4. Работа №1. Исследование однофазного двухобмоточного трансформатора

4.1. Цель работы

Целью данной работы является ознакомление с устройством, принципом действия и экспериментальное изучение режимов работы однофазного трансформатора. Опытное определение основных параметров трансформатора.

4.2. Теоретическая часть

Трансформатор представляет собой статический электромагнитный аппарат, служащий для преобразования переменного тока одного напряжения в переменный ток другого напряжения без изменения частоты.

Основные части трансформатора: сердечник (магнитопровод) и две обмотки - первичная и вторичная, связанные индуктивно при помощи магнитного потока.

Сердечник трансформатора для уменьшения потерь на вихревые токи выполняется шихтованным, т.е. набирается из листовой электротехнической стали или выполняется витым тороидальным.

Обмотки трансформаторов малой мощности выполняются круглым медным и алюминиевым обмоточным проводом различных марок по нагревостойкости, а также алюминиевой фольгой в виде лент. Обмотка, подключаемая к сети, называется первичной, а обмотка к которой подключается приемник (нагрузка) – вторичной. Все величины, относящиеся к этим обмоткам (токи, напряжения, ЭДС и т.п.), соответственно обозначаются индексами 1 (I₁, U₁, E₁) и 2 (I₂, U₂, E₂) и называются первичными и вторичными (рис. 4.1).

Ф

Z _н

Рис. 4.1. Конструктивная схема трансформатора

Принцип действия трансформаторов основан на явлении электромагнитной индукции. Под действием переменного напряжения u₁(t) в первичной обмотке протекает переменный ток i₁(t), который создает в магнитопроводе основной переменный магнитный поток Ф(t). Данный поток, замыкаясь по магнитопроводу, пронизывает обмотки трансформатора и индуцирует в них ЭДС:

в первичной обмотке

e₁ = - w₁ (1)

и во вторичной обмотке

e₂ = - w₂ . (2)

Если магнитный поток трансформатора является синусоидальной функцией времени

Ф = Ф_m sin ωt, (3)

то после подстановки его выражения в уравнения (1) и (2) и дифференцирования получим выражения для действующих значений ЭДС первичной и вторичной обмоток

E₁ = 4,44fw₁Ф_m = 4,44fw₁AстВ_m (4)

E₂ = 4,44fw₂Ф_m = 4,44fw₂AстВ_m , (5)

где f – частота питающей сети, Гц; w₁, w₂ – числа витков соответствующих обмоток; Ф_m, В_m – максимальное значение синусоидальных магнитного потока и магнитной индукции соответственно; А_ст – площадь поперечного сечения магнитопровода.

Из уравнений (1) и (2) следует, что ЭДС, наводимые в обмотках трансформатора, отстают по фазе от магнитного потока на угол π/2.

Делением индуцированных ЭДС получают коэффициент трансформации

к = = . (6)

При нагрузке ЭДС вторичной обмотки e₂ вызывает ток i₂. Ток определяется значением полного сопротивления нагрузки Z_н, а фазу определяет характер полного сопротивления нагрузки (активного, индуктивного и емкостного ).

Процессы в трансформаторе при холостом ходе.

Холостым ходом трансформатора называется такой режим работы, когда к первичной обмотке подводится напряжение U₁, а вторичная обмотка разомкнута (I₂ = 0). Под действием приложенного напряжения U₁ в первичной цепи протекает ток I₁₀, называемый током холостого хода.

При холостом ходе трансформатор потребляет из сети активную мощность Р₀, которая идет на покрытие потерь в нем. Основные потери в трансформаторе имеют две составляющие: потери в обмотках и магнитные потери в сердечнике (потери в стали) Р_ст. Потери в обмотках при холостом ходе малы, так как тока во вторичной обмотке нет, а по первичной протекает небольшой ток I₁₀. Поэтому с достаточной для практики точностью можно принимать, что при холостом ходе в трансформаторе имеются только потери в стали Р₀ = Р_ст. Эти потери возникают вследствие перемагничивания магнитопровода переменным магнитным потоком и состоят из потерь на гистерезис и вихревые токи. Активной мощности, потребляемой трансформатором при холостом ходе Р₀ , соответствует активная составляющая тока холостого хода

I_10а = Р₀/U₁ . (7)

Таким образом, ток холостого хода имеет две составляющие – намагничивающую ( реактивную ) I_10р, создающую основной магнитный поток Ф и совпадающую с ним по фазе, и активную I_10а , опережающую магнитный поток на угол π/2

I₁₀ = . (8)

Векторная диаграмма трансформатора в режиме холостого хода изображена на рисунке 4.2.

