- •1. Основные понятия и определения
- •2. Краткие сведения из векторного анализа
- •2.4. Основные правила дифференцирования вектор-функций.
- •2.5. Интегрирование вектор-функции скалярного аргумента.
- •3. Кинематика точки
- •3.1. Способы задания движения
- •3.2. Скорость точки
- •3.2.1. Скорость точки при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3. Ускорение точки
- •3.3.1. Ускорение при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3.2. Ускорение при естественном способе задания движения
- •3.4. Частные случаи движения точки
- •4. Основные движения твердого тела
- •4.1. Задание движения твердого тела
- •4.2. Простейшие движения твердого тела
- •4.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •4.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5. Плоское движение твердого тела
- •5.1. Задание движения
- •5.2. Скорости точек тела при плоском движении
- •5.3. Мгновенный центр скоростей. Центроиды
- •5.4. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений
- •6. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Свободное твердое тело
- •6.1. Задание движения. Углы Эйлера
- •6.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость
- •6.3. Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку
- •6.4. Движение свободного твердого тела
- •7. Сложное движение точки
- •7.1. Основные определения. Абсолютная и относительная производные от вектора
- •7.2. Теорема о сложении скоростей
- •7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •8. Сложное движение твердого тела
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Сложение поступательных движений
- •8.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
- •8.4. Пара вращений
- •8.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •8.7. Сложение поступательных и вращательных движений
- •8.8. Общий случай сложения движений твердого тела
4.2. Простейшие движения твердого тела
4.2.1. Поступательное движение твердого тела
Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая, прямая, проведенная в теле, остается во все время движения параллельной своему первоначальному положению.
Рис. 4.2. |
Пусть твердое тело движется поступательно относительно системы координат (рис. 4.2), – радиус-вектор точки А, – радиус-вектор точки В, а – радиус-вектор, определяющий положение точки В в подвижной системе координат Axyz, жестко связанной с телом (на рис. 4.2 эта система не показана). |
Так как рассматриваемое тело абсолютно твердое и его движение поступательное, то вектор при движении тела не меняет модуля и направления.
Из рассмотрения рис. 4.2 следует
. (4.3)
Пусть в момент времени тело занимало положение , а в момент времени – положение (рис. 4.2). Тогда будет вектором перемещения точки А, а – вектором перемещения точки В за промежуток времени .
Во время движения вектор не изменяется, значит, отрезки А0В0 и АВ равны и параллельны и, следовательно, фигура А0В0ВА — параллелограмм.
Таким образом,
,
т.е. при поступательном движении абсолютно твердого тела перемещения всех его точек геометрически равны между собой.
Из равенства (4.3) и условия постоянства вектора также следует, что траектории точек тела, движущегося поступательно, одинаковы и получаются друг из друга параллельным смешением.
Продифференцировав выражение (4.3) по времени, получим
,
но так как , то и, следовательно,
или .
Дифференцируя полученное соотношение по времени, получим
или ,
т.е. при поступательном движении твердого тела скорости и ускорения всех его точек в каждый момент времени равны между собой.
Таким образом, при поступательном движении твердого тела все его точки движутся одинаково, так как их перемещения, скорости и ускорения геометрически равны. Следовательно, поступательное движение твердого тела определяется движением одной точки этого тела, координаты которой должны быть заданы как функции времени, т.е.
, , .
Пользуясь понятием поступательного движения, докажем теорему о сложении скоростей точки, совершающей сложное движение.
Предположим, что точка М движется по отношению к системе координат Axyz, которая жестко связана с телом, перемещающимся поступательно по отношению к неподвижной системе координат Ox1y1z1.
Рис. 4.3. |
Положение точки относительно неподвижной системы координат определяется радиусом-вектором (рис. 4.3) , где – радиус-вектор начала подвижной системы координат, – радиус-вектор, определяющий положение точки М в подвижной системе координат. |
Дифференцируя это равенство по времени, получим
.
В этом равенстве есть скорость точки относительно неподвижной системы координат, которая называется скоростью точки в сложном движении или абсолютной скоростью и обозначается через .
Первое слагаемое в правой части равенства – скорость точки А. Так как система координат Ахуz движется поступательно, то это одновременно будет скоростью той точки тела, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М. Эта скорость называется переносной скоростью точки М и обозначается .
Вектор определен в подвижной системе координат, следовательно,
.
Так как подвижная система координат перемещается поступательно, то – постоянные векторы и их производные по времени равны нулю, поэтому .
Это равенство определяет скорость точки по отношению к подвижной системе координат и называется относительной скоростью точки М. Обозначим эту скорость через .
Таким образом, имеем
. (4.4)
Полученное равенство выражает теорему о сложении скоростей: скорость точки в сложном движении равна сумме переносной и относительной скоростей.