Ги сфокусированного изображения

Несколько в стороне от описанных схем стоят ГИ, построенные по схеме голограмм сфокусированного изображения (ГСИ). Они также могут применяться и с рассеивателями и без них. Но применение рассеивателя в данном случае не целесообразно. 

Дело в том, что интерферограммы, снятые по схеме ГСИ (рис.8.8) удобно восстанавливать в белом свете. Спекл-структура, зависящая только от свойств лазерного излучения и объектива, усредняется. В результате отдельных спеклов не видно и контраст интерференционных полос несколько повышается. Если же использовать рассеиватель, то на уже имеющееся спекл-поле накладывается дополнительное поле, сгенерированное рассеивателем. Ситуация ухудшается, особенно при малых размерах неоднородности.

Рис.8.8.	Здесь
	BS	—	светоделитель
	M1- M4	—	глухие зеркала
	C1, C2	—	коллиматоры
	L	—	объектив
	H	—	голограмма

Какой пучок (расходящийся или плоский) использовать в качестве опорного - зависит от требований эксперимента и имеющихся оптических элементов. ГИ по схеме ГСИ позволяют исследовать тонкую структуру интерференционных полос, включая пересъемку через микроскоп. Для примера на рис.8.9 показана интерферограмма, а на рис.8.10 - ее увеличенный фрагмент.

Рис.8.9

Рис.8.10

Лекция 9

Оптико-геометрические методы измерения деформаций и перемещений

Оптико-геометрические методы применяют для бесконтактного исследования НДС на поверхности плоских и объемных деталей машин, моделей и образцов полуфабрикатов. Общий классификационный признак оптико-геометрических методов - наличие оптической бесконтактной связи объекта исследования с регистратором искажения (деформации) базового геометрического элемента, нанесенного на объект, спроецированного или зеркально отраженного в нем. Каждый из оптико-геометрических методов эффективен для определенной группы задач, имеет, как правило, несколько разновидностей и областей применения, различается видом базовых элементов, типом регистрации и обработки.

Метод делительных сеток

Исследования пластических деформаций при разрушении материалов методом делительных сеток, выполненные в 40—60-х годах прошлого столетия, показали влияние концентрации напряжений (отверстий и целевых надрезов) на прочность деталей из конструкционных материалов и рассмотрены технологические задачи деформирования тонкостенных деталей из алюминиевых сплавов. Развитие техники нанесения микросеток позволило исследовать упругопластические деформации в области вершины трещины при циклическом нагружении. Исключительно эффективным оказалось приложение метода делительных сеток к задачам пластического деформирования металлов при обработке давлением. Метод оказал значительное влияние на проектирование нового инструмента и режимов штамповки, прессования, вытяжки, прокатки и т.д. Современные технологические методы повышения усталостной прочности и вязкости разрушения (трещиностойкости) полуфабрикатов из штампованных заготовок и проката опираются на экспериментальные исследования, выполняемые методом делительных сеток и другими оптико-геометрическими методами.

Другое направление исследований — это изучение НДС в упругой области на резиновых и полимерных моделях при малых и больших деформациях (до 18 %). Пусть, например, в плоскости симметрии пластически деформируемой цилиндрической заготовки размещены ортогональные сетки с перфорированными отверстиями, центры которых совпадают с угловыми точками квадрата. Будем считать материал заготовки изотропным, несжимаемым, а деформации в пределах ячейки сетки однородными, причем вычисляемые компоненты деформаций отнесем к центру ячейки, считая их средними между базовыми точками.

Р ис. 9.1. Схема штампа с цилиндрической поковкой и сетка в плоскости заусенца после деформирования: 1- штамп, 2- поковка с исходной высотой Н (мм), 3- плоскость сетки, 4- зависимость в сечении (исходная длина поковки мм)

Рассмотрим осесимметричную объемную задачу с тремя плоскостями симметрии, например конечные формоизменения при штамповке цилиндрической поковки с прямой горизонтальной осью (рис. 9.1). В методе сеток, когда размечены базовые элементы, удобно использовать главные деформации в логарифмической форме. Окружности сетки в плоскостях симметрии штамповки после деформирования преобразуются в эллипсы с осями по главным направлениям, поэтому

; ; , (9.1)

где - полуоси эллипсов; - радиусы исходных окружностей сетки.

В случае деформирования тел вращения по оси главные деформации в плоскости сетки определяются теми же зависимостями (9.1), но окружная деформация в меридиональном сечении

, (9.2)

где — расстояния от оси симметрии до рассматриваемой точки соответственно до и после деформирования.

Для вычисления осевой и радиальной логарифмической деформации используют зависимости

, , (9.3)

где находят экспериментально замером угла между направлением большой полуоси эллипса и осью заготовки.

Измерение деформаций и перемещений с помощью сетки с квадратными ячейками, когда в общем случае базовый элемент превращается в параллелепипед или четырехугольник, выполняют оптическими средствами с последующим вычислением абсолютных приращений граней параллелепипеда и соответствующих углов на основании достаточно громоздких формул, полученных из геометрических соотношений.

Расчет напряжений выполняют на основе гипотез теории пластичности. В зависимости от поставленной задачи и типа материала вычисления проводят по теориям малых упругопластических деформаций, пластического течения, сопротивления материалов пластическому деформированию.

Нанесение сеток, растров и фигур на образцы, детали и экраны

В зависимости от поставленных исследовательских задач, а также от материала детали, от заданных предельных деформаций и внешних условий (температуры, влагостойкости, контакта со средой и т.д.), разрабатывают технологию нанесения сеток, растров и фигур. При нанесении базовых фигур учитывают и метод измерения деформаций, поскольку контрастность воспроизведения или наблюдения, фактура материала, светопрозрачность, ширина черных и светлых линий и другие факторы влияют на точность и трудоемкость обработки результатов.

Царапание сеток и растров применяют при механических испытаниях материалов и при исследовании технологических задач обработки металлов давлением. Операцию проводят с помощью игл, специально заточенных победитовых резцов, корундовых и алмазных инденторов и наконечников. Растры с линеатурой до 10 линий/мм изготовляют на делительных машинах линованием парафинированной поверхности стекла, после чего выполняют химическое травление линий в стекле и заполнение их краской. Эталонные растры и сетки, изготовленные на прецизионных делительных машинах, служат в качестве шаблонов для снятия реплик и фотокопий, которые затем используются в качестве контрольных растров и сеток сначала для нанесения фотоспособом рабочего растра на детали, а затем в качестве базового для измерения методом сеток или методом муаровых полос.

В задачах обработки металлов давлением сетки и растры наносят иногда непосредственно на металл; в этом случае поверхность полированных образцов, как правило, перед царапанием покрывают тонким слоем контрастного металла способами вакуумного напыления или гальваническим, чтобы создать цветовое различие и контраст в линиях сетки. Хороший эффект получают, например, меднением стальных образцов.

Накатка координатных сеток, фигур и растров используется для нанесения базовых элементов при изучении пластических деформаций и разрушения. Оригинал сетки изготовляют в виде цинкового клише с рельефом сетки заданного рисунка. Для перенесения сетки с матрицы на деталь применяют упругие валики, в том числе сложной формы (для нанесения сеток на тела вращения и сложные поверхности). На зеркальное стекло или мраморную плиту валиком тонким слоем раскатывают типографскую краску и переносят ее на матрицу, а затем другим валиком переносят рисунок сетки на деталь. Шаг базовых фигур находится в пределах 0,25-5 мм при толщине линий в сетках 0,02—0,08 мм.

Офсетный способ изготовления формы-клише значительно упрощает технику нанесения сеток и растров и позволяет покрыть большую площадь на плоских и небольшой кривизны деталях из жестких и мягких материалов (каучук, резина). Офсетная печать основана на принципе избирательного смачивания формы — изображения сетки или растра, согласно которому печатающие элементы хорошо воспринимают типографскую краску, но отталкивают воду, а пробельные — наоборот. Перенос изображения с офсетной формы на исследуемую поверхность осуществляют, как и с цинкового клише, — эластичным резиновым цилиндрическим валиком. Офсетную форму изготовляют фотохимическим способом с применением эталонных пленочных фотонегативов по стандартной технологии.

Выдавливание или штампование сеток на поверхность пластических материалов осуществляют жесткой матрицей, затем материал отжигают и из заготовки с сеткой вырезают образцы.

Фотосетки и фоторастры — наиболее распространенные современные элементы оптико-геометрических методов. Изготовленные на стеклянных подложках, они являются эталонами при измерениях и репродуцировании. Фотокопии на пленке служат для контактной печати, а также для переноса эмульсии с растром по так называемому "способу расслаивающихся пленок".

Двойной экспозицией со сдвигом эталонного растра на 1/4 и 1/2 шага можно получить решетку с частотой линий вдвое большей, чем исходная; этим способом, например, получили сетку с размером ячейки 100 мкм и толщиной линий 10 мкм последовательной пересъемкой растра со сдвигом и поворотом на 90°.

Высокочастотные растры получают методом неподвижного интерференционного поля или голографического мультиплицирования на голографические фотопластинки. При правильном выборе фотопроцессов и материала возможно получение растров с частотой до 1000 линий/мм.

Зеркально-оптический метод

При исследовании изгиба пластин в полунатурном и модельном эксперименте зеркально-оптическим методом измеряют с помощью отраженной координатной сетки углы поворота нормали , у, прогибы и кривизны поверхности объекта. В этом случае плоская или почти плоская поверхность детали или модели должна быть зеркальной. Ортогональную сетку на плоском экране располагают параллельно плоскости объекта на некотором расстоянии от него. Отражение сетки в деформируемом объекте регистрируют фотокамерой или кинокамерой для процессов, происходящих во времени (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Схема зеркально-оптической установки: 1- модель, 2- экран с сеткой, 3- лампа,

4- фотокамера

Обычно на один негатив выполняют две экспозиции - до и после нагружения, а затем оба изображения обрабатывают, как и в методе делительных сеток, на измерительном микроскопе по специальной методике. Для регистрации нестационарных процессов, например, при сварочном нагреве алюминиевой пластины, искажение отраженной сетки от температурного коробления поверхности фотографируют во времени по мере продвижения электрода.

Зеркально-оптическая установка, схема которой показана на рис. 9.2, имеет зачерненный экран из оргстекла размером 1200 Х 1200 мм с прозрачными линиями ортогональной сетки 20 Х 20 мм и толщиной линий 2 мм. Сетка подсвечивается изнутри люминесцентными лампами для создания контрастного и яркого изображения квадратов.

Основная расчетная зависимость для плоского экрана выводится из геометрических соотношений:

. (9.4)

При малых углах поворота нормали . При отношении 0,1 - 0,25 и реальных соотношениях габаритного размера модели и оптического рычага формулу (9.4) упрощают:

. (9.5)

Погрешности будут допустимыми, если в сравнительных испытаниях углы поворота нормали к соответствующим осям вычислять по формулам

(9.6)

Погрешности при вводимых допущениях и конкретных параметрах установки оценивают несложными вычислениями и по номограммам.

Получив зависимости изменения угла поворота нормали по соответствующей координате, их дифференцируют для нахождения их кривизны или интегрируют для получения прогибов .

Следует отметить основные преимущества метода — простоту технической реализации и возможность бесконтактной регистрации нестационарных процессов деформирования с одной экспозиции.

Метод муаровых полос

Метод, использущий муаровый эффект для измерения деформаций и перемещений на поверхности плоских деталей и, реже, — в объемных прозрачных моделях, применяют при упругопластическом и пластическом деформировании металлов и для решения упругих задач на низкомодульных материалах. В задачах изгиба пластин, деформирования мембран и оболочек, а также изучения закритического поведения тонкостенных конструкций после потери устойчивости применяют другие разновидности метода муаровых полос, использующие принципы оптического рычага при отражении или проецировании растров. Используя стробоскопическое освещение и способ оптического совмещения растров с помощью муаровых картин, визуализируют формы колебаний пластин и оболочек. Метод применяют для технологического контроля формы поверхности крупных деталей малой и средней кривизны типа аэродинамических поверхностей, а в оптическом производстве — для контроля деталей оптики. Поточный контроль формы плоского проката и лент в металлургическом производстве осуществляют в темпе листовой прокатки непосредственно на стане. Известно применение муарового эффекта в растровых оптических приборах,

а также в муаровых датчиках положения, регистрирующих линейные и угловые перемещения в средствах автоматики.

Муаровый эффект — явление механической интерференции, возникает при наложении двух или более систем линий, сеток, растров или точек как картина чередующихся темных и светлых полос. Одно из замечательных свойств муарового эффекта как мерительного инструмента состоит в том, что он обладает большим и регулируемым коэффициентом передаточной функции, связывающей шаги (частоты) исходных растров с шагом (частотой, скоростью перемещения) муаровых полос. Этот коэффициент достаточно велик, что позволяет согласовать разрешающую способность зрения человека или инструмента, заменяющего его при визуальном наблюдении поля муаровых полос, с соответствующими микроперемещениями объектов.

Рис.9.3. Муаровый эффект при наложении растров: а- растры при небольшой разницей в шаге, б- одинаковые растры повернутые на угол , в- шаг линейного растра больше шага кругового растра

Муаровые полосы при наложении двух растров (рис. 9.3) образуются при малой разности в шагах, при малом относительном повороте двух растров, но не более чем на угол = 30°. При наложении кругового растра на линейный (рис. 9.3, в) особенно заметна область, где пропадает муаровый эффект и вместо него наблюдается сетка из четырехугольных элементов. Геометрический анализ и математическое описание интерференции проводят для любых видов растров, получая аналитические формулы, связывающие параметры исходных растров и муаровых полос. Наложением и относительными сдвигами растров пользуются как аналогами математических операций, выполняя, например, дифференцирование, интерполяцию, умножение.

Методы измерения деформаций и перемещений, основанные на муаровом эффекте, предполагают наличие эталонного, контрольного (базового) растра и растра, связанного с деталью, испытывающей деформацию. Наложение двух растров образуют поле муаровых полос, однозначно характеризующих линейные или угловые перемещения точек исследуемой детали (поверхности) по определенным направлениям.

Оптические схемы для исследования деформаций на плоских поверхностях непрозрачных деталей, а также в плоских срезах или сечениях прозрачных моделей из пластмасс, оргстекла, полиуретанов, используют три типа наложения растров (рис. 9.4). По схеме А реализуется способ двойной экспозиции одного растра на детали, выполняемой сначала до деформирования (контрольный растр) и затем после деформирования. Совмещение растров для упругих и упругопластических задач выполняют на одном негативе; для пластического деформирования - раздельной экспозицией по этапам. Базу крепления камеры при работе по способу двух экспозиций выбирают непосредственно на образце, обеспечивая ее постоянство относительно зоны измерения.

Рис. 9.4. Оптические схемы наложения растров и образования муаровых полос (рабочий растр нанесен на поверхность рабочей детали): 1- деталь, 2- рабочий растр, 3- фотокамера, 4- контрольный растр, 5- коллиматор, 6- объектив, 7- термокамера

По схеме Б используют контрольный растр, наложенный с весьма малым зазором на рабочий растр, нанесенный на деталь. Контрольный растр базируется непосредственно на образце по осям симметрии или в точках, где известны перемещения. Вариантом схемы Б является схема В, предназначенная для прозрачных объектов. В этом случае модель с рабочим растром освещается коллимационным пучком света; между контрольным и рабочим растром обычно вводят иммерсионную жидкость.

По схеме Г реализуют оптическое совмещение рабочего и контрольного растров с помощью длиннофокусного объектива и поворотного экрана. Эту схему применяют для бесконтактных измерений при повышенных температурах, в условиях динамических нагружений, в агрессивных средах, а также при исследовании объемных прозрачных моделей с вклеенными растрами.

Если по схемам Б, В и Г камера регистрирует муаровые полосы и к разрешающей способности задиафрагмированного объектива не предъявляется высоких требований, то для схемы А камерой фотографируют растры, а для схемы Г проекционный объектив должен обладать, кроме высокой разрешающей способности, свойствами телецентрической системы, т.е. при некотором изменении расстояния объектива до объекта незначительно изменять размер изображения и обладать достаточной глубиной резкости.

Независимо от схемы совмещения двух растров в плоских задачах (за исключением схемы А) применяют два способа отсчета муаровых полос: способ дифференциального муара и способ простого муара. В первом случае предварительно создают статическую исходную муаровую картину, например, с помощью малого поворота контрольного растра или изменения масштаба рабочего растра, чтобы вести относительный отсчет полос приращения. Во втором случае используют начальную нулевую картину муаровых полос, выявляющую в основном несовершенства модели или предварительную нагрузку на нее.

Муаровые полосы являются геометрическим местом точек, получающих одинаковое перемещение в направлении, перпендикулярном к линиям контрольного растра.

Обычные линейные, регулярные растры используют для измерений перемещений в декартовых координатах х, у; тогда муаровые полосы, полученные, например, при расположении линий растра параллельно оси у, будут соответствовать линиям уровня поверхности и разница в значениях и для соседних муаровых полос на плоскости будет равна шагу контрольного растра .

Метод хрупких тензочувствительных покрытий

Для исследования НДС на поверхности детали методом хрупких тензочувствптельных покрытий на нее наносят тонкое покрытие специального состава, которое под действием растягивающих напряжений-деформаций и остаточных технологических двухосных растягивающих напряжений в самом покрытии растрескивается по закону изостат, т.е. по линиям равных главных напряжений. Приближенно принимают, что трещины распространяются вдоль второго главного напряжения и

, (9.7)

где и Е — главное напряжение и модуль упругости материала детали соответственно; — предельная деформация в момент появления трещины, получаемая при градуировке покрытия.

Принимая различные теории прочности для хрупкого покрытия, можно получить другие соотношения, связывающие деформации в детали с предельной деформацией для покрытия, но обычно ограничиваются соотношением типа (9.7). Эксперимент проводят при плавном нагружении детали, наблюдая за появлением и распространением трещин. Иногда покрытие наносят в нагруженном (сжатом) состоянии детали, чтобы при разгрузке получить трещины от деформации растяжения в зонах концентрации напряжений. Применяют несколько типов покрытий: малостабильные покрытая для качественных исследований на основе обработанной канифоли, растворенной в сероуглероде; стабильные покрытия канифольного типа, наносимые газопламенным напылением, для количественных измерений НДС; высокотемпературные наклеиваемые оксидные и эмалевые покрытия.

Градуируют покрытия на плоских балочных образцах при чистом или поперечном изгибе, многократно повторяя градуировочный эксперимент и выполняя статистическую обработку результатов для снижения разброса данных в основном эксперименте. Точность эксперимента, проводимого методом хрупких тензочувствительных покрытий, обычно оценивают в 7-15 %. Обработку проводят для двухосного НДС в упругой и упругопластической области по известным уравнениям с учетом различия упругих постоянных детали и покрытия. Метод эффективно применяют в различных областях машиностроения.

Лекция 10

Методы неразрушающего контроля

Методы механики разрушения и неразрушающие методы контроля. Развитие механики разрушения явилось результатом постановки и анализа тонких экспериментов на образцах и конструкциях с трещинами. Прочность конструкции с трещинами существенным образом зависит от длины трещины, свойств материала, размеров и формы детали, исходного НДС, скорости деформации, среды и т.д. Материалы в разной степени обладают свойством трещиностойкости или вязкости разрушения, но объективные критерии оценки трещиностойкости были изучены и приняты только после отработки методики определения критических коэффициентов интенсивности напряжений К_с и К_1с, а для пластичных материалов — критических значений длины трещины и J-интеграла.

Одним из направлений в механике разрушения явилось развитие экспериментальных методов для нахождения коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) с применением фотоупругости, метода каустик и интерферометрии. Получила развитие техника измерения скорости роста трещин усталости (СРТУ) и определения критической длины трещины а_к при циклическом нагружении. Изучение закономерностей СРТУ привело к обобщенной диаграмме усталостного разрушения (уравнению Париса) и к методике нахождения ее коэффициентов, на основании которых можно сравнивать свойства материалов с высокой достоверностью и полнотой. Развитие концепции о "критической длине трещин" или заложенном в конструкции дефекте определенного размера означало, что возможна безопасная эксплуатация машины или конструкции с трещинами, если трещины найдены и за их ростом до определенного размера можно наблюдать. Эта концепция привела к созданию целой отрасли приборостроения — технических средств неразрушающих методов контроля (НМК).

С появлением растрового электронного микроскопа, позволяющего вести высококачественное наблюдение и фотографирование структур изломов с разрешением до Х 10000, фрактография стала мощным средством выявления

структурных дефектов, динамики возникновения и развития микротрещин усталости, бороздок, зон долома и пластических деформаций. Анализ эксплуатационных повреждений и сложных разрушений при эксперименте стал научно обоснован и документален, а появление альбомов по фрактографии различных металлов и сплавов облегчило идентификацию изломов.

Методы обнаружения усталостаых трещин. Интенсивная эксплуатация машин потребовала объективных средств контроля изделий, обеспечивающих надежное обнаружение трещины, простоту и портативность в применении, универсальность различных типов приборов и методов. Требования повышения качества традиционных материалов и сплавов, а также значительное развитие новых видов неметаллических композиционных материалов и полуфабрикатов, определили создание методов и средств дефектоскопии применительно к современной технологии и производству новой продукции. Неразрушающие методы контроля (НМК) используют при обнаружении трещин и дефектов при технологическом и эксплуатационном контроле сварных, клеевых, болтовых и других соединений, конструкций и изделий, широко применяемых в судостроении, строительстве, авиастроении, энергетике, нефтегазовых трубопроводных системах и т.д.

Методы обнаружения трещин классифицируют по физическому принципу взаимодействия искателя с изделием. Их выбор, эффективность и область применения зависят от природы материала, геометрии изделия, места возникновения трещины, условий ее зарождения и роста, наличия коррозии, фреттинга и т.д.

Различают методы визуально-оптические, капиллярные, магнитные (электро-магнитные), вихревых токов, радиационные (радиографический, радиоскопический, радиометрический), ультразвуковые, акустической эмиссии, импедансный (вибрационный, звуковой), СВЧ-методы, интерферометрические (голографические), инфракрасные (тепловизионные).

Визуально-оптическим методом начинают, как правило, поиск и обнаружение трещин, если на это есть основания, и имеется возможность приложить к детали нагрузку, чтобы раскрыть трещину. Кроме простейших оптических приборов типа лупы и микроскопа, применяют бороскопы с местным подсвечиванием, эндоскопы с фотоприставками и гибкими световодами, которые значительно упрощают осмотры зон предполагаемых трещин в труднодоступных местах.

Капиллярный метод применяют для обнаружения поверхностных трещин в металлических и неметаллических изделий. Он основан на искусственном повышении контрастности зоны трещины или дефектов относительно неповрежденной области до такой степени, что трещина может наблюдаться невооруженным глазом. Это достигается заполнением трещин и других дефектных полостей на поверхности детали цветоконтрастными веществами вследствие капиллярных свойств малых дефектов. Применение люминофоров и красителей в сочетании со специальным освещением, например ультрафиолетовым, позволяет выявить поверхностный дефект по яркому свечению люминесцирующего раствора.

Магнитный порошковый метод применяют для обнаружения трещин и

других дефектов на поверхности или вблизи ее в деталях из ферромагнитных

материалов любой формы независимо от вида термообработки. Метод основан на выявлении искажения магнитного поля около трещины или подповерхностного дефекта с помощью мелкодисперсных ферромагнитных частиц, выполняющих роль индикаторов. Эти частицы под действием магнитных сил перемещаются в места наибольшей концентрации силовых линий — к зонам дефекта и образуют контрастные накопления в виде линий или пятен. Намагничивание деталей проводят при определенном направлении магнитного потока, создаваемого полюсными электромагнитами, или пропусканием электрического тока через деталь. Направление силовых линий в детали выбирают перпендикулярным ожидаемому направлению трещин. Порошок или суспензию в зависимости от магнитных свойств материалов наносят в присутствии намагничивающего поля (магнитомягкие материалы) или в условиях остаточной намагниченности (магнитотвердые материалы). Магнитный контроль трещин широко применяют в машиностроении и двигателестроении для контроля стальных деталей после финишных технологических операций и термообработки.

Метод вихревых токов (электромагнитный метод) применяют для контроля электропроводящих материалов, заготовок и деталей на различных этапах производства и эксплуатации. Им обнаруживают поверхностные и подповерхностные трещины и дефекты» локальные коррозионные поражения (межкристаллитную коррозию), особенности структуры после термообработки. Измерением проводимости определяют зону, поврежденную огнем, или область коррозионных повреждений, а также осуществляют разбраковку материалов по маркам. С помощью вихретоковых дефектоскопов измеряют толщину листов, стенок, различных защитных покрытий, остаточных толщин после химического фрезерования и коррозии. Новые разработки по вихретоковому методу привели к созданию приборов для контроля многослойных неразъемных конструкций. Метод основан на индукционном возбуждении вихревых токов в электропроводящем материале объекта и регистрации изменений электромагнитного поля этих токов в связи с трещиной или дефектом в поверхностном слое детали. Источником и приемником электромагнитных колебаний является одна или несколько катушек индуктивности.

Радиационные методы обнаружения трещин и дефектов, а также нарушений внутренней конфигурации и взаимного расположения деталей, не доступных для осмотра при изготовлении, сборке, ремонте и эксплуатации, применяются для контроля слитков и отливок, сварных соединений, паяных и клепаных соединений, железобетонных изделий, неразъемных деталей самолетов, агрегатов и узлов конструкций.

ГОСТ 20426—82 на радиационные методы классифицирует их по принципу регистрации и наблюдения дефектов, а не по принципу жесткости излучения: радиографический (рентгеновское, гамма- и бета-излучение); электрорадиографический (рентгеновский); радиоскопический (рентгеновский, бетатронный); радиометрический (применение рентгеновских аппаратов, радиоактивных источников, бетатронов).

Радиационные методы выявляют подповерхностные и внутренние трещины и дефекты в деталях из любых материалов на основе ослабления или усиления ионизирующего изучения, вызванного дефектом и зафиксированного преобразователями излучений: радиографической пленкой, фотобумагой, электрорадиографической пластиной, флуороскопическим экраном, сцинтилляционным монокристаллом с электронно-оптическим преобразователем, рентгенотелевизионной установкой с рентгеновидиконом, с помощью ксерографии.

Акустические ульразвуковые (УЗ) методы и их разновидности эффективно применяют для обнаружения, измерения и определения координат трещин и дефектов. На их основе созданы и серийно выпускаются УЗ - дефектоскопы, интроскопы, полуавтоматические системы массового контроля. В УЗ - дефектоскопах используют методы, различающиеся по принципу действия и устройству приборов, а также по характеру измеряемых величин и мест расположения искателей (пьезодатчиков).

Теневой метод (метод сквозного прозвучивания, метод звуковой тени впервые был предложен в 1928 г. С.Я. Соколовым). Излучатель и приемник размещают по разным сторонам изделия. Трещина или другой дефект, находясь на пути ульразвуковой волны, ослабляет ее энергию (поглощает или рассеивает), что регистрируется приемником и определяется индикатором.

Импульсный эхо-метод. Излучатель генерирует короткий ультразвуковой импульс, который отражается от дефекта, поверхности и "дна" изделия. Часть лучей возвращается на искатель, который теперь работает в режиме приемника. Поскольку "донные" отраженные сигналы поступают на искатель позднее, чем сигналы от дефектов, их различают на индикаторе. По амплитуде эхо-сигналов судят о величине трещины (дефекта), а по времени от момента излучения импульса до момента приема эхо-сигнала определяют расстояние до обнаруженной трещины. Этот метод широко применяют практически для любых материалов и конструкций, выявляя трещины и другие несплошности в сварных соединениях, трубах, сосудах, паяных и клееных соединениях, при контроле сотовых конструкций и композиционных материалов. Конструкция искателей определяется формой изделия, направлением прозвучивания и способом контакта с поверхностью. Обычно для надежного контакта с целью обеспечения приема - передачи ультразвука без значительных потерь в контактную щель, соизмеримую с длиной УЗ-волны, вводят иммерсию - минеральные масла, глицерин или воду. В некоторых случаях зазор увеличивают для обеспечения иммерсии при непрерывном истечении струи под движущийся искатель. Некоторые схемы прозвучивания и виды искателей показаны на рис.10.1 и 10.2.

Рис. 10.1. Схема УЗ-контроля сварного Рис. 10.2. Схема УЗ-контроля проушины

соединения внахлестку с тещиной шарнирного узла со специальными

в шве насадками для искателя и наклонной

осью луча

Метод акустической эмиссии (АЭ). Процесс микротрещино-образования в деталях машин непосредственно связан с технологией производства материала и деталей, с режимами и условиями эксплуатации изделий. Излучение волн напряжений, обусловленное возникновением и развитием микродефектов (микротрещин) в материале, независимо от причины их появления (усталость, текучесть, термообработка, НДС, старение, вибровоздействие и т.д.) может быть обнаружено и зарегистрировано с высокой точностью современной акустической аппаратурой. Поэтому еще в начале 50-х годов началось интенсивное изучение "деформационных шумов". Физические причины возникновения упругих волн в структуре твердых тел связаны с поликристаллическим строением металлов и сплавов, их фазовым составом, а в неметаллических материалах — неидеальными связями между элементами многомерных структур и внутренним трением.

Экспериментально исследованы некоторые источники АЭ в твердых телах. Показано, что упругие волны напряжений возникают при движении скопления дислокации, двойниковании в кристаллах, фазовых превращениях в металлах и сплавах, образовании усталостных микротрещин, сопровождающемся эффектом динамической разгрузки материала в вершине трещины, пульсациями скоростей трещины и ее ветвления. Одновременно возникающие пластические деформации в вершине связаны со скольжением и двойникованием в кристаллах; кроме того трение поверхностей без смазочного материала, когда "слипание" по вершинам микронеровностей приводит к местным пластическим деформациям также регистрируется как сигналы АЭ.

Начало трещинообразования связано с сигналами АЭ различной интенсивности и амплитуды, поэтому для решения задачи обнаружения момента зарождения микротрещины проводится селекция сигналов АЭ по амплитудным, временным и спектральным параметрам. Во всех случаях нужны калибровка датчиков и аппаратуры и определение пороговых значений сигналов, на которые настраиваются приборы оповещения.

Определение местоположения вершины трещины по сигналам АЭ осуществляют на основе четырех пространственно разнесенных на объекте датчиков — пьезопреобразователей, осуществляющих локацию по измерению времени задержки между моментами поступления сигнала в соответствующие каналы приема и регистрации.

При циклическом нагружении конструкций толкование сигналов АЭ значительно усложняется вследствие шумовых помех, вызванных самой испытательной техникой, и физических особенностей. "Эффект Кайзера", заключающийся в невоспроизводимости сигналов АЭ при повторном нагружении до уровня напряжений первого нагружения, значительно снижается уровень синалов АЭ, которые становятся близки по амплитудам к внешним помехам.

Несмотря на недостатки метода АЭ, заключающиеся в сложности аппаратуры и анализа результатов, в привлечении к работам высококвалифицированного персонала, в необходимости подавления активных помех, требующих ряда дополнительных мероприятий, метод АЭ обладает рядом уникальных свойств: высокой чувствительностью определения сигналов АЭ; возможностью следить только за активным развивающимся дефектом, представляющим опасность для конструкции; использованием неподвижных (без сканирования) датчиков, устанавливаемых на значительных расстояниях от трещины; универсальностью в применении к явлениям в твердых телах от причин возникновения в них упругих колебаний.

Лекция 11

Моделирование сложных процессов

Понятие о моделях сложных процессов

Сложный процесс, как и любая сложная система, представляет собой составной объект, части которого можно рассматривать как составляющие системы, объединенные в единое целое в соответствии с определенными принципами или связанные между собой заданными отношениями. Части сложной системы (подсистемы) можно расчленить (часто лишь условно) на более мелкие подсистемы.

Свойства сложной системы в целом определяются, как свойствами составляющих ее элементов, так и характером взаимодействия между ними. Сложные системы характеризуются тем, что:

- состояние системы описывается, как правило, большим числом динамических переменных;

- система обнаруживает качественные изменения динамического поведения;

- система включает нелинейные взаимодействия и обратные связи, которые так же, как правило, содержат нелинейности.

Конечной задачей современного эксперимента, как правило, является разработка модели, адекватной исследуемому процессу.

Под адекватностью понимают верное воспроизведение в модели связей и отношений исследуемого процесса. Степень адекватности определяется соответствием модельных и экспериментальных результатов. В то же время, экспериментальное исследования сложных процессов должно дополняться моделированием, когда эксперименты ставятся в соответствии с предполагаемой моделью исследуемого процесса. Моделирование с одной стороны, позволяет четко поставить задачу эксперимента, а с другой, способствует анализу его результатов.

Большинство современных процессов характеризуется наличием значительного числа разнообразных факторов, на них влияющих и играющих роль возмущения.

Представив процесс в виде «черного ящика» (рис. 11.1), все многообразие действующих на его входе параметров (оказывающих влияние на выходной параметр процесса) можно разбить на три основные группы.

В этом случае состояние объекта - «черного ящика» характеризуется n-мерным вектором Y, называемым выходом системы, или вектором отклика, а его составляющие - параметрами, или функциями отклика.

Рис. 11.1. Схема сложного процесса

Вектор отклика является функцией входных параметров, действующих в исследуемом процессе. Первая группа составляет -мерный вектор управляемых параметров, т. е. таких, которые можно измерять и целенаправленно изменять, поддерживая при этом некоторый заданный режим исследуемого процесса. Вектор называют вектором факторов; его составляющие - факторы, а область их возможных значении в опытах - факторным пространством.

Вторая группа образует р - размерный вектор контролируемых, но неуправляемых параметров характеризующихся состоянием исходных функций отклика на операциях предшествующих исследуемому процессу (например, чистота исходною кремния, используемого в процессе изготовления микросхем). Они не поддаются целенаправленному изменению в исследуемом процессе.

Третья группа входных параметров составляет m -мерный вектор неконтролируемых, а следовательно и неуправляемых входных параметров . Сюда относятся параметры, оказывающие случайные возмущающие воздействия на процесс.

Очевидно, что выход системы может состоять из любого числа функций отклика, интересующих исследователя обычно в разной степени.

Вполне понято, что при исследовании процесса чаще всего работают именно с первой группой входных параметров. Однако следует помнить, что соответствие полученных результатов эксперимента исследуемому процессу зависит от того, настолько полно в модели будут учтены вес те входные параметры, которые в большей степени влияют на функцию отклика и ее конкретные значения , фиксируемые в процессе проведения каждого

из опытов.

При моделировании, как правило, анализируется не все многообразие явлений, определяющих исследуемый процесс, а лишь те, которые существенны для решения поставленной задачи.

Модель — это упрощенная система, отражающая отдельные, наиболее важные стороны явлений изучаемого процесса. Один процесс можно описать различными моделями, в то время как одна модель может описывать различные процессы. При этом удается использовать результаты моделирования одних процессов для описания других, полученных с учетом их различной физической природы.

Процесс моделирования должен удовлетворять следующим требованиям:

- эксперимент на модели должен быть проще, оперативнее и экономичнее, чем на объекте;

- должно быть известно правило, по которому можно перенести результаты исследования модели на объект.

Классификация моделей

На практике различают два вида моделирования: физическое и математическое.

Физическое моделирование — воспроизведение постоянства определяющих критериев подобия.

Физической моделью некоторой системы называют систему той же или иной природы, которая частично или полностью воспроизводит свойства (главным образом—динамические) исходной системы (объекта моделирования) в рамках заданного приближения.

При физическом моделировании для исследования процесса в качестве физической модели часто используют процесс другой физической природы, описываемой аналогичным математическим аппаратом.

Математическое моделирование — это метод качественного и (или) количественного описания процесса с помощью так называемой математической модели, при построении которой реальный процесс или явление описывается с помощью того или иного адекватного математического аппарата.

Моделируемые процессы весьма разнообразны по своей природе и степени сложности. В связи с этим существуют различные подходы к их анализу и способу построения моделей.

Все процессы делятся на детерминированные и стохастические.

Детерминированными называются такие процессы, динамика которых полностью определяется начальными условиями, и динамические переменные являются функциями времени. По этому динамику можно однозначно предсказать на основе изучения его механизма. Стохастическими процессами называются такие, параметры которых изменяются случайно, под воздействием неконтролируемых дестабилизирующих воздействий, поэтому однозначно предсказать поведение таких процессов на основе их изучения затруднительно; можно говорить лишь о вероятности того или иного типа их поведения.

В соответствии с характером изучаемого процесса строятся жесткие или вероятностные модели.

Жесткие (детерминированные) модели строятся обычно без использования статистических вероятностных распределений. В этом случае определенному значению входного параметра процесса соответствует вполне определенное значение его выходного параметра. Связь между входным и выходным параметрами в этом случае является функциональной связью.

Значительно сложнее обстоит дело с вероятностными моделями, описывающими стохастические процессы. Большинство изучаемых современных процессов носят, как правило, случайный характер, когда выходной параметр связан с входным параметром статистически, т.е. нельзя заранее с точностью, характерной для функциональной связи, предсказать значение выходного параметра, соответствующее определенному значению входного. В случае статистической связи выходного параметра с входным , каждому определенному значению соответствует не определенное значение (как в случае функциональной связи), а распределение значений , изменяющегося с изменением . Поэтому вероятностные модели (когда решение принимается в условиях неопределенности) строятся с использованием методов теории вероятностей и математической статистики.

Для построения математической модели, отображающей зависимость функции отклика от фактора , статистические данные, обрабатывают, подсчитывая средние значения сначала, например, функции отклика для каждого определенного значения , которые наносят на прямоугольную систему координат, где по оси ординат откладывают значения а по оси абсцисс - соответствующие им значения . Аналогичным образом находят средние значения для каждого значения и также наносят на соответствующую прямоугольную систему координат. По виду графического изображения обработанных экспериментальных данных судят о наличии влияния одного параметра на другой. Если такое влияние обнаружено, то можно говорить о наличии, так называемой, корреляционной связи между рассматриваемыми параметрами. Полученные экспериментальные кривые называют кривыми регрессии, которые, в свою очередь, могут быть представлены уравнениями вида и , называемыми уравнениями регрессии соответственно на и на . Насколько тесна корреляционная связь и является зависимость между рассматриваемыми параметрами прямолинейной или криволинейной, — объективный ответ даст проведение корреляционного и регрессионного анализа результатов экспериментальных данных.

Целью корреляционного анализа является установление тесноты корреляционной связи между рассматриваемыми параметрами, а целью регрессионного анализа — установление формы этой связи (является ли корреляционная связь прямолинейной или криволинейной и каким конкретно уравнением регрессии она может быть описана). При этом могут возникнуть следующие варианты.

1. Оба признака и тесно связаны друг с другом.

2. Оба признака и не строго связаны между собой, и их связь носит статистический характер.

3. Оба признака и не связаны между собой. В этом случае значения признака не меняются с изменением , и наоборот.

Физическое моделирование

Как известно, существует два подхода к изучению физики и соответственно к физическому моделированию процессов.

В первом из них, при изучении физики последовательно излагают физические явления, основу которых составляют различные физические процессы. В этом случае при физическом моделировании в качестве модели процесса берется модель той же физической природы, что и исходный процесс.

Возможен и иной подход, который имеет тенденцию к расширению. Речь идет о классификации физических явлений на основе их общих черт, проявляющихся, в первую очередь, в идентичности математического аппарата, который описывает эти явления. При этом оказывается, что один и тот же математический аппарат может описывать явления, физическая сущность которых различна.

Основным требованием к физической модели, независимо от того, реализует ли она те или иные физические механизмы моделируемого процесса, является условие ее подобия исходному процессу.

Подобие - это условие, при котором возможен количественный перенос результатов эксперимента с модели на оригинал.

Применение методов теории подобия при физическом моделировании позволяет установить параметры модели, а также определить соответствующие параметры моделируемого процесса на основе данных, полученных при измерениях на физической модели.

Подобие модели и оригинала дает нам правило переноса результатов эксперимента с модели на оригинал с помощью критериев подобия.

Условия подобия предоставляют определенную свободу в выборе параметров модели, но при этом критерий подобия сохраняется неизменным.

Математическое моделирование

Математическая модель – описание объекта или процесса, выполненное на математическом языке.

Классификация математических моделей на основе особенностей применяемого математического аппарата. В ней можно выделить следующие их разновидности.

Математические модели с сосредоточенными параметрами. Обычно с помощью таких моделей описывают динамику систем, состоящих из дискретных элементов. С математической стороны — это системы обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений.

Математические модели с распределенными параметрами. Моделями этого типа описываются процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной природы и т.п.

Математические модели основанные на экстремальных принципах.

Общеизвестна основополагающая роль принципа наибольшего действия в физике. Например, все известные системы уравнений, описывающие физические процессы могут быть выведены из экстремальных принципов.

Математические модели в виде интегро-дифференциальных уравнений. Во многих процессах, в которых участвует большое число объектов, существенную роль играет суммарный результат многих взаимодействий. В этих случаях основу математической модели составляют обычно интегро-дифференциальные уравнения.

Методология математического моделирования

Концепция последовательного усложнения разрабатываемой модели

Одним из важнейших первичных этапов математического моделирования является концепция моделирования. Не следует стремиться с самого начала работы к созданию адекватной модели рассматриваемого процесса, хотя эта цель должна, разумеется, существовать. Попытка сразу, с первого подхода, достигнуть высокой адекватности имеет шансы на реализацию только при наличии большого опыта математического моделирования именно в рассматриваемой области.

При моделировании в новой области можно рекомендовать следующий подход к решению задачи. На первом этапе следует создать «грубую» модель. Речь идет об учете только небольшого числа самых существенных факторов. Работа с такой моделью составит базу для создания следующей, более адекватной модели, в которую целесообразно включить дополнительный фактор по сравнению с теми, которые вошли в первую, самую грубую модель. Получив вторую модель, следует проверить, даст ли правильный результат предельный подход к первой модели. Этот переход можно осуществить, если, например, устремить к нулю какой – либо параметр, значение которого связано с дополнительным фактором, введенным во вторую модель. В результате предельного перехода будет получено уравнение «грубого» приближения и его решение. Такая проверка с помощью предельного перехода может быть проведена, как при численном решении задачи, так и при аналитическом.

Метод последовательного усложнения модели введением дополнительных факторов или процессов может продолжаться до достижения необходимой адекватности модели.

Переход к безразмерным переменным. Важным методологическим приемом, облегчающим решение задач математического моделирования, является введение безразмерных переменных. Очень часто безразмерные переменные вводят так, чтобы они изменялись от 0 до 1. Для этого в качестве и берут максимальные значения динамических переменных и , которые обычно известны.

Анализ моделей

Расхождение между модельными результатами и данными наблюдений всегда существуют; можно считать, что эти расхождения являются мерой неадекватности модели.

Во многих случаях математическая модель дает только качественные описания реального объекта. Однако не следует думать, что это слабый результат. Знание особенностей поведения системы вносит значительный вклад в понимание исследуемого процесса.

Качественное описание объекта является первым этапом. Оно должно быть дополнено количественным описанием, т. е. моделированием с высоким уровнем адекватности.

Однако к высокому уровню адекватности не всегда целесообразно стремиться. Следует иметь в виду, что чем выше уровень адекватности, тем сложнее математическая модель, обеспечивающая этот уровень, и, следовательно, труднее ею пользоваться.

Оптимизация исследуемых процессов

Методы оптимизации

Одной из основных задач при исследовании различных процессов является возможность управления этим исследованием для обеспечения оптимальных условий его проведения. Наилучшим образом построить процесс, определить оптимальные режимы его проведения — естественные стремления исследователя. Однако до последнего времени эти вопросы очень часто решались интуитивно, на основе опыта разработчика и заказчика. Объясняется это необыкновенной сложностью современных процессов обилием и разнообразием всевозможных внутренних связей в них. Ведь для выбора оптимального процесса необходимо сравнить различные его варианты, учесть и проанализировать влияние огромного числа факторов на параметры продукта этого процесса. Вот почему столь велика роль интуиции, но оптимизация процесса в результате, как правило, не эффективна.

Одним из первых этапов при оптимизации технологических процессов является определение критерия оптимизации — функции отклика , значение которой будет положено в основу оценки процесса при его оптимизации. Задача оптимизации сводится к определению таких условий проведения технологического процесса, при которых критерий оптимизации достигает экстремума.

При исследовании технологических процессов аналитическая зависимость (где - вектор управляемых, а значит, контролируемых факторов ) неизвестна и исследователь не может найти экстремум путем решения системы дифференциальных уравнений

(11.1)

где - число факторов.

Обычно исследователь может лишь наблюдать значения выходной величины при различных комбинациях варьируемых факторов ; в действительности же наблюдается сумма истинного значения и случайной ошибки опыта

. (11.2)

Принято называть геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве — поверхностью отклика.

При поиске экстремальной точки, в отличие от аналитического исследования, осуществляется локальное изучение поверхности отклика по результатам ряда опытов, специально поставленных около исходной точки. Движение к экстремуму в - мерном пространстве независимых переменных осуществляется обычно не непрерывно, а шагами. Анализируя результаты экспериментов и сравнивая их с результатами предыдущих, исследователь принимает решение о дальнейших действиях по поиску оптимума. Экстремальное значение отклика достигается с помощью многократного последовательного изучения поверхности отклика и продвижения в факторном пространстве. Существуют несколько экспериментальных методов оптимизации, различающихся способом определения направления движения и организацией самого движения. Рассмотрим один из них.

Метод Гаусса —Зайделя. При оптимизации по этому методу последовательное продвижение к экстремуму осуществляется путем поочередного варьирования каждым фактором до достижения частого экстремума функции отклика (рис. 11.2). На рисунке изображены кривые равного выхода для одного из технологических процессов, аналогично кривым равной высоты на географических картах. Таким образом, изображающая точка перемещается попеременно вдоль каждой из координатных осей факторного пространства; переход к новой - й координате осуществляется при достижении частного экстремума целевой функции по предыдущей координате, т. е. в точке , где

(11.3)

Будем предполагать, что ищем экстремум в виде минимума функции отклика, максимум находится аналогично, меняется только знак.

Рис. 11.2. Поиск экстремума функции

отклика методом Гаусса - Зайделя

После достижения частного экстремума при изменении значений последнего фактора , переходят снова к варьированию первым фактором и т. д.; в результате изображающая точка приближается к экстремуму. Направление движения вдоль - й координатной оси выбирается обычно по результатам двух пробных экспериментов в окрестностях точки частного экстремума по предыдущему фактору. Поиск экстремума прекращается в точке, движение из которой в любом направлении не приводит к уменьшению значения выходного параметра (функции отклика ). Точка поверхности отклика, в которой значение функции отклика будет минимальным, и будет искомым оптимумом. Точность определения оптимальной точки зависит от шага варьирования , и, иногда, для увеличения точности уменьшают величину шага при приближении к экстремуму.

Важным моментом при постановке эксперимента является выбор исходной точки и шага варьирования. Здесь необходимо учитывать свойства изучаемого процесса, особенности технологии и методов измерения, т. е. привлекать всю априорную информацию об объекте исследования.

Лекция 12

Методы математической статистики в экспериментальных исследованиях

Основной целью проведения современного эксперимента с позиций производителя продукции является разработка математической модели, адекватно описывающей процесс и позволяющий в конечном результате, осуществлять его управление.

При планировании эксперимента исследователь должен:

1) обеспечить высокую надежность и четкость интерпретации результатов экспериментальных исследований;

2) составить четкую и последовательную логическую схему построения всего процесса исследования: что, когда и как нужно делать;

3) максимально формализовать процесс разработки модели и сопоставления экспериментальных данных различных опытов одного и того же объекта исследований с целью широкого применения электронно-вычислительных средств.

Всем перечисленным требованиям отвечают статистические методы планирования эксперимента, являющиеся одним из эмпирических способов получения математического описания сложных процессов. При применении статистических методов планирования эксперимента математическое описание процесса обычно представляется в виде полинома , (12.1)

где - функция отклика, а — факторы исследуемого процесса.

План эксперимента в этом случае определяет расположение экспериментальных точек в - мерном факторном пространстве или, другими словами, условия для всех опытов, которые необходимо провести. Обычно план эксперимента задается в виде матрицы планирования, каждая строка которой определяет условия опыта, а каждый столбец - значения контролируемых и управляемых параметров в исследуемом процессе, т. е. значения факторов, соответствующих условию опыта.

В последний столбец матрицы заносят значения функции отклика , полученные экспериментальным путем в каждом - м опыте, проведенным в соответствии с условиями, указанными в строках матрицы планирования эксперимента.

Планирование эксперимента начинают с выбора центра плана, т. е. точки, соответствующей начальному значению всех используемых в эксперименте факторов , в окрестностях которой в дальнейшем ставится серия планируемых опытов. Очевидно, что начальным значениям факторов будет также соответствовать начальное значение функции отклика . Центр плана

обычно выбирается на основе априорных сведений о процессе. Если же их нет, то обычно в качестве центра плана принимается центр исследуемой области.

Значение факторов в каждом опыте, в случае применения матрицы планирования эксперимента, отличается от начального их значения на величину интервала варьирования . Одним из важнейших предварительных условий успешного проведения эксперимента с целью разработки математической модели, адекватной исследуемому процессу, является выбор оптимальной величины .

Обычно интервал варьирования выбирают в пределах 0,05÷0,3 от диапазона варьирования исследуемого фактора. Далее, для удобства обработки результатов опытов, проводится преобразование значений управляемых переменных (учитываемых в эксперименте факторов ) к безразмерным величинам

, (12.2)

где — базовое или начальное значение -го фактора в центре плана; - значение интервала варьирования по - му фактору; - текущее значение -го фактора.

Пример 2. Предположим, что базовое значение температуры подложки – одного из факторов исследуемого процесса получения резистивных пленок (допустим ), равно При этом шаг варьирования по этому фактору . Варьирование значений фактора относительно его базового значения проводится на двух уровнях (рис. 12.1).

Рис.12.1. Результаты пошагового варьирования фактора

Переходя от абсолютных значений рассматриваемого фактора к безразмерным его значениям, получим в соответствии с (4.1) для верхнего уровня рассматриваемого фактора а для нижнего -

Таким образом, в безразмерной системе координат верхний уровень фактора при проведении эксперимента равен +1, а нижний -1. Координаты же центра плана равны нулю и совпадают с началом, координат. При составлении матрицы планирования эксперимента верхний и нижний уровни переменных для упрощения записи заменяют символом (+) и (-).

Разработку модели процесса следует проводить по принципу «от простого к более сложному». В соответствии с этим принципом, планирование эксперимента начинают с предположения, что имитируемая модель исследуемого процесса является линейной и в соответствии с (12.1) имеет вид полинома 1-го порядка

(12.3)

Если после обработки и анализа результатов эксперимента выяснится, что сделанное предположение о линейности модели является ошибочным, переходят к планированию эксперимента из предположения, что эта модель может быть представлена полиномом 2-го порядка и т. д. до тех пор, пока не будет разработана адекватная исследуемому процессу математическая модель.

Рассмотрим наиболее распространенные статистические методы планирования экспериментов.

Лекция 13

Полный факторный эксперимент

В этом случае учитывается влияние на функцию отклика исследуемого процесса не только каждою рассматриваемого в эксперименте фактора в отдельности, но и их взаимодействий.

Под взаимодействием факторов понимают эффект влияния изменения значений одного или нескольких факторов на характер изменения функции отклика от изменения другого фактора.

Примеры отсутствия и наличия взаимодействия факторов и приведены на рис. 13.1.

Рис. 13.1. Примеры отсутствия взаимодействия факторов и (а) и наличия взаимодействия факторов и (б)

Влияние взаимодействия факторов — это когда уровень одного фактора определяет характер влияния другого фактора на выходной параметр. На рис. 13.1а переход второго фактора с одного уровня 400° на другой 450° не меняет характер влияния первого фактора на ; в этом случае взаимодействие факторов не оказывает влияния на функцию отклика. На рис. 13.1б изменение уровня фактора сказывается на наклоне линейной зависимости , что говорит о влиянии взаимодействия факторов на выходной параметр .

При построении матрицы полного факторного эксперимента (ПФЭ), допустим, что в исследуемом процессе учитываются только два фактора и оказывающие влияние на интересующую нас функцию отклика .

В соответствии с принципом «от простого к более сложному» предположим, что модель исследуемого процесса является линейной и в соответствии с (11.3) имеет вид

(13.1)

где - значение функции отклика в центре плана; коэффициент , (в данном случае и ) характеризуют степень влияния -го фактора на функцию отклика (чем он больше по сравнению с другими коэффициентами, тем более весомый вклад в изменение данный фактор вносит); член учитывает эффект влияния взаимодействия 1-го и 2-го факторов на функцию отклика исследуемого процесса, а коэффициент характеризует весомость этого влияния.

Вполне очевидно, варьирование значений фактора относительно его базового (начального) значения в случае линейной модели достаточно проводить только на двух уровнях.

Очевидно так же, что все возможные комбинации для двух факторов ( =2), варьируемых на двух уровнях, будут исчерпаны, если мы поставим четыре опыта. Опытные точки расположатся в вершинах квадрата, центр которого совпадает с центром плана (рис. 13.2).

Рис.13.2. Расположение экспериментальных точек для двух независимых факторов, варьируемых на двух уровнях

Как видно, каждому из этих четырех опытов будет соответствовать свое значение функции отклика, в зависимости от четырех различных сочетаний двух значений варьируемых в данном эксперименте факторов.

Построим матрицу планирования ПФЭ для рассматриваемого случая, с учетом предполагаемой модели (13.1) исследуемого процесса.

При построении матрицы планирования ПФЭ существует следующее правило:

- первая строка матрицы в столбцах, соответствующих рассматриваемым в эксперименте факторам, заполняется безразмерным символом, соответствующим нижнему уровню значений фактора в эксперименте, т. е. символом (-); продолжение заполнения столбца, соответствующего первому по порядку фактору, проводится последовательным чередованием противоположных знаков (безразмерных значений уровней варьирования) все последующие столбцы, соответствующие другим пронумерованным по порядку факторам, заполняются с частотой смены знака вдвое меньшей, чем для предыдущего столбца.

Нумерация факторов осуществляется произвольно и в каждом конкретном случае определяется самим исследователем. Заполнение столбцов, учитывающих взаимодействие факторов, производится как результат перемножения знаков соответствующих факторов в каждой строке.

Первый столбец матрицы представляет собой нумерацию опытов. Во втором столбце матрицы планирования приводятся значения фиктивной переменной , соответствующей коэффициенту . В последующих столбцах матрицы приводятся безразмерные символы, соответствующие верхнему и нижнему уровням варьирования факторов и их взаимодействий. В последний столбец матрицы заносятся экспериментальные значения функции отклика, полученные в результате проведения каждого опыта.

Матрица планирования ПФЭ, построенная в соответствии с этим правилом, приведена в таблице 13.1. Так как матрица построена для случая, когда в эксперименте рассматриваются только два фактора , то ее называют матрицей планирования ПФЭ типа 2².

^{Таблица 13.1. Матрица планирования ПФЭ типа 2}2

Номер опыта
1 2 3 4	+ + + -	- + - +	- - + +	+ - - +

При обработке и анализе результатов эксперимента необходимо оценивать коэффициенты предполагаемой математической модели, представленной в нашем случае в виде полинома (13.1).

Для обеспечения независимости оценки коэффициентов полинома необходимо соблюдение независимости столбцов матрицы планирования эксперимента, или, говоря по-другому, построенная матрица планирования должна быть ортогональной.

Матрица планирования эксперимента является ортогональной, если сумма произведений значений, приведенных в каждой строке двух любых столбцов матрицы, соответствующих рассматриваемым в эксперименте факторам или их взаимодействию, равна нулю.

Пример 3. Проверим матрицу, приведенную в табл.13.1, на условие ортогональности (см. таблички).

Проверка матрицы, приведенной в табл. 13.1, показала, что она является ортогональной, следовательно, с ее помощью можно производить независимую оценку коэффициентов полинома, так как соответствующие столбцы — независимы.

Если в эксперименте используются три фактора, а предполагаемая математическая модель линейна, то она соответствует полиному вида

(13.2)

При варьировании каждым из трех факторов на двух уровнях число опытов будет составлять , а матрица планирования ПФЭ будет иметь следующий вид (табл.13.2).

Таблица 13.2 Матрица планирования ПФЭ типа 2³

Номер опыта
1	+	-	-	-	+	+	+	-
2	+	+	-	-	-	-	+	+
3	+	-	+	-	-	+	-	+
4	+	+	+	-	+	-	-	-
5	+	-	-	+	+	-	-	+
6	+	+	-	+	-	+	-	-
7	+	-	+	+	-	-	+	-
8	+	+	+	+	+	+	+	+

В этом случае опытные точки располагаются в вершинах куба, центр которого находится в начале координат (0, 0, 0) (рис.13.3).

Рис.4.6. Расположение экспериментальных точек в плане, соответствующем полиному

2-го порядка для трех независимых переменных

Руководствуясь приведенным ранее правилом, легко построить матрицу и для большего числа рассматриваемых в эксперименте факторов, число опытов в которой

, (13.3)

где — число учитываемых в эксперименте факторов.

Однако следует подчеркнуть, что выражение (13.3) справедливо только для линейной модели, соответствующей полиному 1-го порядка (11.3), когда варьирование по каждому фактору достаточно проводить на двух уровнях.

При статистическом методе планирования эксперимента существует правило - число уровней варьирования, учитываемых в эксперименте факторов, должно быть, по крайней мере, на единицу больше порядка полинома, для построения которого планируется эксперимент. Нами рассматривалось планирование эксперимента исходя из предположения, что математическая мотель исследуемого процесса соответствует полиному 1-го порядка (линейна). Поэтому достаточно было проводить варьирование каждого из факторов только на двух уровнях, а необходимое число проводимых опытов можно было определить с помощью выражения (13.3).

Если анализ результатов эксперимента показывает, что линейная модель, соответствующая полиному первого порядка (11.3) не адекватна исследуемому процессу, то переходят к планированию и проведению следующего эксперимента исходя уже из предположения, что математическая модель соответствует полиному следующего порядка и т. д. Но при планировании эксперимента, основанного на математической модели, например, соответствующей полиному 2-го порядка

(13.4)

необходимо обеспечить варьирование по каждому из факторов уже на трех уровнях. А тогда необходимое число опытов, которое нужно провести в эксперименте, должно быть не меньше Для полинома третьего порядка и т. д.

Отметим некоторые положительные особенности многофакторного планирования ПФЭ.

1. Опытные точки находятся в оптимальном положении, т. е. математическое описание исследуемого процесса оказывается более точным, чем при проведении опытов в точках, расположенных каким-либо другим образом.

Поясним это утверждение. Если мы проводим эксперимент с небольшим интервалом варьирования (рис.13.4), то из-за наличия ошибки эксперимента, которая всегда имеется, положение искомой зависимости будет определена с разбросом (I) значительно большим, чем при увеличенном интервале варьирования (II). В многофакторном эксперименте (ПФЭ) расстояние между экспериментальными точками без увеличения интервала варьирования по каждой переменной увеличивается в

Рис.13.4. Влияние размера интервала варьирования на точность

определения зависимости

раз (где - число факторов) по сравнению с однофакторным экспериментом. Так, для двухфакторного эксперимента (рис.13.2) – расстояние между экспериментальными точками – диагональ квадрата , для трехфакторного эксперимента – диагональ куба и т.д.

2. Планирование и проведение ПФЭ сравнительно просто, что объясняет его широкое применение в практике.

3. Все факторы и соответственно коэффициенты полинома оцениваются независимо друг от друга, что обеспечивается независимостью и ортогональностью столбцов матрицы планирования.

Однако последняя положительная особенность ПФЭ справедлива только для процесса, описываемого полиномом 1-го порядка. При значительном влиянии на выходной параметр уже квадратичных членов полинома, оценить раздельно коэффициенты и т.д. с помощью ПФЭ, как правило, не удается, так как соответствующие столбцы матрицы планирования будут идентичны между собой, и, матрица становится неортогональной, т.е. с зависимыми столбцами.

Лекция 14

Проведение эксперимента

Проведение эксперимента должно обеспечить сведение к минимуму влияние случайных параметров исследуемого процесса. Для достижения этой цели необходимо придерживаться следующих требований:

- предусмотреть проведение нескольких параллельных опытов при одних и тех же условиях, предусмотренных соответствующей строкой матрицы планирования (номером опыта);

- необходимо рандомизировать неконтролируемые параметры процесса, т.е. обеспечить их взаимную компенсацию.

Для выполнения первого требования должно быть предусмотрено проведение не менее двух параллельных опытов , а для более высокой достоверности результатов, их число увеличивают. В этом случае результаты параллельных опытов, например, для первой строки матрицы табл. 13.2, усредняются и при анализе результатов эксперимента используют именно усредненное значение функции отклика, соответствующее условиям опыта и подсчитываемое по формуле

. (14.1)

где , - номер опыта по порядку, установленному первым столбцом матрицы, а - номер параллельного опыта в ее строке; значение функции отклика, соответствующее -му параллельному опыту в -м номере опыта; - число параллельных опытов.

Для выполнения второго требования порядок реализации условий опыта, предусмотренный первым столбцом матрицы, должен быть рандомизирован. Для этого перед непосредственной реализацией плана эксперимента для каждой из серий опытов обычно с помощью таблицы случайных чисел определяется последовательность опытов на исследуемом объекте.

Пример 4. Требуется исследовать процесс получения резистивных пленок с целью его оптимизации. Напомним предварительные условия эксперимента. В качестве критерия оптимизации берется температурный коэффициент сопротивления (ТКС) Задача исследования - определить условия получения резистивных пленок с минимальным ТКС. Из анализа технологического процесса и результатов предварительных опытов установлено, что на ТКС пленок оказывают влияние следующие факторы: температура испарения материала (фактор ); температура подложки, на которую производится осаждение материала (фактор ); температура термообработки изготовленных резистивных пленок (фактор ). С учетом результатов предварительных опытов выбираем: центр плана шаг варьирования по всем трем факторам

Абсолютные значения верхнего и нижнего уровней, учитываемых в данном эксперименте факторов приведены ниже.

Характеристика фактора	Значение фактора
Верхний уровень Нижний уровень	2550 2450	450 350	450 350

Предположим, что искомая модель исследуемою процесса является линейной и может быть представлена полиномом 1-го порядка вида (13.2). В этом случае достаточно варьирования каждою из трех факторов на двух уровнях минимальное число опытов .

С целью ускорения проводимого эксперимента, принимаем решение о проведении двух параллельных опытов для одних и тех же условий, представленных в каждой строке (значения верхнего и нижнего уровней факторов), соответствующих номеру опыта, указанному в 1-м столбце матрицы. С учетом проведения параллельных опытов, их число увеличивается до и в нашем случае составит 16.

План эксперимента представим в виде матрицы планирования ПФЭ типа 2³ (табл.14.1), которая несколько отличается от матрицы, представленной в табл. 13.2.

Во 2-м столбце матрицы табл. 14.1 указан порядок проведения опытов, номера которых указаны в 1-м столбце матрицы и которым соответствуют условия, приведенные в 4, 5 и 6 столбцах матрицы.

Для рандомизации неконтролируемых параметров исследуемого процесса порядок проведения опытов определен с помощью таблицы случайных чисел. Так, в соответствии с порядком, указанном во втором столбце табл.14.1, первым проводится опыт, соответствующий третьему номеру опыта, указанному в первом столбце (третьей стоке плана), затем седьмой и т. д. Точно также во второй серии параллельных опытов порядок их проведения определен второй колонкой 2-го столбца матрицы планирования.

Все экспериментально полученные значения функции отклика первого и повторного опытов заносятся в 11 и 12 столбцы матрицы, а их средние значения подсчитываются по (14.1) и затем заносятся в 13 столбец.

Для проведения последующего анализа результатов эксперимента в матрицу планирования, представленную в табл.14.1, вводятся дополнительно 14 и 15 столбцы. При этом в 14 столбец вносятся значения выборочных дисперсий экспериментальных значений функции отклика около их среднего значения , подсчитываемого по формуле

. (14.2)

где - количество значений , полученных в результате проведения параллельных опытов; .

Последний (15) столбец матрицы включает теоретические (буква является первой буквой слова theoretical - теоретическое) значения функции отклика , подсчитанные из предполагаемой имитационной модели исследуемого процесса для условий - го опыта. Заполнение этого столбца производят, как будет показано далее при анализе результатов эксперимента и сравнения их с результатами «мысленных опытов», полученных при решении уравнения предполагаемой имитационной математической модели исследуемой области процесса.

Таблица 3

Матрица планирования и результаты экспериментов

при исследовании резистивных пленок

Номер опыта	Порядок проведения опыта
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1 2 3 4 5 6 7 8	3 6 4 8 1 7 8 2 7 4 6 5 2 8 5 1	+ + + + + + + +	- + - + - + - +	- - + + - - + +	- - - - + + + +	+ - - + + - - +	+ - + - - + - +	+ + - - - - - +	- + + - + - - +	2,4 2,4 2,0 2,2 2,2 2,1 2,1 1,7	2,8 2,2 2,4 2,4 2,2 1,7 1,9 1,7	2,6 2,3 2,2 2,3 2,2 1,9 2,0 1,7	0,08 0,02 0,08 0,02 0 0,08 0,02 0

Примечание: для получения значения ТКС (функции отклика ) необходимо цифры, приведенные в 11, 12 и 13 столбцах табл. 14.1, умножить на —10⁴; единицей измерения ТКС является 1^оС.

Лекция 15

Дробный факторный эксперимент

При большом числе учитываемых в эксперименте факторов ПФЭ становится громоздким и занимает очень большое время для своего проведения, так как число опытов с ростом увеличивается по экспоненте. Правда, при этом уменьшаются ошибки при определении коэффициентов полинома, так как для оценки каждого из них используются все опыты.

Однако число опытов можно сократить, если априори известно, что на процесс не оказывают влияния те или иные взаимодействия. Действительно, в реальной ситуации некоторые взаимодействия факторов особенно высокого порядка (т. е. включающих большое число символов) не влияют на выходной параметр. В этом случае можно использовать так называемые дробные реплики от ПФЭ или дробный факторный эксперимент (ДФЭ).

Предположим, что необходимо получить математическое описание процесса при трех учитываемых факторах и , оказывающих влияние на функцию отклика

При использовании ПФЭ для определения коэффициентов полинома 1-го порядка необходимо провести восемь опытов (2³) в соответствии с матрицей планирования, приведенной в табл.13.2. Число номеров опытов должно быть не менее числа коэффициентов полинома, в соответствии с которым планируется эксперимент. В данном случае предполагаемая математическая модель, описывающая исследуемый процесс, имеет вид полинома (12.1), содержащего восемь коэффициентов от до . Однако, если взаимодействие между факторами и отсутствует, можно ограничиться четырьмя опытами. В этом случае можно воспользоваться матрицей планирования ПФЭ для двух факторов и , приведенной в табл.13.1, заменив в вей обозначение на соответствующее безразмерному значению фактора на верхнем и нижнем его уровнях. Чередование знаков в этом столбце соответствует результату перемножения безразмерных значений двух других факторов ( ), т. е. остается неизменным после замены символов в матрице планирования, которая после введения в нее третьего фактора остается ортогональной. Эксперимент в этом случае будет ставиться уже с включением третьего фактора, изменяющегося согласно столбцу ПФЭ (табл.13.1), а предполагаемая математическая модель будет иметь вид полинома 1-го порядка, не учитывающего взаимодействия факторов, т. е.

(15.1)

Такой сокращенный план содержит половину опытов от требуемого их числа согласно плану ПФЭ (в нашем случае четыре опыта вместо восьми) и называется полурепликой от ПФЭ типа . Условное обозначение такого плана: ДФЭ типа , где - число учитываемых в эксперименте факторов; - число взаимодействии, замененных факторами, учитываемых в эксперименте.

Для рассматриваемого случая трех факторов матрица планирования ДФЭ типа будет иметь вид:

Номер опыта
1 2 3 4	+ + + +	- + - +	- - + +	+ - - +

Приведенное планирование эксперимента дает возможность при обработке и анализе его результатов оценить в полиноме (15.1) свободный член и коэффициенты при линейных членах .

Однако при этом предполагается, что коэффициенты в полиноме (13.2) равны нулю. Поэтому составление такой матрицы планирования эксперимента возможно лишь в том случае, если полностью отсутствует или пренебрежительно мало влияние на функцию отклика факторов взаимодействия факторов исследуемого процесса. Только в этом случае математическая модель, представленная полиномом, в котором отсутствуют члены, учитывающие эти взаимодействия (так как соответствующие им коэффициенты равны нулю), может быть адекватна исследуемому процессу.

При использовании матрицы планирования ДФЭ нужно всегда помнить, что мы получаем совместную оценку нескольких эффектов: факторов и их взаимодействий. Действительно,

(15.2)

Поэтому подсчитываемые в дальнейшем значения линейных коэффициентов полинома по экспериментальным значениям функции отклика будут всегда включать также значения коэффициентов, учитывающих эффект влияния взаимодействия факторов на функцию отклика (в нашем случае это коэффициенты ). В результате этого подсчитанные значения коэффициентов полинома (15.1) фактически будут иметь следующий вид:

(15.3)

где - действительные значения линейных коэффициентов полинома (15.1); - полученные их значения при наличии эффекта влияния взаимодействия факторов на функцию отклика.

Лекция 16

Обработка и анализ результатов эксперимента

Статистическая проверка гипотез о свойствах эксперимента

С целью повышения достоверности полученных в результате эксперимента значений функции отклика, проводят ряд параллельных опытов, число которых определяет сам исследователь, исходя из конкретных условий проведения эксперимента, характера исследуемого объекта и выбранного плана эксперимента. Однако при проведении параллельных опытов исследователь должен быть уверен в воспроизводимости эксперимента т. е. в том, что все полученные в опытах значения функции отклика являются результатом случайного рассеяния, а не результатом доминирующего действия какого-либо неконтролируемого и неуправляемого воздействия, которое может возникнуть при проведении опыта. Если при проведении эксперимента отсутствует такое доминирующее воздействие, то на основании центральной предельной теоремы [2] при возрастании числа параллельных опытов распределение экспериментальных значений функции отклика будет подчиняться закону Гаусса (нормальному закону).

Соответствие экспериментального распределения случайной величины предполагаемому теоретическому закону распределения можно оценить с помощью критерия Пирсона.

Критерий Пирсона и его применение в общем виде для оценки соответствия экспериментального распределения предполагаемому теоретическому можно проиллюстрировать на следующем примере.

Предположим, что имеется статистический ряд наблюдений над случайной величиной . Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой о том, что случайная величина имеет предполагаемый теоретический закон распределения.

Первоначально статистический ряд разбивают на интервалов и подсчитывают число значений случайной величины в каждом интервале. В результате получают экспериментальный ряд частот

Следует сразу отметить, что предпосылкой применения критерия является достаточная заполненность интервалов. На практике рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5 ÷10 наблюдений. Если число наблюдений в отдельных интервалах мало, имеет смысл объединить эти интервалы.

Исходя из предполагаемого теоретического закона распределения вычисляют частоты в тех самых интервалах, на которые разбит статистический ряд. В результате получают теоретический ряд частот в интервалах: .

Для проверки согласованности теоретического и экспериментального распределений подсчитывают меру распределения

или (16.1)

и число степеней свободы . Число степеней свободы в этом случае равно числу интервалов минус число ограничений

(16.2)

Число ограничений равно числу параметров в рассматриваемом законе распределения, увеличенному на единицу. Например, для гауссовского закона имеются два параметра [M(x) и σ]; в этом случае число ограничений равно трем, а экспоненциальный закон характеризуется одним параметром λ, т. е. число ограничений для него равно двум.

Для распределения составлены специальные таблицы. Пользуясь этими таблицами, можно для каждого значения и числа степеней свободы , являющихся входами определить вероятность Р того, что за счет чисто случайных причин мера расхождения теоретическою и экспериментального распределения (16.1) будет меньше чем фактически наблюдаемое в данной серии опытов значение . Если эта вероятность Р мала (настолько, что событие с такой вероятностью можно считать практически невозможным), то результат опыта следует считать противоречащим гипотезе о том, что закон распределения величины является гауссововским. Эту гипотезу следует отбросить как неправдоподобную.

Напротив, если вероятность сравнительно невелика, можно признать расхождение между теоретическим и экспериментальным распределениями несущественным и отнести его за счет случайных причин. Гипотезу о том, что величина распределена по нормальному закону, можно считать в этом случае правдоподобной, по крайней мере не противоречащей экспериментальным данным.

Критерий Кохрена. Этот критерий применяется для оценки однородности дисперсии только при равном числе повторов каждого эксперимента.

Для применения критерия Кохрена рассчитывается дисперсия экспериментальных значений функции отклика в каждой строке матрицы планирования эксперимента (14.2). В результате получается ряд значений выборочных дисперсий (см. столбец 14 табл. 14.1). Очевидно, что недоверие будут вызывать именно наибольшие их значения. В эксперименте, проведенном в соответствии с ПФЭ типа в примере 4, таким значением будет , полученное в экспериментах соответственно 1-го, 3-го и 6-го номеров опытов.

Далее подсчитывается параметр

, (16.3)

при , …, , т. е. вычисляют отношение максимального значения изменчивости среди опытов к сумме изменчивостей во всех опытах.

Найденное по (16.3) наибольшее экспериментальное значение сравнивают с критичным его значением .

Критичное значение представляет собою максимально возможное значение параметра при котором гипотеза о воспроизводимости эксперимента еще может считаться справедливой. В этом случае максимальная изменчивость функции отклика, полученная в результате проведения параллельных опытов, не отличается от ожидаемой среди опытов. Поэтому, если то «подозрительное» максимальное значение изменчивости не является «инородным», а представляет собой результат случайного рассеяния исследуемой функции отклика, т. е. эксперимент воспроизводим. В противном случае, когда - эксперимент не воспроизводим, и необходимо повторить его в анализируемой экспериментальной точке, добившись воспроизводимости,

т. е. выполнения .

Критичное значение отношения рассматриваемой изменчивости к сумме всех изменчивостей находят из таблицы критических значений критерия Кохрена для гауссовского закона распределения значений функции отклика в генеральной их совокупности (см. табл. 4 приложения).

Задаваясь определенным значением коэффициента риска (обычно задаются ), определяют в столбце, соответствующем числу параллельных опытов и строке, соответствующей числу номеров опытов ( ).

Критерий Бартлета (В - критерий). Иногда бывает необходимо проверить гипотезу об однородности дисперсий при различных объемах выборки . В этом случае пользуются критерием Бартлета. Для его вычисления определяют - среднюю арифметическую дисперсий

, (16.4)

где - число степеней свободы; , - число степеней свободы.

Далее на ходят В - критерий

(16.5)

здесь , (16.6)

. (16.7)

Бартлет установил, что если , где - квантли распределения Пирсона, гипотеза о равенстве выборочных дисперсий может быть принята. Величина находится из табл. 2 приложения при степенях свободы и заданном коэффициенте риска . При признается значимость различия выборочных дисперсий .

Критерий Фишера ( -критерий). При анализе результатов эксперимента требуется не только уточнить вопрос о его воспроизводимости, оценивая однородность изменчивости и, в частности, дисперсии в различных опытах в ходе его проведения, но и оценить различие значений дисперсий для одной и той же случайной величины. Если эти различия являются случайными, то гипотеза о фактическом равенстве этих дисперсий является справедливой. В этом случае изменчивость, например, экспериментально полученных значений функции отклика, является ожидаемой для рассматриваемой генеральной совокупности их распределения.

При гауссовском законе распределения случайной величины для проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий одной и той же случайной величины, в качестве критерия значимости используется -параметр, который равен отношению двух рассматриваемых выборочных дисперсий и , имеющих соответственно степени свободы и т. е.

. (16.8)

При расчете -параметра по (16.8) должно выполняться условие . В противном случае следует поменять местами рассматриваемые дисперсии.

Найденное экспериментальное значение -параметра сравнивается с его критическим значением , соответствующим максимальному значению отношения двух дисперсий, при котором еще можно считать гипотезу о равенстве рассматриваемых дисперсий справедливой.