Рис. 4.2. Векторная диаграмма трансформатора при холостом ходе

Уравнения электрического состояния для первичной и вторичной цепей трансформатора на основании второго закона Кирхгофа в комплексной форме записи будут иметь вид

(9)

, (10)

где R₁ – активное сопротивление первичной обмотки, Ом; X₁ – индуктивное сопротивление первичной обмотки, Ом.

Ток I₁₀ очень мал и обычно не превышает нескольких процентов от номинального первичного тока, поэтому падение напряжения в первичной обмотке от тока I₁₀ весьма мало и с большой степенью точности уравнение (9) можно записать

. (1)

Обычно I_10р >> I_10а и угол φ₀ близок к π/2 и cos φ₀ при холостом ходе имеет низкое значение. Следовательно, ток холостого хода является в основном реактивным.

Потери Р_ст и ток I₁₀ являются важными характеристиками трансформатора. Снижение значений этих величин уменьшает потери энергии и потребление реактивного тока. Это достигается путем применения для сердечников, электротехнической стали с улучшенными магнитными свойствами – низкими удельными потерями и низкой удельной намагничивающей мощностью. Снижению тока холостого хода способствует также применение шихтованных в переплет магнитопроводов, в которых исключается в явном виде воздушные зазоры в контурах магнитных линий.

В современных трансформаторах потери холостого хода составляют от 0,1 до 2 % их номинальной мощности и ток холостого хода – от 0,5 до 10 % номинального тока первичной обмотки. Большие значения относятся к трансформаторам небольшой мощности.

Работа трансформатора при нагрузке

Под нагрузочным режимом работы трансформатора понимают такой режим работы, когда вторичная обмотка замкнута на нагрузку Z_н и по ней протекает ток I₂. При холостом ходе трансформатора в его намагничивающей цепи действует только МДС F₀ тока холостого хода первичной обмотки. Ток I₂ вторичной обмотки создает МДС F₂ этой обмотки. Согласно закону Ленца МДС вторичной обмотки противодействует намагничивающей МДС первичной обмотки. В результате этого уменьшается ЭДС E₁ , вследствие чего в соответствии с уравнением (9) возрастает ток в первичной обмотке (U₁ = const). Не будет большой ошибкой, если рассматривать основной магнитный поток Ф неизменным вне зависимости от нагрузки. Для поддержания этого условия с появлением во вторичной обмотке трансформатора тока I₂ нагрузки автоматически возрастает также и потребляемый из сети первичный ток I₁ . Возрастание первичного тока происходит настолько, чтобы новая МДС первичной обмотки полностью скомпенсировала бы реакцию МДС вторичной обмотки и сохранила неизменной МДС F₀ холостого хода, создающую требуемую амплитуду Ф_m магнитного поля. В этом и состоит основная сущность рабочего процесса трансформатора. На рис. 4.3 представлено сложение векторов МДС первичной и вторичной обмоток при нагрузке трансформатора, где .

Рис. 4.3. Диаграмма сложения МДС первичной и вторичной обмоток трансформатора

Диаграмма МДС изображена в предположении, что вторичный ток I₂ отстает по фазе от ЭДС E₂ на угол φ₂ . Из диаграммы следует, что и, следовательно, при нагрузке трансформатора амплитуда магнитного поля в сердечнике создается результирующей МДС F₀ первичной и вторичной обмоток.

Первичная МДС из диаграммы на рис. 4.3

, (12)

или первичный ток

, (13)

где «приведенный» к числу витков первичной обмотки вторичный ток

. (14)

Составляющая тока первичной обмотки I₁₀ , создающая магнитный поток в трансформаторе при холостом ходе, постоянна. Другая составляющая тока (– ) зависит от нагрузки. Следовательно, зависит от нагрузки и ток I₁ .

При работе трансформатора его обмотки создают два рода магнитных полей: 1. полезное магнитное поле Ф взаимной индукции в сердечнике, сцепляющееся полностью со всеми витками первичной и вторичной обмоток; 2. поля рассеяния, сцепляющиеся сложным образом только с витками своей обмотки.

Полезное магнитное поле Ф индуцирует в первичной и вторичной обмотках соответствующие ЭДС, эффективные значения которых определяются уравнениями ( 4 ) и ( 5 ). В свою очередь переменные во времени магнитные поля рассеяния Ф_σ1 и Ф_σ2 вокруг обмоток трансформатора индуцируют в них соответствующие ЭДС самоиндукции рассеяния, определяемые теми же уравнениями. Так для эффективного значения ЭДС рассеяния первичной обмотки при нагрузке можно записать

E_σ1 = 4,44f _σxw_1x = ( 2π/ )fw₁Ф_σ1 , (15)

где сумма амплитуд потокосцеплений с витками первичной обмотки w_1x заменена произведением полного числа витков ее w₁ на амплитуду некоторого среднего эквивалентного поля рассеяния Ф_σ1, сцепляющегося со всеми этими витками. Умножим и разделим правую часть выражения (15) на первичный ток I₁

E_σ1 = 2πf( w₁Ф_σ1/ I₁ ) I₁ = 2πfL_σ1I₁ = X₁I₁, (16)

где индуктивность рассеяния первичной обмотки L_σ1 = w₁Ф_σ1/ I₁ и индуктивное сопротивление рассеяния первичной обмотки X₁ = 2πfL_σ1. Аналогично также можно записать выражение для ЭДС Е_σ2 = 2πfL_σ2 I₂ = X₂I₂. Так как магнитные поля рассеяния вокруг первичной и вторичной обмоток трансформатора в основном замыкаются в воздушном пространстве около них и только небольшая часть их пути проходит по стали сердечника, то практически величины этих полей можно считать пропорциональными токам обмоток, т.е. индуктивные сопротивления X₁ и X₂ обмоток трансформатора принимать постоянными.

Уравнения электрического состояния нагруженного трансформатора для первичной и вторичной цепей на основании второго закона Кирхгофа соответственно будут иметь вид

(17)

. (18)

Эти уравнения совместно с уравнением (13) описывают рабочий процесс в трансформаторе в режиме нагрузки и являются основными уравнениями трансформатора.

Приведение величин вторичной обмотки к числу витков первичной обмотки.

При больших коэффициентах трансформации K численные значения токов, напряжений, ЭДС и сопротивлений первичной и вторичной обмоток сильно отличаются друг от друга. Это в ряде случаев затрудняет количественный анализ работы трансформатора. Например, в этом случае практически невозможно на векторной диаграмме изобразить в одном масштабе величины первичной и вторичной обмоток. Эти затруднения можно устранить, если реальный трансформатор, имеющий различные числа витков первичной w₁ и вторичной w₂ обмоток, заменить эквивалентным трансформатором, у которого обе обмотки имеют одинаковые числа витков . Эквивалентный трансформатор, у которого , называется приведенным. Такая замена правомерна, если все энергетические и электромагнитные соотношения в реальном и приведенном трансформаторах одинаковы и, следовательно, не отразятся на режиме первичной обмотки. Исходя из этого определяют токи, ЭДС, напряжения и сопротивления вторичной цепи приведенного трансформатора. Эти величины называются приведенными к числу витков первичной обмотки или просто приведенными и обозначаются соответствующими буквами со штрихом. Так как , то ЭДС

. (19)

Аналогично . Магнитодвижущая сила вторичной обмотки приведенного трансформатора должна быть равна МДС вторичной обмотки реального трансформатора, т.е. , откуда

. (20)

При этом полная мощность вторичной обмотки остается неизменной

. (21)

Потери во вторичной обмотке реального и приведенного трансформаторов должны быть одинаковыми .

