Задача 2.

Корпорація “Бінго” володіє станцією заправки бензином і заміни масел. У звичайний робочий день клієнти прибувають з інтенсивністю 3 людини в годину, а процес заміни масла виконується в середньому кожні 15 хвилин. Механіки працюють бригадним методом: всі обслуговують один автомобіль.

Виходячи з того, що вхідний потік заявок на обслуговування описується розподілом Пуассона, а процес обслуговування оснований на експоненціальному розподілі, визначте наступні значення:

а) коефіцієнт завантаження бригади по заміні масел;

б) середню кількість автомобілів у черзі;

в) середній час очікування обслуговування;

г) загальний час проходження системи (час перебування в черзі, плюс час заміни масла).

Розв’язок

, .

а) коефіцієнт завантаження бригади:

.

б) середню кількість автомобілів у черзі:

автомобілів у черзі.

в) середній час очікування обслуговування:

хвилин в черзі.

г) загальний час проходження системи:

година.

Задача 3.

Компанія “Юніор” спеціалізується на продажі товарів через торгові автомати у великому університеті. Оскільки студенти мають звичай стукати автомати, управлінський персонал компанії постійно має проблеми з їх ремонтом. В середньому кожну годину ламається по три автомати, і поява поломок розподілена за законом Пуассона. Час простою одного автомата обходиться компанії в 25 доларів у годину; кожний ремонтник отримує 4 дол. в годину. Один робочий здатен відремонтувати в середньому 7 автоматів у годину; інтервали між черговими поломками розподіляються ексоненціально; бригада із трьох робочих працює по 8 годин в день і розподіл тривалості ремонту (обслуговування) також експоненціально.

Який оптимальний розмір бригади по обслуговуванню цих торгових автоматів?

Розв’язок

Ситуація 1. Один робочий.

в годину (розподіл Пуассона); в годину (експоненціальний розподіл).

Середня кількість автоматів в системі, яка обслуговується:

автомата.

Вартість простою складає 25дол * 1,5 = 37,50 дол. в годину; вартість ремонтних робіт 4 дол. в годину; загальна вартість в годину на одного робітника:

37,50 + 4,00 = 41,50 дол. Отже:

Простій - (1,5 * 25 дол.) = 37,50 дол.

Оплата праці - (1 робочий * 4,00 дол.) = 4,00 дол.

Всього - 41,50 дол.

Ситуація 2. Двоє робочих.

; .

Середня кількість автоматів у системі:

автомата.

Простій - (0,75 * 25 дол.) = 18,75 дол.

Оплата праці - (2 робочих * 4,00 дол.) = 8,00 дол.

Всього - 26,75 дол.

Ситуація 3. Троє робочих.

; ;

автомата.

Простій - (0,60 * 25 дол.) = 15,75 дол.

Оплата праці - (3 робочих * 4,00 дол.) = 12,00 дол.

Всього - 27,75 дол.

Отже, порівнявши загальні витрати на одного, двох і трьох ремонтників, ми бачимо, що оптимальною є бригада із 2 робочих.

Задача 4.

Аналіз роботи чотирьох ткацьких станків на текстильній фабриці компанії “Ткач” показав, що в середньому кожна машина погодинно потребує наладки і наладчику потрібно на цю роботу в середньому 7,5 хвилин. Виходячи із розподілу Пуассона вхідного потоку і експоненціального розподілу часу обслуговування, а також із того, що простій станка обходиться у 40 дол. в годину. Визначте, чи варто компанії найняти другого наладчика (при умові, що його швидкість наладки також буде становити 7,5 хвилин). Праця робітника-наладчика оплачується по 7 дол. в годину.

Розв’язок

Так, як ця задача пов’язана з кінцевими чергами, то вирішується вона з використанням спеціальних таблиць параметрів кінцевої генеральної сукупності.

В даній задачі необхідно порівняти вартість простою станків (як під час очікування наладки, так і в процесі обслуговування) і витрати на одного наладчика з вартістю простою станків і витратами на двох робочих. Для цього слід визначити середню кількість станків в сервісній системі і помножити це число на вартість простою в годину. До отриманого значення добавляються витрати на робочу силу.

Умовні позначення:

N – кількість станків в генеральній сукупності (розмір популяції);

M – кількість наладчиків;

T – час, який необхідний для обслуговування одного станка;

U – середній час експлуатації станка між двома черговими наладками;

X – коефіцієнт обслуговування або доля часу обслуговування кожного станка (Х = Т/(Т + U));

L – середнє число станків, що перебувають в черзі на обслуговування;

Н – середня кількість станків, які знаходяться в процесі обслуговування.

На основі параметрів, що знаходяться в нормативній літературі визначимо наступні значення:

D – ймовірність того, що станку, який потребує наладки, доведеться чекати в черзі;

F – коефіцієнт ефективності очікування в черзі на обслуговування.

В задачі, що розглядається необхідно проаналізувати дві ситуації: з одним і двома наладчиками.

Ситуація 1. Один наладчик.

Із умови задачі відомо наступне:

N = 4; М = 7,5 хв.; U = 60 хвилин.

Визначимо коефіцієнт обслуговування:

Для популяції N = 4, із нормативної літератури величинам Х = 0,111 і М = 1 приблизно дорівнює значення F = 0,957 (коефіцієнт ефективності очікування в черзі).

Кількість станків, що очікують в черзі на обслуговування становить:

L = N (1 - F) = 4 (1 – 0,957) = 0,172 станка.

Кількість станків, що знаходяться в процесі обслуговування складе:

Н = FNX = 0,957*4*0,111 = 0,425 станка.

Знайдемо кількість станків, що простоюють: (Н + L) = 0,425 + 0,172 = 0,597.

Ситуація 2. Два наладчики.

Для популяції N = 4, із нормативної літератури величинам Х = 0,111 і М = 2 приблизно дорівнює значення F = 0,998 (коефіцієнт ефективності очікування в черзі).

Кількість станків, що очікують в черзі на обслуговування становить:

L = N (1 - F) = 4 (1 – 0,998) = 0,008 станка.

Кількість станків, що знаходяться в процесі обслуговування складе:

Н = FNX = 0,998*4*0,111 = 0,443 станка.

Втрати від простою станків і на оплату праці двох наладчиків приведені в таблиці 1.

Таблиця 1.

Порівняння витрат при обслуговуванні 4-х станків

К-ть на-ладчиків	К-ть станків, що простою-ють (Н+L)	В-ть години простою станка (Н+L)*40	Витрати на робочу силу, (7 дол./год.)	Сумарні витрати, дол. в годину
1	0,597	23,88	7,00	30,88
2	0,451	18,04	14,00	32,04

Із даних таблиці бачимо, що фабриці наймати 2-го наладчика не вигідно.