4.2. Пример планирования полного факторного эксперимента (пфэ)

Сопротивление деформации s_S алюминиевого сплава 1915 в наибольшей степени зависит от температуры q и скорости деформации x. Необходимо получить математическую модель вида s_S=s_S (q, x) для последующей оптимизации параметров процесса пластической обработки.

Экспериментальное исследование условий горячего прессования алюминиевого сплава 1915 позволило установить технологически пределы, в которых могут изменяться факторы: температура от 370⁰С до 430⁰С; скорость деформации от 8 до12 с^-1. Для решения задачи моделирования принято решение провести ПФЭ 2².

Опыты проводятся путем растяжения образцов на пластометре. Условия эксперимента приведены в табл. 4.2. Для удобства реализации плана эксперимента составляется рабочая матрица, в которой значения факторов приводятся в натуральных единицах. Рабочая матрица, приведенная в табл. 4.3, разработана для рассмотренного примера (табл. 4.2). Результаты экспериментов представлены в табл. 4.4. Проводилось по три параллельных опыта (m=3) с рандомизацией.

Таблица 4.2 - Условия эксперимента Таблица 4.3- Матрица планирования и рабочая матрица

Уровень фактора	q, ^0С	x, с^-1
Основной xi = 0	400	10
Интервал варьирования Dxi	30	2
Нижний xi = -1	370	8
Верхний xi = +1	430	12
Кодовые обозначения	X1	X2

№ опыта j	Матрица планирования			Рабочая матрица
	X1	X2	X1 X2	q, ^0С	x, с^-1
1	-	-	+	370	8
2	+	-	-	430	8
3	-	+	-	370	12
4	+	+	+	430	12

Таблица 4.4 - Матрица планирования и значения опытных данных

№ опыта j	Матрица планирования			Параллельные опыты sS, Мпа						sj ^2
	X1	X2	X1 X2	Y1	Y2	Y3
1	-	-	+	139	141	141	140.3		1.34		140.3		0
2	+	-	-	99	100	96	98.3		4.34		98.0		0.09
3	-	+	-	156	154	158	156		4.01		156.0		0
4	+	+	+	106	108	105	106.3		2.33		106.3		0
S									12.02				0.09
5	0	0	0	122.5	124.5	123	123.3		1.085		125.22		3.69
S									13.10				3.78

1. Определяем и выборочные дисперсии s_j² для каждого опыта по формуле (4.7). Результаты расчета сводим в таблицу.

2. Проводим проверку воспроизводимости опытов по критерию Кохрена (4.6) s_j²_max = 4,34.

G₀ = 4,34/12,02 = 0,36.

Табличное значение критерия Кохрена для уровня значимости a = 0,05 и степеней свободы Ф₁ = m–1=3-1=2, Ф₂ = N =4

G_{(0,05, 2, 4 )}= 0,7679 (табл. 4.7).

Сравниваем G₀ и G_{(a,Ф1, Ф2).} G₀ < G_(0,05,2,4), следовательно, дисперсии однородны, опыты воспроизводимы.

3. По формуле (4.13) находим дисперсию воспроизводимости:

Степень свободы дисперсии воспроизводимости равна Ф = N(m -1) = 4(3-1) = 8.

4. Определяем коэффициенты уравнения регрессии, которое в общем случае имеет вид:

Для нахождения коэффициентов b₀, b₁, b₂ и b₁₂ используем соответственно зависимости (4.8), (4.9) и (4.10):

b₀ = (106,3+156+98,3+140,3)/4 =125,22;

b₁ = (106,3-156+98,3-140,3)/4 = -22,92;

b₂ = (106,3+156-98,3-140,3)/4 = 5,92;

b₁₂ = (106,3-156-98,3+140,3)/4 = -1,92.

Уравнение регрессии примет вид:

5. По формуле (4.12) находим дисперсию коэффициентов и, исходя из зависимости (4.11) оцениваем значимость коэффициентов уравнения регрессии. Табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости a =0,05 и степени свободы Ф= N(m -1) = 4(3-1) = 8 равно t_{0,05, 8}=2,31 (табл. 4.8).

Произведение

Все коэффициенты по абсолютной величине превышают это значение. Следовательно, мы должны признать их значимыми.

6. Проверяем адекватность полученного уравнения экспериментальным результатам. В нашем случае число значимых коэффициентов уравнения регрессии равно числу опытов, т.е. степень свободы дисперсии адекватности (4.15) равна нулю. Поэтому мы вынуждены поставить дополнительный опыт на нулевом уровне. Результаты опыта заносим в план эксперимента. При этом число опытов N становится равным пяти, а дисперсия воспроизводимости (4.13)

s_у² = (2,33+4,01+4,34+1,34+1,085)/5 = 2,6.

По уравнению регрессии рассчитываем значения и определяем сумму квадратов отклонений . Результаты расчета заносим в таблицу плана эксперимента. Определяем дисперсию адекватности (4.15) для N=5 и d=4.

s_ад² = 3,78/(5-4) = 3,78.

Тогда F-отношение (расчетное значение критерия Фишера) (4.16):

F₀ = 3,78/2,60 = 1,45.

Табличное значение критерия Фишера для a=0,05,

Ф₁=N-d=1, Ф₂ = N(m -1) =10, F_(0,05,1,10) =5,0 (табл.4.9).

Получаем F₀ < F_(0,05;1,10) и, следовательно, уравнение регрессии адекватно экспериментальным результатам.

7. Выполняем переход от кодированных значений факторов к натуральным по уравнениям (4.17) и (4.18)