С учетом (20) получим

. (22)

Для того чтобы отношения между активными и индуктивными сопротивлениями рассеяния у трансформаторов сохранились, необходимо, чтобы выполнялось равенство , откуда следует, что комплексное сопротивление приведенного трансформатора

= . (23)

По аналогии приведенное сопротивление цепи нагрузки

= . (24)

Уравнения, описывающие рабочий процесс в приведенном трансформаторе, приобретают вид

(25)

(26)

. (27)

Приведение величин вторичной обмотки к числу витков первичной обмотки позволяет построить схему замещения трансформатора.

Векторная диаграмма трансформатора.

Векторные диаграммы трансформатора являются графической иллюстрацией комплексных уравнений (25)–(27). Диаграммы наглядно показывают соотношения между токами, ЭДС и напряжениями обмоток. На рис. 4.4 дано построение векторной диаграммы напряжений и токов во времени при смешанной активно-индуктивной нагрузке. Для ее построения откладывают по горизонтали вектор амплитуды магнитного потока OF = Ф_m . В сторону отставания от него на 90⁰ откладывают вектор первичной и приведенной вторичной ЭДС трансформатора ОС = . Так как ЭДС уравновешивает все падения напряжения во вторичной цепи трансформатора, то она является гипотенузой общего треугольника падения напряжения в этой цепи. В связи с этим описывают на векторе ОС как на диаметре полуокружность и отрезком Сf = делают засечку из точки С на окружности в точке f. Тогда отрезок Оf = и вторичный ток будет направлен по этому отрезку.

Рис. 4.4. Диаграмма напряжений трансформатора во времени

Выделив из отрезка Сf индуктивное падение напряжения во вторичной обмотке Сb = , можно по уравнению (26) построить треугольник Сba внутреннего падения напряжения в этой обмотке. Соединив точку а с точкой О, получим вектор приведенного вторичного напряжения трансформатора при нагрузке Оа = , являющийся гипотенузой треугольника Оеа падения напряжения во внешней цепи = , где . При этом в диаграмме вторичный ток отстает от напряжения на угол φ₂, так как нагрузка активно-индуктивная с коэффициентом мощности cos φ₂ = .

Для построения диаграммы напряжений первичной цепи нужно сначала определить величину и направление первичного тока согласно уравнения (27). С этой целью на диаграмме откладывают ток холостого хода трансформатора в сторону опережения магнитного поля Ф_m на угол магнитных потерь δ ( sin δ = I_10a / I₁₀ =Р_ст / (U₁I₁₀) ). Отложив из точки О обратный вектор вторичного тока - и сложив его с вектором , получим искомый первичный ток . По уравнению (25) строим диаграмму напряжения для первичной цепи. Полученную векторную диаграмму напряжений для первичной и вторичной цепей силового трансформатора называют диаграммой во времени. Вращение ее против часовой стрелки характеризует изменение во времени всех переменных величин в трансформаторе при нагрузке: напряжений, токов и падений напряжений в обмотках.

Схема замещения трансформатора.

В трансформаторах между первичной и вторичной обмотками существует магнитная связь. При расчетах режимов работы и характеристик трансформаторов удобно эту связь между обмотками заменить электрической. Электрическая схема в которой магнитная связь между обмотками трансформатора заменена электрической, носит название схемы замещения трансформатора.

Схему выбирают таким образом, чтобы ей соответствовали уравнения (25) -(27), описывающие рабочий процесс в трансформаторе. Произведем некоторые преобразования этих уравнений. Как показано ранее ЭДС индуцируются в обмотках магнитным потоком Ф_m , который в свою очередь создается током , т.е. между ЭДС и током холостого хода существует определенная связь. ЭДС отстают по фазе от тока . С учетом этого зависимость между ЭДС и током в комплексной форме может быть выражена равенством

, (28)

где - комплексный коэффициент пропорциональности, называемый комплексным сопротивлением взаимной индукции. Сопротивление X₁₀ называется индуктивным сопротивлением взаимной индукции обмоток трансформатора. Это сопротивление обусловлено главным магнитным потоком, который замыкается по магнитопроводу трансформатора. Сопротивление R₁₀ представляет собой некоторое фиктивное сопротивление, посредством которого учитываются магнитные потери в трансформаторе Р_ст ≈ Р₀. Его значение определяется по формуле

. (29)

Обычно у силовых трансформаторов X₁₀ в несколько раз больше, чем R₁₀.

