3. Максимаксный критерий.

ЛПР, которое придерживается этого критерия, является крайним оптимистом, склонным к максимальному риску. По правилу максимакса выбирают вариант действий, соответствующий наибольшему выигрышу. Его значение определяют как максимальный элемент платежной матрицы, т.е. π (maximax)= max I max j πij

	S1	S2	S3
A1	15	15	15
A2	2,5	22.5	22.5
A3	-10	30	30
A4	-35	5	45 – maximax  A4

Как правило, максимаксный вариант очень рискованный, его выбор может привести к значительным потерям.

4. Комбинированный критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.

Это правило представляет собой компромисс между очень консервативным критерием максимина и крайне оптимистичным максимаксным критерием. В жизни ЛПР редко бывает чистым оптимистом или пессимистом и занимает какую-то промежуточную позицию. При использовании критерия Гурвица рассматривают платежную матрицу, в которой для каждого варианта действий Ai выбирают лучший (максимальный элемент max I πij) и худший (минимальный элемент min j πij).

Степень оптимизма задается весовым коэффициентом α (0<=α<=1). 1- α – пессимизм, α – оптимизм.

Критерий Гурвица имеет вид: лучший вариант умножаем на α, худший на 1- α, складываем. Maxi(α*maxi(πij)+(1- α)*minj (πij))

Если α =1, то получаем максимаксный критерий.

Если α=0, то максиминный

Если 0<α<1 промежуточное значение.

α=0,6

15*0,6+(1-0,6)*15=15

22,5*0,6+2,5*0,4=14,5

30*0,6+(-10)*0,4=14

45*0,6+(-35)*0,4=13

Выбираем максимальное из усредненных величин – 15. (решение А1).

При α=0,8

15*0,8+(1-0,8)*15=15

22,5*0,8+2,5*0,2=18,5

30*0,8+(-10)*0,2=22

45*0,8+(-35)*0,2=29

Наилучшее решение – 29.

Основная проблема при использовании критерия Гурвица заключается в определении коэффициента α. Его значение выбирается из субъективных соображений. Очевидно, что в ситуации, связанной с большим риском, ЛПР имеет смысл подстраховаться и выбрать коэффициент α ближе к 0. Часто рассматривают несколько значений α, пока не будет получена реалистичная оценка степени оптимизма ЛПР.

Выбор решений при известных вероятностях состояния природы.

Теория вероятностей. Основные понятия.

Основополагающим понятием является понятие случайного события. Случайное событие – такое событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта (испытания). В теории под опытом (испытанием) понимается комплекс условий , при которых может осуществиться или не осуществиться рассматриваемое событие. На практике опыт (испытание) представляет собой всякие действия, связанные с наблюдениями и измерениями.

Пример1, опыт бросания двух игральных костей. Событие А – выпадение с суммой очков на костях = 7.

Пример2: сдача экзамена студентом.

Пример3: наблюдение за прибытием автомобилей на стоянку в течение определенного времени. Событие А0.

Поскольку событие случайно, возникает вопрос, как измерить степень возможности его появления в результате опыта. Для этой цели служит понятие вероятности. Вероятность события А обозначается P(A).от 0 до 1. Если P(A)= 0, то А – невозможное событие. Если Р(А)=1, то А – достоверное событие, которое произойдет при любых обстоятельствах. Чем вероятность ближе к 1, тем достовернее событие.

Вычисление вероятности:

1. Отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу.

2. Статистическая вероятность.

3. Субъективный подход – экспертная оценка.

Случайная величина – функция, которая ставит в соответствие каждому исходу испытания определенное численное значение. В виду того, что исход испытания является случайным событием, заранее неизвестно, какое именно значение примет случайная величина. Если все значения случайной величины могут быть заранее перечислены, то такая случайная величина называется дискретной.

Например, рассматривается опыт: 10 раз подбрасываем монету. Случайная величина Х характеризует количество выпадений герба. Х может принимать значения от 0 до 10. Дискретная случайная величина принимает определенные значения, которые мы можем заранее перечислить. Дискретная случайная величина считается заданной в вероятностном смысле, если задано распределение вероятности ее возможных значений, т.е. пусть Х принимает {х1, х2,…xn}. P(X=x1)=P1, P(X=x2)… P(X=xn)=Pn.

