§3.Ускорение. Нормальное и тангенциальное

ускорение.

Скорость при движении тел может меняться как по величине, так

и по направлению (рис. 3.1):

Du =u₂ -u₁ изменение скорости за время Dt .

Определение ускорения:

a = = = υ

r dr r du d r r

dt dt dt²

Ускорение равно первой производ-

ной от скорости или второй производной от

радиус - вектора по времени.

Ускорение характеризует быстроту

изменения вектора скорости. Оно направлено

так же как Du при ∆t®0. Из рис. 3.1 видно,

что вектор направлен в сторону “закруг-

ления” траектории. Подставим в (3.1) вектор

u , выражен через его проекции (уравнение

(2.5))

Рис.3.1

r d r r dv_x r

dt dt dt

Выразим вектор a через проекции a_x , a_y

a = a_xe_x + a_ye_y . (3.4)

Из (3.3) и (3.4) находим:

2

a_x = , т.к. _{& &&}

dt dt dt dt²

2

аналогично для a_y : & _&&

2

Из (3.2) получим: .

с²

13

Малый участок криволинейной траекто-

рии всегда можно представить как дугу окружно-

сти радиуса R (рис. 3.2). Этот радиус называется

радиусом кривизны траектории для данной точки

кривой. Центр окружности (точка О) называется

центром кривизны траектории. Из сказанного

выше следует, что вектор a всегда направлен в

сторону центра кривизны. Разложим вектор a на

две составляющие: одна из них a_n направлена по

радиусу кривизны, вторая a_t - по касательной

(т.е. по линии перпендикулярной к радиусу кри-

a = a_n + a_t

Составляющая a_n называется нормальным (или центростремительным)

ускорением и характеризует быстроту изменения направления вектора

скорости.

(3.6)

Составляющая a_t называется тангенциальным (или касательным)

ускорением и характеризует быстроту изменения вектора скорости по

величине. Следовательно, модуль вектора a_t должен быть равен:

(3.7)

Так как a_n перпендикулярна a_t , то:

a = a + a_t²

Примеры.

1. Прямолинейное движение: радиус

кривизны R® ¥ (направление скорости не ме-

няется). Из (3.6) получим:

a_n = 0 ⇒ a = a_τ

14

2. Криволинейное движение с постоянной

по величине скоростью u = const :

a_τ = = 0 ⇒ a = a_n

3. Равнопеременное движение: a = const => .

Из (3.4) получим (после интегрирования левой и правой части)

du_x = a_xdt ; = dt ⇒u_x -u_0x = a_xt ⇒

u_0x 0

u_x = u_{0 x} + a_xt

Из(2.6) следует :

x t₂ t

∫^dx=∫^{u dt ⇒ x- x0 =}∫^{(u +axt)dt ⇒ x = x0 +uox×t +} ₂ ^(3.11)

(3.12)

Например: тело брошено под углом a к

горизонту вверх со скоростью u₀ с высо-

ты h ( рис.3.3).

x₀=0; y₀=h; a_x=0; a_y=-g

u_0x =u₀ cosa ;u_oy =u₀ cos(90 -a) =u₀ sina

x = u₀ cosa × t; y = h +u₀ sina × t -

Рис.3.3

§3А. Вывод формул для тангенциального и нормального ускорений.

На рис.3.а.1 показаны вектора t и скорости для двух положений точек на

криволинейной траектории. Подставим (3.1а) в (3.1).

15

Рис.3а.1 Рис.3а.2

Направим единичный векторt по направлению скорости . Тогда

u = t (3.1а)

(3.2а)

Первое слагаемое в (3.2а) есть вектор a_t :

a_t = t

Следовательно, a_t направлен так же как вектор t , т.е. по направлению вектора , т.е.

по касательной. Т.к. вектор t - единичный, то

du

dt

Второе слагаемое в (3.2а) есть нормальное ускорение:

a_n = u . (3.3а)

dt

Найдем производную от единичного вектора t ( рис. 3.а.2).

dτ ∆τ τ₂ - τ_{1 . (3.4а)}

По определению :

∆ t ® ∆ t ®

Направим единичный вектор n₁ так же как вектор Dt . Тогда:

∆τ = ∆τ × n₁ , (3.5а)

где Dt - длина вектора Dt . Учитывая, что ∆t®0, т.е. Dj - мал, длину Dt можно

найти как длину дуги окружности с радиусом t₁=t₂=t=1 и центральным углом Dj

(рис 3.a2):

16

∆t=t∆j=∆j (t=1). (3.6а)

Подставим (3.5а) и (3.6а) в (3.4а) :

При ∆t®0 направление вектора n₁ стремиться к направлению, совпадающему с направ-

лением радиуса кривизны R :

при Dt®0

Из рис. 3a.1 и 3a.2 видно

Подставим Dj в (3.7а) :

lim₀ ^{× × n = n} _{∆t ®} ^{= n . (3.8а).}

∆t ®

a_n = u × n = n

Т.е. вектор a_n направлен по радиусу кривизны и равен по модулю _u ² _R .