Приведенное напряжение вторичной обмотки

, (30)

где - приведенное сопротивление нагрузки.

С учетом (28) и (30) уравнения (25) – (27) приобретут вид

(31)

; (32)

. (33)

Решая их, получаем

(34)

Эквивалентное сопротивление можно рассматривать как сопротивление цепи, схема которой представлена на рис. 4.5. Эта схема полностью удовлетворяет исходным уравнениям (31) – (33) и является схемой замещения трансформатора.

Рис. 4.5. Схема замещения трансформатора с подключенной нагрузкой

Сопротивления , а также их индуктивные и активные составляющие называются параметрами схемы замещения. Параметры схемы замещения могут быть найдены расчетным или опытным путем. В последнем случае обращаются к данным опытов холостого хода и короткого замыкания.

Работа трансформатора при установившемся кротком замыкании.

Коротким замыканием называют режим работы трансформатора, при котором первичная обмотка подсоединена к сети, а выводы вторичной обмотки соединены накоротко (U₂ = 0).

Короткое замыкание при номинальном первичном напряжении является аварийным режимом, при котором токи в обмотках в 10 – 15 раз превышают номинальные и являются опасными для трансформатора. В опыте короткого замыкания на первичную обмотку подается пониженное напряжение U₁, при котором в обмотках трансформатора устанавливаются номинальные токи. Оно обычно составляет 3 – 15% номинального напряжения.

При пониженном напряжении уменьшится магнитный поток Ф, что вызовет уменьшение намагничивающего тока I₁₀, поэтому можно принять, что в этом случае I₁₀ ≈ 0. Тогда уравнения трансформатора при коротком замыкании имеют вид

(35)

(36)

. (37)

Подставив (36) в (35), получим

. (38)

Сумма сопротивления первичной обмотки и приведенного сопротивления вторичной обмотки носит название сопротивления короткого замыкания

, (39)

где R_k = R₁ + ; X_k = X₁ + .

Напряжение U_1k номинальной частоты, при котором в обмотках трансформатора устанавливаются номинальные токи, называется напряжением короткого замыкания. Оно обычно выражается в процентах номинального напряжения первичной обмотки и указывается в паспорте и на табличке трансформатора:

U_k % = ≈ . (40)

Эта величина является важным параметром трансформатора. От этого параметра зависит ток трансформатора при случайных коротких замыканиях во время эксплуатации и способность его работать параллельно с другими трансформаторами.

Во время опыта короткого замыкания потребляемая из сети трансформатором активная мощность практически расходуется на покрытие потерь в обмотках трансформатора, т.к. I₁₀ ≈ 0 и магнитными потерями в стали магнитопровода можно пренебречь. Таким образом, потребляемая трансформатором активная мощность из сети

Р_1k = U_1k I_1k cos φ_1k = , (41)

откуда сопротивление

R_k = R₁ + = Р_1k / . (42)

Опытное значение полного сопротивления короткого замыкания трансформатора из уравнения (38)

Z_k = U_1k / I_1k, (43)

индуктивное сопротивление

X_k = X₁ + = .

Уравнению (38) соответствует схема замещения трансформатора при коротком замыкании (рис. 4.6) и векторная диаграмма (рис. 4.7). Прямоугольный треугольник напряжений на рис. 4.7 называется треугольником короткого замыкания. Угол φ_1k зависит от соотношения между индуктивным X_k и активным R_k сопротивлениями: φ_1k = arctg (X_k/R_k). С повышением мощности трансформатора отношение X_k/R_k возрастает, вследствие чего угол φ_1k увеличивается, приближаясь к π/2.

