§ 3. Смо с отказами

Работа СМО с отказами определяется следующими параметрами:

1) число каналов n;

2) плотность потока заявок ;

3) плотность «потока обслуживаний» , то есть плотность потока заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом.

Величина  обратно среднему времени обслуживания одной заявки:

,

где  = M[T_об]; T_об – случайное время обслуживания.

Р ассмотрим размеченный граф состояний n-канальной СМО с отказами. Состояние Х_k (1 ≤ k ≤ n) соответствует занятости ровно К каналов из n.

Отсюда получаем дифференциальные уравнения для вероятностей состояний (уравнения Эрланга):

Эту систему обычно интегрируют при начальных условиях:

P₀(0)=1; p_k(0)=0 (k>0)

– в начальный момент все каналы свободны.

При t   существует предельный (установившийся, стационарный) режим. В этом случае

то есть система дифференциальных уравнений Эрланга заменяется однородной системой линейных алгебраических уравнений

(3.1)

Последнее уравнение обозначает, что сумма вероятностей всех состояний равна 1.

Начальные условия для стационарного режима не важны: p_k не зависят от того, сколько каналов было занято в начальный момент времени.

Решим систему. Из первого уравнения (3.1) имеем

(3.2)

Из второго с учетом (3.2)

(3.3)

Аналогично из третьего с учетом (3.2) и (3.3)

и вообще, для любого k≤n

(3.4)

Введем обозначение и назовем величину  приведенной плотностью потока заявок. Здесь  – среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки.

Действительно, .

Тогда .

Используем формулу .

Подставив выражения в эту формулу, получим

(3.5)

откуда

(3.5*)

Окончательно для p_k получим

(3.6)

где , или P(k;) = R(k;) – R(k–1;).

Значения функции R(k;) могут быть найдены по таблице.

При малых n вероятности p_k несложно вычислить непосредственно.

Вероятность того, что заявка будет обслужена (не получит отказа) выражается формулой

(3.7)

Найдем остальные характеристики СМО.

Среднее число занятых каналов определим из равенства:   = Р_обс, где справа и слева стоит плотность потока обслуженных заявок.

Откуда

(3.8)

или

Выражение для можно найти и из формулы , где p_k определены раньше.

Обозначим вероятность того, что произвольно взятый канал занят обслуживанием какой-то заявки, через Р_зан. Очевидно, что эта вероятность одинакова для всех каналов, следовательно , откуда

(3.9)

Среднее время занятости канала , то есть равно среднему времени обслуживания заявки.

Среднее время простоя канала определим из условия , откуда .

Задача 1. Организация принимает заказы по телефону. Имеется четыре телефонных линии. В среднем за 1 мин. поступает 6 заказов. Время приема заказа в среднем составляет 30 сек. и распределено по показательному закону. Определить:

1) вероятности p_k – занято k каналов;

2) вероятность того, что заказ будет принят;

3) среднее число занятых каналов;

4) вероятность занятости канала;

5) среднее время простоя канала.

Имеем СМО с отказами.

Решение. Число каналов n = 4;

 = 6 ; ; ; .

1) Вычислим вероятности p_k:

.

Имеем: (полагаем 0!=1).

,

откуда .

2) Вероятность того, что заказ будет принят, то есть хотя бы один телефон свободен:

р_обс = 1 – р₄ =    0,793.

3) Среднее число занятых каналов:

.

4) Вероятность того, что произвольно взятый канал будет занят:

.

5) Среднее время простоя канала:

.

Замечание. Среднее число занятых каналов можно вычислить и по формуле:

Задача 2. Рассматривается работа автоматической телефонной станции (АТС), рассчитанной на одновременное обслуживание 25 абонентов (25-канальная СМО). Вызов на АТС поступает в среднем через 6 секунд. Каждый разговор длится в среднем 2 минуты. Если абонент застает АТС занятой, то он получает отказ. Если абонент застает свободным хотя бы один из 25 каналов, то он соединяется с нужным ему номером.

Определить: 1) вероятность обслуживания абонента;

2) среднее число занятых каналов;

3) вероятность того, что произвольно взятый канал будет занят;

4) среднее время простоя канала.

Решение. n = 25;  =  ; ; .

1) Вероятность обслуживания:

2) Среднее число занятых каналов:

.

3) Вероятность того, что канал занят:

.

4) Среднее время простоя канала.

.

Из полученных данных видно, что АТС достаточно загружена, но имеется некоторый резерв. Вероятность дозвониться с первого раза достаточная.

Задача 3. Рассмотрим работу телефонной справочной службы с одним каналом обслуживания (СМО с отказом). Среднее число поступающих в течение одного часа заявок равно 20. Среднее время обслуживания одной заявки составляет одну минуту.

Найти основные характеристики СМО:

1) вероятности состояний системы р₀, р₁;

2) вероятность обслуживания заявки р_обс;

3) среднее число занятых каналов ;

4) вероятность занятости канала;

5) среднее время простоя канала.

Проанализировать, как изменятся характеристики, если создать еще один канал обслуживания. С какой интенсивностью должна обслуживаться заявка каждым каналом, чтобы доля потерянных заявок составила менее 20 %?

