Задача 3

3.1. Имеются три урны. В первой 5 белых и 3 чёрных; во второй 4 белых и 6 чёрных; в третьей только белые шары. Наугад выбирают урну, а из неё шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

3.2. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80 % всех случаев работы прибора; ненормальный – в 20 %. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном – 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя за время t.

3.3. Имеются две урны: в первой 2 белых шара и 6 чёрных; во второй 5 белых и 7 чёрных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

3.4. Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство; второй – 1/3. Надёжность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна 0,85; второго – 0,9. Определить полную (среднюю) надёжность прибора, поступившего на производство.

3.5. Имеется две партии однородных изделий; первая партия состоит из 10 изделий, среди которых 3 дефектных; вторая партия состоит из 15 изделий, среди которых 5 дефектных. Из первой партии берётся случайным образом 6 изделий, а из второй – 8 изделий; эти изделия смешиваются, и образуется новая партия. Из новой смешанной партии берётся наугад одно изделие. Найти вероятность того, что изделие будет дефектным.

3.6. Группа студентов состоит из 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

3.7. Для улучшения качества радиосвязи используются два радиоприёмника. Вероятность приема сигнала каждым приёмником равна 0,8, и эти события независимы. Определить вероятность приёма сигнала, если вероятность безотказной работы за время сеанса радиосвязи для каждого приёмника равна 0,9.

3.8. Прибор состоит из двух узлов: работа каждого узла, безусловно, необходима для работы прибора в целом. Надёжность (вероятность безотказной работы в течение времени t) первого узла равна 0,7; второго – 0,9. Прибор испытывался в течение времени t. Найти вероятность того, что прибор вышел из строя.

3.9. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Найти вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на три произвольно заданных вопроса.

3.10. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трёх касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0,4; 0,7; 0,85. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равны для первой кассы 0,5; для второй – 0,3; для третьей – 0,6. Пассажир направился за билетом в одну из касс. Найти вероятность того, что пассажир приобретёт билет.

3.11. По самолёту производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4; при втором – 0,5; при третьем – 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолёт выходит из строя с вероятностью 0,2; при двух попаданиях с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трёх выстрелов самолёт будет выведен из строя.

3.12. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8; для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

3.13. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества; вообще около 40 % приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надёжность (вероятность безотказной работы) за время t равна 0,95; если из деталей обычного качества – его надёжность равна 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

3.14. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы 4 студента, из второй – 6, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,5; 0,4 и 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из этих трёх групп он вероятнее всего принадлежит.

3.15. В первой урне имеется 4 белых и 3 чёрных шара, во второй – 3 красных, 2 белых и 3 чёрных шара. Наудачу из первой во вторую урну перекладывают два шара. Какова вероятность того, что наудачу извлечённый шар из второй урны окажется белым?

3.16. В первой урне 4 белых и 3 чёрных шара, во второй – 3 белых и 4 чёрных шара. Из первой урны извлекают наудачу 3 шара, и шары того цвета, которых большинство, перекладывают во вторую урну. Затем наудачу извлекают один шар из второй урны. Какова вероятность того, что он белый?

3.17. В первой урне 3 белых и 4 чёрных шара, во второй урне – 4 белых и 3 чёрных шара. Из первой урны извлекают наудачу два шара и если они одного цвета, то перекладывают во вторую урну; если разного цвета, то возвращают в первую урну. После этого наудачу взятый один шар из второй урны оказался белого цвета. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую переложили два белых шара?

3.18. На склад поступили три партии электрических ламп. Известно, что в первой партии, состоящей из 400 шт., содержится 2 % нестандартных, во второй, состоящей из 500 шт., – 3 % и в третьей, состоящей из 100 шт., – 2% нестандартных. Со склада лампы поступили в магазин и здесь оказались расположенными случайным образом. Определить вероятность того, что продавец, берущий первую попавшуюся лампу, возьмёт нестандартную.

3.19. На распределительной базе находятся холодильники, произведённые двумя заводами. Среди них 70 % изготовлены первым заводом и 30 % – вторым. Известно, что из каждых 100 холодильников, произведённых первым заводом, в среднем 96 удовлетворяет стандарту, а из 100, произведённых вторым заводом, удовлетворяет стандарту 98. Определить вероятность того, что взятый наугад с базы холодильник будет удовлетворять требованиям стандарта.

3.20. Из продаваемого в магазине молока 40 % поставляет первый молокозавод, а второй – остальные 60 %. В среднем 9 из 1 000 пакетов первого поставщика не выдерживают транспортировки и разгерметизируются, а у второго – 1 из 250. Случайно выбранный пакет оказался разгерметизированным. Найти вероятность того, что он произведён на первом заводе.

3.21. В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки.

3.22. В сеансе одновременной игры в шахматы с гроссмейстером играют 10 перворазрядников, 15 второразрядников. Вероятность того, что в таком сеансе перворазрядник выиграет у гроссмейстера, равна 0,2; для второразрядника эта вероятность равна 0,1. Случайно выбранный участник выиграл. Какова вероятность того, что это был второразрядник?

3.23. На сборку поступают однотипные детали с трёх предприятий, причем первое поставляет 50 %, второе – 30 % и третье – остальное количество. Вероятность появления брака для первого, второго и третьего поставщиков соответственно равны 0,05; 0,1 и 0,15. Выборочный контроль обнаружил брак. Какова вероятность того, что брак произошёл по вине второго предприятия?

3.24. Из 20 билетов студент выучил только 15. Что ему выгоднее – тянуть билет самым первым или вторым?

3.25. Из урны, содержащей 2 белых и 3 чёрных шара, наудачу извлекают 2 шара и добавляют в урну один белый шар. После этого из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что он белый?

3.26. В самоанском письменном тексте 67 гласных и 33 согласных буквы. Среди букв, следующих за согласной, все гласные, а среди букв, следующих за гласной, 49 % гласных и 51 % согласных. Какова вероятность того, что за наугад выбранной буквой из текста следует гласная?

3.27. В урне находятся три шара. Все возможные предположения о числе белых шаров в урне равновероятны. Из урны наудачу извлекли один шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что в урне остались два белых шара.