Рис. 4.6. Схема замещения трансформатора при коротком замыкании

Рис. 3.7. Треугольник короткого замыкания трансформатора

Напряжение u_k % имеет активную и реактивную составляющие

u_ka % = u_k % cos φ_1k = (I_1ном R_k/U_1ном) 100; (44)

u_kр % = u_k % sin φ_1k = (I_1ном X_k/U_1ном) 100. (45)

Эксплуатационные характеристики трансформатора.

1. Внешние характеристики трансформатора

Под внешней характеристикой трансформатора понимают зависимость напряжения на выводах вторичной обмотки U₂ от тока этой обмотки I₂ при условии, что cos φ₂ , первичное напряжение U₁ и частота f постоянны (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Внешние характеристики трансформатора

Внешние характеристики изображены для двух случаев нагрузки - активной ( cos φ₂ = 1 ) и активно-индуктивной ( cos φ₂ < 1 ).

Арифметическая разность вторичных напряжений при холостом ходе и при токе I₂ называется изменением напряжения и его принято выражать в процентах номинального напряжения

ΔU % = . (46)

Значение ΔU % можно найти, осуществляя нагрузки трансформатора или из векторных диаграмм. Однако значительно удобнее и точнее определять ΔU % аналитически. Формула для определения ΔU % может быть получена с использованием векторных диаграмм

ΔU % = ( u_ka % cos φ₂ + u_kр% sin φ₂ )β , (47)

где β = I'₂/I'_2ном = I'₂/I_1ном = I₂/I_2ном – коэффициент нагрузки трансформатора.

После преобразований изменение напряжения ΔU % в режиме нагрузки

ΔU % = βu_k(cosφ_кcos φ₂ + sin φ_кsinφ₂) =

= βu_k cos (φ₂ – φ_k ) % . (48)

2. Коэффициент полезного действия трансформатора

Коэффициентом полезного действия трансформатора (КПД) называется отношение активной мощности, передаваемой нагрузке, к активной мощности, подводимой к трансформатору. У силовых трансформаторов небольшой мощности КПД составляет примерно 0,95 , а у трансформаторов мощностью в несколько десятков тысяч киловольт-ампер доходит до 0,995.

Определение КПД по формуле

η = , (49)

с использованием непосредственно измеренных или рассчитанных мощностей, дает погрешность больше чем представленная в другом виде

η = , (50)

где - сумма потерь в трансформаторе.

В трансформаторе имеются два вида потерь: магнитные потери, вызванные прохождением магнитного потока по магнитопроводу, и электрические потери, возникающие при прохождении тока по обмоткам.

Так как магнитный поток трансформатора при U₁ = const и изменении вторичного тока от нуля до номинального практически остается постоянным, то и магнитные потери в этом диапазоне нагрузок также можно принять постоянными и равными потерям холостого хода Р_0ном. Электрические потери, как основные, так и добавочные, пропорциональны квадрату тока. Их удобно выразить через потери короткого замыкания, полученные при номинальном токе

Р_э = Р_kном (I₂/I_2ном)² = Р_kном β².

Напряжение вторичной обмотки мало изменяется в рассматриваемом диапазоне изменения нагрузки, поэтому при определении КПД принято считать U₂ ≈ U_2ном = const. Тогда

Р₂ = U₂ I₂ cos φ₂ = β U_2ном I_2ном cos φ₂ = β S_ном cos φ₂, (51)

где S_ном = U_2ном I_2ном – номинальная мощность трансформатора.

С учетом изложенного получаем расчетную формулу для определения КПД

η = 1 - . (52)

Указанные выше допущения мало сказываются на точности вычисления КПД. Максимум КПД можно найти, приравняв первую производную dη/dβ нулю. При этом получим, что КПД имеет максимальное значение при такой нагрузке, когда постоянные (не зависящие от тока) потери P_0ном равны переменным (зависящим от тока) P_{к ном}, т.е.

P_0ном = P_{к ном} , (53)

откуда

= . (54)