План обработки результатов прямых измерений
Пусть с целью получения наиболее точного значения произведено n измерений искомой величины X, распределение которой подчиняется нормальному закону, и получено n значений:
Рассмотрим этапы стандартной статистической обработки результатов измерений и оценки погрешностей.
Находим среднее арифметическое значение измеряемой величины:
.
2. Вычисляем абсолютные погрешности результатов отдельных измерений:
.
3. Вычисляем среднюю квадратичную погрешность отдельных измерений:
.
Отбрасываем промахи, т.е. те результаты, для которых:
и уточняем
оставшееся число измерений, которое и
будем снова принимать за n.
Вычисляем погрешность.
Вычисляем погрешность арифметического (или уточненное среднее квадратическое отклонение).
.
6.
Определяем
границы доверительного интервала,
пользуясь коэффициентом Стьюдента
.
Значение коэффициента Стьюдента определяем по таблице, исходя из числа измерений n и доверительной вероятности p (или уровня значимости 1-p). В лабораторных исследованиях считается достаточным доверительная вероятность 0,95 (или уровень значимости 0,05).
Определяем приборную погрешность (
.
Сравниваем значения приборной погрешности и доверительного интервала. Если одна из погрешностей больше другой в три и большее число раз, то в конечном результате учитывают только ее:
или
.
Если же погрешности окажутся близкими по значению, то граница суммарной погрешности определяется по формуле:
.
Записываем окончательный результат в стандартной форме с учетом общей границы погрешности (по пункту 8 данного плана):
.
Вычисляем относительную погрешность:
.
Таблица коэффициентов Стьюдента
-
Число измерений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(p, n)
12,7
4,3
3,2
2,8
2,6
2,5
2,4
2,3
2,3
План обработки результатов косвенных измерений
Пусть искомая
величина
является
функцией нескольких переменных
,
каждая из которых может быть получена
в результате прямых измерений:
.
Находим среднее значение искомой величины:
.
2. Для определения абсолютной погрешности искомой величины находим полный дифференциал функции:
.
При малых значениях
дифференциалов аргументов
(или
приращений аргументов
)
приращение
функции
приближенно
равно значению ее дифференциалу
:
.
В теории погрешностей формулируется закон сложения погрешностей, согласно которому для нахождения суммарной погрешности нужно складывать не сами погрешности, а их квадраты:
.
Вычисление этим методом будет более точным, но и более трудоемким при ручной обработке результатов измерений.
3. Окончательный результат записываем в стандартном виде:
.
4. Находим относительную погрешность косвенного измерения:
.
При обработке результатов измерений следует помнить, что точность вычислений должна согласовываться с точностью измерений: числовое значение результата не должно содержать большего числа цифр, чем число, заданное с наименьшей точностью.