15 |
15 |
0 |
0 |
14 |
max |
0 |
12 |
13 |
0 |
7 |
15 |
8 |
3 |
12 |
12 |
10 |
15 |
0 |
10 |
12 |
max |
0 |
7 |
14 |
0 |
3 |
3 |
14 |
4 |
14 |
8 |
10 |
8 |
0 |
-3 |
-1 |
min |
0 |
3 |
15 |
0 |
1 |
4 |
8 |
11 |
11 |
7 |
10 |
14 |
0 |
-2 |
-14 |
min |
0 |
1 |
16 |
0 |
1 |
10 |
13 |
9 |
15 |
3 |
15 |
12 |
0 |
-5 |
-8 |
min |
0 |
1 |
17 |
0 |
3 |
7 |
14 |
14 |
2 |
3 |
15 |
14 |
0 |
-14 |
-10 |
min |
0 |
3 |