- •2. Вероятности случайных событий (теоремы сложения и умножения вероятностей)
- •3. Формула Бернулли
- •4. Функция распределения случайных величин и ее свойства
- •5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики
- •6. Плотность вероятности случайных величин и ее свойства (равномерный и нормальный законы распределения)
- •7. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
- •1. Равномерная случайная величина.
- •8. Дискретные случайные векторы и их числовые характеристики (теорема сложения дисперсий)
- •9. Непрерывные случайные векторы и их числовые характеристики
- •10. Независимость и некоррелированность случайных величин, связь между ними
- •11. Точечные оценки неизвестных параметров распределений (выборочные среднее и дисперсия) Точечные оценки. Методы нахождения точечных оценок
- •12. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений (математического ожидания и дисперсии нормальнораспределенной генеральной совокупности)
12. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений (математического ожидания и дисперсии нормальнораспределенной генеральной совокупности)
На практике ограничиться нахождением «хороших» точечных оценок бывает обычно недостаточно. Приближенное равенство лишь указывает на то, что вместо неизвестного параметра можно использовать известное значение оценки . Однако важно знать (хотя бы в вероятностном смысле) величину совершаемой при этом ошибки. Для этого прибегают к построению интервальных оценок неизвестных параметров.
Пусть наблюдаемая величина имеет функцию распределения , зависящую от неизвестного параметра . При интервальном оценивании параметра ищут две такие статистики и ( и - случайные величины!), для которых при заданном выполняется соотношение
.
В этом случае интервал называют -доверительньм интервалом для параметра , число - доверительной вероятностью (надежностью, коэффициентом доверия), и - нижней и верхней доверительными границами соответственно.
Таким образом, -доверительный интервал — это случайный интервал, зависящий от выборки (но не от ), который содержит (накрывает) истинное значение неизвестного параметра с вероятностью . На практике обычно используют значения доверительной вероятности из небольшого набора близких к 1 значений (0,9; 0,95; 0,98; 0,99 и т. д.) и строят соответствующие им доверительные интервалы.
Построение доверительных интервалов для отдельных параметров распределения генеральной совокупности зависит как от вида закона распределения, так и от того, являются известными значения остальных параметров распределения или нет.
Если наблюдаемая случайная величина имеет нормальный закон распределения с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией , то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:
,
где - выборочное среднее; - объем выборки; число - такое значение аргумента функции Лапласа при котором . Находят число по заданной доверительной вероятности из табл. П2.
Квантилью, соответствующей вероятности , называется такое значение , при котором выполняется соотношение
,
где – плотность вероятностей соответствующего закона распределения (слово квантиль – женского рода). Геометрическое пояснение смысла квантили, отвечающей вероятности , приведено на рис. 2.
Рис. 2. Геометрическое пояснение смысла квантили , отвечающей вероятности
В этой терминологии число есть (1+)/2 - квантиль стандартного нормального N(0,1) закона распределения.
Если наблюдаемая случайная величина имеет нормальный закон распределения с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией , то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:
где - выборочная дисперсия; ; - объем выборки; число – - квантиль распределения Стьюдента с (n—1) степенью свободы. Находят квантиль по заданным и из табл. ПЗ.
При больших (практически при ) распределение Стьюдента приближается (в смысле слабой сходимости) к стандартному нормальному закону распределения, поэтому в этом случае .
Доверительный интервал для дисперсии наблюдаемой случайной величины , распределенной по нормальному закону , при известном математическом ожидании имеет вид:
где числа есть квантили распределения хи - квадрат с n степенями свободы соответственно. Квантили распределения хи - квадрат находят по заданным и из табл.П4.
Доверительный интервал для дисперсии наблюдаемой случайной величины , распределенной по нормальному закону , при неизвестном математическом ожидании имеет вид:
где - выборочная дисперсия, а – соответствующие квантили распределения .
При больших (практически при ) с использованием центральной предельной теоремы можно показать, что приближенным (асимптотическим) доверительным интервалом для дисперсии нормально распределенной случайной величины с неизвестным математическим ожиданием является интервал
Фактически это означает, что для квантилей распределения хи - квадрат и при имеют место приближенные формулы:
Если распределение наблюдаемой случайной величины произвольное (не обязательно нормальное), то, используя асимптотическую нормальность выборочных моментов, можно показать, что при больших объемах выборки приближенными (асимптотическими) доверительными интервалами для математического ожидания и дисперсии являются:
где - выборочное среднее; - выборочная дисперсия; ; - выборочный центральный момент четвертого порядка.
Замечание: Все приведенные доверительные интервалы, рассчитанные для заданной выборки , являются обычными числовыми интервалами, внутри которых неизвестный параметр находится в 100% случаев.