Задача 1
С колеса движущегося автомобиля соскакивает декоративный колпак, который, попрыгав по дороге, начинает катиться без скольжения. При какой скорости автомобиля Vo это возможно? Радиус колеса равен R= 40 см, колпак можно рассматривать как однородный диск радиусом r=20 см, коэффициент трения между колпаком и дорогой k= 0,2.
1.Физическая модель задачи
Вначале
колпак движется с колесом с поступательной
скоростью Vo
и угловой скоростью вращения
o=Vo
/R.
После срыва центра масс колпак падает
с высоты (R-r)
на дорогу и начинает подскакивать,
испытывая с дорогой неупругие столкновения.
В каждый момент контакта с землей на колпак действуют две силы: трение скольжения и реакция поверхности, равная по величине и противоположная по направлению силе давления колпака на поверхность. Эффекты от действия этих сил легко определить из рисунка.
Как видно из рисунка, сила трения замедляет поступательное движение колеса, одновременно ускоряя его вращательное движение, так как момент этой силы направлен в направлении вращения.
Из-за неупругого взаимодействия колпака с дорогой после каждого удара подскок колпака становится ниже и ниже, и, наконец, подпрыгивание прекращается. Это означает, что вся потенциальная энергия, которой колпак обладал вначале- израсходована, вместе с ней была потеряна и часть энергии поступательного движения за счет действия силы трения.
2 Основные понятия
Качение без проскальзывания, неупругие столкновения, сила трения скольжения, момент силы трения, сила реакции, сила давления, уравнение движения твердого тела.
Качение без проскальзывания это движение колеса, в данной задаче колпака, когда в точке контакта колеса и поверхности, скорость колеса равна нулю. Это означает, что нет скольжения одного тела относительно другого. При качении без проскальзывания колпака скорость его центра масс связана с угловой скоростью вращения соотношением:
При
проскальзывании это условие не выполняется
и
,
или
.
Сила
трения скольжения равна
,
где N
- сила давления, равная и противоположная
по направлению силе реакции опоры. Сила
давления в общем случае зависит от
характера взаимодействия тел. В частности,
в данной задаче она зависит от вертикального
импульса центра масс колеса. Связь всех
названных физических величин задачи
задается уравнением движения твердого
тела:
,
,
где m и I-масса и момент инерции колпака, t- время,
-
моменты сил трения и реакция опоры
относительно центра масс колпака.
3.Логическая схема решения
Запишем уравнения движения колпака в координатных осях x, y и z (ось z проходит через центр масс колеса):
,
,
.
В приведенных формулах все обозначения соответствуют рисунку. Момент силы реакции в последнее уравнение не входит, так как он равен нулю.
Разделим первое уравнение на второе. В результате получим:
или
.
Проинтегрируем полученное уравнение в пределах изменения скорости V x от Vo до Vкач , а Vy от Vyo до нуля.
Так как центр масс колпака падает с высоты (R-r), то Voy равна:
.
Окончательно:
.
Свяжем теперь поступательную скорость движения колпака с его угловой скоростью. Для этого разделим первое уравнение системы на третье. Получим,
Проинтегрируем левую часть уравнения в пределах от Vo до Vкач , а правую часть от o до кач
Учитывая, что:
получим:
.
Теперь объединим промежуточные результаты
Выделяя Vo , имеем:
.
Подставим в последнее выражение
численные значения, найдем, что подобное
движение колпака возникает при
