Задание 7.3. Вычисление среднего значения с учётом корректировки

В некоторых видах соревнований (гимнастика, фигурное катание, прыжки в воду ) для уменьшения влияния субъективности судейства оценка за выступление спортсмена может определяться следующим образом: из всех оценок, присуждённых судьями, отбрасывается максимальная и минимальная оценки, оставшиеся усредняются. Если максимальных или минимальных оценок несколько, то отбрасывается по одной из них.

1. Составить программу вычисления оценок за выступления спортсменов в художественных видах соревнований, производя усреднение:

а) обычным способом;

б) с учетом корректировки для уменьшения субъективности судейства;

2. Оценить, на сколько процентов корректировка изменяет результат.

Указание. Использовать десятибалльную систему оценок. Число судей n  10.

Задание 7.4. Вычисление нормы вектора

Пусть вектор Х задаётся своими координатами х_i, i=1, …, n в n – мерном векторном или метрическом пространстве. Аксиоматика n – мерного векторного пространства строится на основе аксиоматики евклидова пространства. Для этого формулируются аксиомы, которые определяют свойства линейности, однородности, изотропности пространства. Попросту говоря, евклидово пространство – плоское пространство, без искривлений и деформаций.

В дополнение к этим аксиомам задаётся метрика пространства с помощью определения скaлярного произведения векторов. Скалярное произведение должно быть симметричной функцией относительно координат векторов. Введение метрики позволяет определить длины векторов и расстояние между точками пространства. Для евклидова пространства метрика положительна во всех точках пространства. В принципе, метрические пространства могут отличаться от евклидовых различным определением метрики.

Понятие нормы векторов можно ввести в метрическом пространстве тремя способами.

1. — первая норма, или m-норма. Здесь обозначает абсолютное значение компоненты вектора , а max — максимальное значение из всех компонент, когда индекс i пробегает значения i = 1, …, n.

2. – вторая норма, или

l – норма.

2. – третья норма, или

k – норма.

1. Cоставить подпрограммы–функции для вычисления 1-й, 2-й и 3-й нормы вектора Х. Аргументы функции: длина вектора и имя вектора. Размерность n – мерного векторного пространства X(1, 2, .... , n) может изменяться в пределах:

1  n  100.

2. Ввести 3-мерный вектор, вычислить для него все три нормы и выдать на печать с текстовыми надписями.

Задание 7.5. Числа Фибоначчи

Задача Леонардо Фибоначчи (Leonardo filius Bonacci – Леонардо сын Боначчи. "Liber abacci" – книга об абаке. Пиза, 1202г (по другим данным, 1228 г – всё равно, книга издана очень давно).

Абак – доска с углублениями (желобками), в которые укладываются камешки при вычислениях. Это древнейшее счётное устройство. В несколько изменённом виде абак дожил до нашего времени, преобразившись в хорошо всем нам известные счёты.

Итак, задача Фибоначчи:

«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения».

Решение задачи Леонардо Фибоначчи даётся числовым рядом, члены которого называются числами Фибоначчи. Начальные члены ряда чисел Фибоначчи можно задать значениями f₀ = 0; f₁ = 1.

Последующие члены этого ряда вычисляются с помощью рекуррентного соотношения

f_i = f_i-1 + f_i-2

1. Ввести целое n, вычислить первые n чисел Фибоначчи и записать их в массив.

2. Дать ответ на вопрос, сформулированный Леонардо Фибоначчи.

3. Определить, чему равен предел отношения двух соседних чисел Фибоначчи f_n-1/f_n

при n.

Для определения предела отношения соседних членов ряда чисел Фибоначчи можно сформировать дополнительный массив, куда записать отношения f_n-1/f_n. Организовать диалоговый режим вычислений, и, увеличивая n, можно путём машинного эксперимента найти требуемый предел.

Дополнение. Живший примерно лет через четыреста после Фибоначчи математик и астроном И. Кеплер (1571 – 1630) установил, что числа Фибоначчи связаны с «золотой пропорцией». Мы с вами также должны были установить эту связь.

Отметим также, что задача Фибоначчи отражает некоторые глубокие закономерности роста, заложенные в живой и неживой природе. Так что кролики здесь, собственно, фигурируют абстрактно, как некие живые существа. Числа Фибоначчи были обнаружены при исследовании строения и эволюции объектов неживой природы, также при изучении процессов жизнедеятельности: роста, развития, функционирования живых организмов. Где только они не найдены: и в строении листьев, и в лучах морских звезд, и в числе лепестков у цветков, и в числе ножек у гусениц, и в ритмах мозга и сердца – примеров можно привести бесчисленное множество. Здесь мы соприкасаемся с одной из тайн мироздания, и хотелось бы, чтобы читающие эти строки осознали это.