X	x1	x2	…	xn
P	P1	P2	…	pn

Ряд распределения дискретной величины Х.

Характеристики случайной величины:

1. Математическое ожидание. Вычисляется по формуле: умножаем каждое значение на вероятность и складываем. Е(X)=M(X)=µ(x)=x1P1+x2P2+…+xnPn=∑xiPi . это среднее значение случайной величины (ожидаемое).

2. Дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины около математического ожидания. Формула: D(x)=сигма²(x)=(x1-E(x))²*P1+(x2-E(x))²*P2+… (xn-E(x))²* Pn. Всегда положительная, а нуль, если разброса нет. Чем плотнее расположены значения относительно математического ожидания, тем меньше дисперсия.

3. Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение). Сигма(х)=SQR(сигма²(х)). Если имеются данные о вероятности состояния природы, то очевидно, что стратегия выбора варианта действий должна учитывать эту информацию. Наиболее адекватным подходом в этом случае будет вычисление математического ожидания или среднего выигрыша для каждого альтернативного решения. Оптимальным будет то решение, которому соответствует наибольший ожидаемый выигрыш. Критерий максимума ожидаемого выигрыша является статистическим критерием. Это означает, что при многократном повторении выбора данного решения в будущем средний выигрыш будет максимальным ( в предположении незначительного изменения условий, в которых осуществляется выбор ), исходной информацией для реализации данного критерия будет расширенная платежная матрица, включающая значения вероятностей состояний природы.

Расширенная платежная матрица:

	S1 P(S1)	S2 P(S2)	…	Sn P(Sn)
A1	π11	π12		π1n
A2	π21	π22		π2n
…	…	…	…	…
Ai	πi1	πi2		πin
…	…	…		…
Ak	πk1	πk2		πkn

Сумма вероятностей состояния природы всегда =1.

Математическое ожидание выигрыша в случае выбора А1. E[π(A1)]= π11* P(S1)+…+ π1n* P(Sn).

Математическое ожидание выигрыша в случае выбора Аi. E[π(Ai)]= πi1* P(S1)+…+ πin* P(Sn).

Max E[π(A1)]- критерий максимального ожидаемого выигрыша.

Предположим, что ситуация с продажей лодок доопределяется известными значениями вероятностей будущих изменений ссудного процента. Пусть ЛПР полагает, что шансы возрастания процента 30% (P(S1)=0,3), шансы, что процент останется неизменным – 20% (P(S2)=0,2), шансы за снижение – 50% P(S3)=0,5).

	S1 P(S1)=0,3	S2 P(S2)=0,2	S3 P(S3)=0,5
A1	15	15	15
A2	2,5	22.5	22.5
A3	-10	30	30
A4	-35	5	45

E[π(A1)]=15

E[π(A2)]=2.5*0.3+22.5*(0.2+0.5)=16.5

E[π(A3)]=-10*0.3+30*0.7=18

E[π(A4)]=-35*0.3+5*0.2+45*0.5=13

Вероятность каждого состояния природы измеряет степень уверенности ЛПР в том, что данное состояние наступит в будущем. Одним из способов оценки вероятностей является имперический подход, т.е. сопоставление с прошлым опытом. Например, пусть исследуется фондовый рынок, пусть в настоящее время наблюдается условия, сходные с теми, которые имели место в прошлом, когда он падал 15% всего времени. В этом случае можно предположить, что вероятность =0,15. Другим способом оценки вероятностей является субъективный подход, при этом ЛПР определяет вероятность как степень собственной уверенности в наступлении каждого состояния природы в будущем. Эффективность использования вероятности в принятии решения зависит от того, на сколько точны их оценки. Стратегия выбора, основанная на нереалистичных субъективных оценках вероятностей будет неэффективной, поэтому в процессе принятия решений имеет смысл рассматривать несколько возможных значений вероятностей и анализировать, как их изменения влияют на выбор оптимального варианта.