Покажемо підхід Гауса на прикладі функції:

Z=f (x, y, t) (2.2)

Лінеаризуючи f (x, y, t) в околі значень отримаємо вираз для обчислення повного диференціала:

(2.3)

Значення часткових похідних, взятих по модулю,

(2.4)

в теорії похибок називають чутливостями функції f відповідно до змін величин x, y, t.

Для визначення абсолютної похибки непрямого вимірювання користуються формулою:

(2.5)

тобто, похибку непрямого вимірювання шукають згідно з тими ж правилами, що й повний диференціал цієї величини. Формальна відмінність полягає в тому, що всі арифметичні знаки ± при чутливостях змінює на знаки +, а знаки диференціалів d – на значки похибок Δ.

Наведемо формули для обчислення абсолютних похибок суми, добутку та частки.

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Якщо вираз для обчислення шуканої величини являє собою терм (вираз, що не містить знаків + чи -), зручніше спочатку шукати відносну похибку, а потім абсолютну.

Алгоритм такого обчислення наступний:

вираз спочатку логарифмують, а вже потім диференціюють. Наприклад,

_(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

При практичному використанні такого підходу етап логарифмування можна пропустити, а похибку шукати згідно з правилом: відносна похибка результату дорівнює сумі відносних похибок окремих змінних взятих з такими коефіцієнтами, в якому степені вони входять у терм

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ

№ 41. ВИЗНАЧЕННЯ ЛОГАРИФМІЧНОГО ДЕКРЕМЕНТА ЗАТУХАННЯ КОЛИВАНЬ МАЯТНИКА

Мета. Визначити логарифмічний декремент і коефіцієнт затухання коливань маятника.

Прилади і обладнання: маятник, секундомір, повітряний заспокоювач.

Теоретичні відомості

Д обре відомо, що амплітуда вільних коливань всякої реальної коливної системи зменшується з часом, тобто коливання будуть затухаючими. Розглянемо затухаючі коливання маятника (Рис. І).

A



х

Рис 1

На маятник в точці В буде діяти вага і сила натягу , напрямлені під кутом одна до одної. Рівнодійна цих сил:

,

повертає маятник в положення рівноваги (точку А) і напрямлена в протилежну сторону до зміщення Х. Кут відхилення , виміряний в радіанах, чисельно дорівнює . Тоді:

Для малих кутів:

тому

Порівнюючи цю формулу з формулою закону Гука:

бачимо, що результуюча сила F, яка діє на маятник є квазіупружною силою з коефіцієнтом:

Крім сили F на маятник діє сила опору середовища, пропорційна швидкості:

,

де

Повна сила, що діє на маятник:

Згідно з другим законом Ньютона:

,

де .

Тоді рівняння руху запишеться так:

. (1)

Якщо поділити обидві сторони рівняння (1) на m і позначити:

_,

то одержимо:

. (2)

Величина β називається коефіцієнтом затухання, а ω₀ – частотою власних коливань. Введемо нову змінну z зв’язану з змінною х співвідношенням:

(3)

.

Знайдемо першу і другу похідні: