- •1 Матрицы. Операции над матр.
- •2 Определители. Св-ва определ.
- •3 Обратная матрица
- •4 Системы линейных уравнений.
- •5 Системы линейных уравнений.
- •6 Свободный вектор. Линейные операции
- •8 Координаты вектора в базисе
- •10 Направляющие cos
- •11 Векторное произведение [a,b]
- •18 Уравнение с угловым коэффициентом. Угол между прямыми.
- •19 Расстоян от тчк до прямой
- •20 Плоскость
- •21 Канонич уравнение прямой. Условие параллелн-ти прямой и плоскости
- •22 Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоск.
- •29. Параболоиды
- •28. Гиперболоиды
- •27. Эллипсоид. Конус
- •26.Классификация кривых второго порядка
- •25. Парабола
- •24. Гипербола
- •23. Эллипс
19 Расстоян от тчк до прямой
l:Ax+By+C=0 M(x0;y0) р(M;l)=MK
20 Плоскость
Параметр уравнен
выбирем в R3 афф сист коор. Тчк F(x0;y0;z0) – базис тчк, u={u1,…} v=… M(x,y,z). u и v определяют положение плоскости в пространстве.
OM=OF-FM, FM||P, u и v – базис
FM=tu+sv при t и s параметр в векторной форме OM=tu+sv+OF
Параметр уравн прямой через тчк(x0,y0,z0) и || u и v: x=tu1+sv1+x0 y=tu2+… z=…
Общее уравнен
Векторы FM, u, v – компланарны.
FM={x-x0;y-y0;z-zo}. Вычислим смешанное произведение, миноры обазначим: A,-B,C. A(x-x0)+B(y-y0)+c(z-z0)=Ax+By+Cz+D=0 при D=-(Ax0+By0+Cz0) лин уравн относит x,y,z P: Ax+By+Cz=0
Нормаль
N={A;B;C}={миноры}=это вектор произвед [u;v] n перпенд P нормаль к плоскости
Через 3 тчк.
Плоскость проходит через М1,М2,М3. они не лежат на одной прямой. , но M1M,M1M2,M1M3 компланарны. (M1M,M1M2,M1M3)=0
|x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1… x3-x1|=0
21 Канонич уравнение прямой. Условие параллелн-ти прямой и плоскости
a||l, F(x0;y0;z0) – базис, a={m,n,p} в параметрической форме l:x=tm+x0, y=tn+y0, … вырозим t. Основ уравнен прямой через тчк(x0;y0;z0) и || {M;N;P}:X-x0/m=y-y0/n=z-z0/p
Условие параллел
P||l P: Ax+By+Cz=0 n={A;B;C} l=x-x0/m=y-y0/n=z-z0/p a={m,n,p}||l P||l только когда а перпердикул n. (a;n)=0
Услов паралел Am+Bn+Cz=0
22 Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоск.
P1:A1x+B1y+C1z+D1=0 P2:… угол L=(P1^P2)=(n1^n2), n1={A1;B1;C1} n2=… . cosL=|n1,n2|/|n1||n2|
Между прямой и плоскост
P:Ax+By+Cz=0 l:x-x0/m=y-yo/n=z-z0/p угол между прямой и плоскостью это угол между этой прямой и ее проекцией.
cosB=|(a,n)/|a||n||sinL
29. Параболоиды
1) Эллиптический параболоид
p,q>0
Сечения: x=h,
- парабола
q – параметр, q>0 ветви вверх, вершина: ,
y=h , x - парабола, р – параметр, ветви вверх
z=h h>0 – эллипс, h=0 – точка(0;0;0), h<0 – мнимый эллипс(пустое множество)
2) Гиперболичекий параболоид
, p,q>0
Сечения: x=h , - парабола с параметром q, ветви вниз
Y=h , - парабола с параметром р, ветви вверх
Z=h , h=0 - гипербола , h не равно 0 – пара пересекающихся прямых
28. Гиперболоиды
1) Гиперболоид однополостный – множество точек пространства R3 , которое в некоторой прямоугольной ск м.б. задано уравнением:
Сечения: Пусть x=h при |h| не равном а это гипербола. |h|=a, то пара пересекающихся прямых
При y=h аналогичное сечение
Пусть z=h - эллипс для любого h
При h=0 получаем так называемое горловое сечение
2) Гиперболоид двухполостный – мнжество точек пространства R3, которое в некоторой прямоугольной ск м.б. задано уравнением:
Сечения: x=h - гипербола для любого h, y=h – аналогично
Z=h. |h|>c – эллипс , |h|=c – пара точек, |h|<c – пустое множество
27. Эллипсоид. Конус
1) Эллипсоид – множество точек пространства R3 в некоторой прямоугольной ск, удовлетворяющих уравнению:
, xЄ(-a;a), yЄ(-b;b), zЄ(-c;c)
Сечения: пусть x=h: , |h|<0 - эллипсв сечении, |h|>a – пустое множество, |h|=a – точки (±а;0;0)
Аналогично при y=h и z=h
2) Конус – множество точек в пространстве R3, которое в некоторой прямоугольной ск м.б. заданоуравнением:
Сечения: Пусть x=h . Если h не равно 0, то гипербола, если h=0, то пара пересекающихся прямых
При y=h аналогичные сечения
Пусть z = h . При h не равном 0 – эллипс, при h=0 – точка (0;0;0)