Решение.

а) Для одноканальной СМО.

Из условия п = 1;  = 20 (з/час); . Найдем .

Для нахождения р₀ и р₁ используем формулу:  .

2) р_обс = 1 – p₁ =   =0,75.

3) Среднее число занятых каналов .

4) Найдем вероятность занятости канала:

(для одноканальной СМО Р_зан = р₁).

5) Найдем среднее время простоя канала:

.

б) Для двухканальной СМО с отказом: п = 2;  = 20 (з/час); ; .

1) Состояний системы будет три: р₀, р₁; р₂.

В этом случае .

Вычислим .

Найдем ..

2) р_обс = 1 – p₂ =   =0,96.

3) .

4) .

5) .

в) Заявка, поступившая в систему, теряется в том случае, если заняты все каналы. В нашем случае р₂ = 0,2. Параметр  = 20 остается, так как не зависит от внутренних характеристик системы. Новую интенсивность обслуживания обозначим _*. Тогда ; . Получим уравнение или 2_*² –  – =0. Решая полученное уравнение, получим _*1 = 1, _*2 =  . Так как _* > 0, то _*2 =  не удовлетворяет условию задачи. Получим ; _* = ; _* = 20.

Итак, интенсивность обслуживания, при которой теряется менее 20% заявок, должна быть заявок в час.

Задача 4. Станция ПВО имеет четыре канала наведения. Каждый канал может наводить одну ракету на одну цель. Среднее время наведения 30 сек. Поток целей простейший с плотностью  = 4 цели в минуту. Станцию можно считать системой с отказом, так как цель, по которой наведение не началось в момент, когда она вошла в зону действия станции ПВО, вообще остается не атакованной. Найти следующие характеристики станций:

1) р_i – вероятность того, что занято i каналов;

2) р_обс – вероятность уничтожения цели;

3) вероятность прорыва цели к объекту;

4) – среднее число занятых каналов;

5) с какой интенсивностью должны работать два канала, чтобы доля прорвавшихся через станцию ПВО объектов осталась на прежнем уровне?

Решение. Рассмотрим время в минутах.

Дано: п = 4; ; = 4.

Найдем ; .

1) Воспользуемся формулой

.

Найдем

Следовательно,

Контроль: .

2) Вероятность уничтожения цели:

р_обс = 1 – p₄ = 1 –  .

3) Вероятность прорыва цели к объекту равна .

4) Среднее число занятых каналов

.

5) Обозначим вероятности состояний двухканальной системы р₀^*, р₁^*; р₂^*.

Пусть  – интенсивность работы канала для двухканальной системы (то есть количество объектов, на которые канал наводит ракету за 1 минуту). Пусть . Поток целей для двухканальной системы остается с прежней плотностью  = 4. Цель прорывается к объекту в случае, если заняты все каналы, то есть p₄ = p₂^* или . После преобразований получим квадратное уравнение 17_*² – 4_* – 4 =0. Решая это уравнение, получим не удовлетворяет условиям задачи.

Найдем _* из уравнения ; , откуда _* .

Сравним результаты. В четырехканальной системе каждый канал за минуту наводил ракеты на 2 цели. В двухканальной системе, которая обладает той же степенью надежности защиты объекта, интенсивность работы канала должны составлять 6,56 целей в минуту, то есть возрасти более чем в три раза.

Задача оптимизации СМО с отказом.

Пусть известна плотность потока поступающих в систему заявок , среднее число заявок, обслуживаемых одним каналом в единицу времени . За обслуживание одной заявки клиент платит A рублей. Содержание одного канала обслуживания составляет B рублей в час. Необходимо определить оптимальное число каналов таким образом, чтобы получить максимальную прибыль.

Метод решения: - среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени. - денежная сумма, оплаченная клиентами за единицу времени (доходы). - расходы на содержание n каналов. Учитывая, что , решение задачи сводится к нахождению минимума функции целочисленного аргумента . Методы дифференциального исчисления здесь не применимы, так как не существует. Найдем и . Если , то оптимальное число каналов . Если , то найдем . Если , то оптимальное число каналов . В противном случае ищем и т.д. до тех пор, пока не получим неравенство . В этом случае оптимальное число каналов . Задача всегда имеет решение, так как доходы ограничены числом , а расходы с увеличением n неограниченно увеличиваются. В частности, если расходы заведомо превысят доходы в случае

Задача 5. Пусть в СМО с отказом поступает в среднем 12 заявок в час. Среднее время обслуживания заявки составляет 10 мин. За обслуживание заявки клиент платит 50 рублей. Содержание одного канала обслуживания обходится 90 рублей в час. Определить число каналов обслуживания, при которых прибыль максимальна.

Решение. Из условия имеем ,  , . Функция прибыли

1) Пусть . . Прибыль .

2) Для . Прибыль . , поэтому рассмотрим .

3) Для получим . Прибыль . , поэтому рассмотрим .

4) Для имеем . Прибыль составит . Прибыль уменьшилась, так как , то оптимальное число каналов обслуживания .