Критичное значение по числу степеней свободы и заданному коэффициенту риска находится из табл. 5 приложения. Значение числа степеней свободы дисперсии, стоящей в числителе выражения (16.8), определяет значение по столбцу, а значение - по строке. Если , то гипотеза о равенстве выборочных дисперсий принимается. В противном случае, рассматриваемые дисперсии относятся к различным генеральным совокупностям исследуемой случайной величины.

Критерий Стьюдента ( -критерий). Для проверки гипотезы о равенстве двух выборочных средних значений случайной величины, имеющей гауссовский закон распределения, используется критерий Стьюдента. Для применения данного критерия подсчитывают выборочные средние арифметические значения случайной величины и , соответственно для выборок и и их выборочные стандартные отклонения

и (16.9)

Далее подсчитывают величину стандартного отклонения выборочных средних арифметических значений по формуле

Для случая, когда среднее выборочное сравнивается с математическим ожиданием генеральной совокупности , из которой берется выборка, и при условии, что , дисперсия средних подсчитывается по формуле

(16.10)

Если генеральная характеристика неизвестна (а это наиболее часто встречающийся случай), то в (5.10) берется ее оценка

(16.11)

После того, как определены стандартные отклонения выборочных средних арифметических, подсчитывают размах Стьюдента:

или . (5.12)

Найденное экспериментальное значение сравнивают с критичным значением , которое определяют по таблице распределения Стьюдента для заданного коэффициента риска (см. табл. 1 приложения) и числа степеней свободы .

______________________

1 Число степеней свободы - это разность между числом экспериментов и числом независимых случайных величин, полученных в результате этих экспериментов, которые не позволяют оцениваемой в результате этих экспериментов величине (например, среднему значению) принимать какое либо другое значение, отличное от полученного по окончании их проведения.

Если ≤ , то гипотеза о равенстве выборочных средних арифметических значении принимается, а это значит, что выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности.

При малом объеме выборки - случайная величина и ее распределение не является гауссовским. Однако по мере увеличения объема выборки - распределение приближается к гауссовскому. При его можно считать практически гауссоиским.

После вычисления коэффициентов имитационной модели, представленной в виде линейного полинома, оценивается их значимость для определения степени влияния различных факторов на выходной параметр (функцию отклика). Основой оценки значимости коэффициентов полинома является сопоставление абсолютного значения, например, коэффициента и дисперсии ошибки его определения . В этом случае с помощью -критерия проверяется гипотеза о незначимости рассматриваемого коэффициента, т. е. гипотеза о том, что (проверка нуль - гипотезы). Поэтому при подсчете экспериментального значения -параметра, в отличие от (16.12), и числитель ставится абсолютное значение рассматриваемого коэффициента, а в знаменатель - дисперсия ошибки его определения, т. е. для оценки коэффициентов, стоящих в линейных членах полинома, имеем

. (16.13)

При ортогональном планировании эксперимента дисперсии ошибок определения каждого из коэффициентов равны между собой

, (16.14)

где - число номеров опытов определяющих в соответствии с матрицей планирования, условия проведения эксперимента; - число параллельных опытов для каждого условия (номера опыта) проведения эксперимента.

Для оценки дисперсии воспроизводимости можно воспользоваться группой выборочных дисперсий, приведенных в 14 столбце табл.14.1. Тогда

(16.15)

Коэффициент признается незначимым, если для числа степеней свободы меньше , найденному из табл. 4 приложения для данного значения коэффициента риска .

Лекция 17

Порядок статистической обработки и анализ результатов эксперимента

Рассмотрим более подробно порядок статистической обработки и анализа результатов на примере ПФЭ. Следует отметить, что тот же самый порядок будет справедлив и при других методах планирования эксперимента, хотя расчетные формулы, разумеется, будут отличаться.

Обработка и анализ результатов ПФЭ предусматривает следующий порядок их проведения.

1. Оцениваются дисперсии среднего арифметическою в каждой строке матрицы по формуле

. (17.1)

2. Проверяются однородности дисперсий. Так как даже одна грубая ошибка может исказить результаты исследования, проведенного при небольшом числе экспериментов, то необходим контроль воспроизводимости результатов исследования.

Если проверка показала, что эксперименты воспроизводимы, то их результаты можно использовать для оценки коэффициентов регрессии. Если же эксперименты невоспроизводимы, то неконтролируемые и неуправляемые факторы создают на выходе слишком большой уровень «шума». При отрицательном результате (эксперименты невоспроизводимы) проверяется следующая точка (имеющая второе по величине значение ) и т. д., т. е. выявляются все точки, в которых эксперимент невоспроизводим. При этом можно рекомендовать увеличить число параллельных опытов.

3. Создается математическая модель объекта с проверкой статистической значимости коэффициентов полинома.

После выполнения ПФЭ осуществляют независимую оценку

коэффициентов полинома по следующей формуле:

, (17.2)

где принимает значения +1 или -1 в соответствии с матрицей планирования.

В числителе (17.2) фактически стоит сумма средних значений выходного параметра по всем опытам с учетом уровня независимой переменной в -м опыте.

Следует отметить, что по формуле (17.2) мы можем найти также коэффициенты при произведениях факторов . Значения этих коэффициентов показывают уровень влияния эффекта взаимодействия факторов и .

После вычисления коэффициентов оценивается их значимость для определения степени влияния различных факторов на выходной параметр. Основой оценки значимости является - критерий (16.13).

Коэффициент признается незначимым, если для числа степеней свободы меньше (см. табл. 1 приложения).

4. Провернется адекватность. Математическая модель должна достаточно верно качественно и количественно описывать свойства исследуемого явления, т. е. она должна быть адекватна. Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического более чем на некоторую заранее заданную величину. Для проверки адекватности достаточно оценить отклонение предсказанного имитационной моделью значения выходного параметра от результатов эксперимента в точке факторного пространства.

Оцениваем дисперсию адекватности

, (17.3)

Где - число членов аппроксимирующего полинома.

Если не превышает дисперсии опыта , то полученная математическая модель адекватно представляет результаты эксперимента; если же > , то проверка гипотезы об адекватности проводится с помощью -критерия при и

(17.4)

если , то модель признается адекватной.

Если полученная модель адекватна, то возможны следующие ситуации.

1. Все линейные коэффициенты значимы. Полученную модель можно использовать для управления процессом и оптимизации его путем движения в направлении к экстремуму.

2. Один из коэффициентов резко выделяется по абсолютной величине; в этом случае движение по градиенту функции выродится в обычный однофакторный эксперимент. Поэтому следует повторить эксперимент, уменьшив интервал варьирования этого фактора или увеличив его для других факторов.

3. Некоторые из линейных коэффициентов незначимы. Ими можно пренебречь, если соответствующие факторы действительно не оказывают влияния на выходной параметр (например, если незначимым оказался включенный в исследование из осторожности фактор, который и по априорным сведениям не должен оказывать существенного влияния па функцию отклика). Если в этом уверенности нет, то необходимо поставить новую серию опытов, расширив интервалы варьирования у соответствующих факторов.

4. Некоторые или все линейные коэффициенты незначимы, но значимы коэффициенты взаимодействия . Такое положение может возникнуть из-за неудачного выбора интервалов варьирования, поэтому надо поставить новую серию опытов, увеличив интервалы варьирования у соответствующих факторов. Причиной подобной ситуации может быть и то, что эксперимент ставился и области, в которой линейное приближение является неудачной моделью поверхности отклика. В этом случае переходят к нахождению математической модели более высокого порядка.

Пример 1. В качестве примера обработки и анализа результатов эксперимента, рассмотрим пример 4, приведенный в лекц.14, и соответствующую ему матрицу планирования ПФЭ (табл.14.1).

1. Дисперсии опытных значении функции отклика около их средних значений в каждой строке матрицы приведены и столбце 14 табл.14.1. Наибольшее ее значение (0,08) соответствует условиям проведения эксперимента, установленным 1-м, 3-м и 6-м номерами опыта.

2. Для проверки воспроизводимости эксперимента подсчитаем по формуле (16.3) значение параметра :

Критичное его значение, для , при (определяет по столбцу) и (по строке), равно .

Следовательно, эксперимент воспроизводим, так как согласно критерию Кохрена .

3. По (17.2) подсчитываем значение каждого коэффициента предполагаемой имитационной модели в виде полинома (13.2), на основании которой был спланирован и проведен эксперимент

;

.

Аналогично, подставляем в формулу (17.2) средние значения функции отклика и соответствующие им безразмерные значения факторов (или их взаимодействий), получаем:

После вычисления коэффициентов предполагаемой модели исследуемого процесса, оцениваем их значимость с помощью критерия Стьюдента, предварительно рассчитав значение - параметра по формуле (16.13) для каждого коэффициента и соответствующей ему дисперсии ошибки определения этого коэффициента. Учитывая ортогональность матрицы планирования ПФЭ, приведенной в табл.14.1 дисперсия ошибок каждого из коэффициентов будет одной и той же, определяемой по (16.14). Для вычисления дисперсии ошибки, предварительно нужно определить дисперсию воспроизводимости эксперимента (среднее значение всех оставшихся после проверки на воспроизводимость эксперимента дисперсий функции отклика в параллельных опытах – столбец 14 табл.14.1) по формуле (16.15):

Тогда дисперсия ошибок определения коэффициентов полинома (13.2), в нашем случае, будет равна

Теперь имеется возможность подсчитать -параметр для каждого коэффициента полинома (13.2):

Подставляя в числитель выражения (16.13) абсолютное значение оцениваемого коэффициента, получаем соответствующее значение -параметра:

Определим критичное значение -параметра по табл. 1 приложения 1 для и =1,86.

Из сравнения найденного значения с соответствующими значениями - параметров, можно утверждать с уверенностью в нашей правоте в 9 случаях из 10, что коэффициенты являются незначительными. В этом случае эффектом взаимодействия учитываемых в эксперименте факторов можно пренебречь и уточненная имитационная модель, описывающая исследуемый процесс, примет вид:

. (17.5)

Из приведенной математической модели (17.5) видно, что самое большое влияние на функцию отклика оказывает третий фактор (температура термообработки резистивных пленок), в то время, как увеличение двух других факторов в два раза меньше.

После уточнения вида имитационной модели необходимо проверить ее на адекватность исследуемому процессу. Учитывая, что аппроксимирующий полином (17.5) содержит четыре члена , дисперсия адекватности, в соответствии с (17.4), будет иметь следующий вид:

. (17.6)

Как видно из (17.6), для расчета дисперсии адекватности первоначально необходимо определить теоретические значения функции отклика , для каждого условия проведения опыта, соответствующего конкретному его номеру .

Теоретические значения функции отклика определяются из (17.5) подстановкой безразмерных значений соответствующих факторов , для каждого номера опыта.

Так, для условий эксперимента, соответствующих опыту №1, как видно из

табл. 14.1, значения факторов будут:

Тогда теоретическое значение функции отклика для этих условий проведения опыта, в соответствии с (17.5), будет равно

Аналогично, для последующих номеров опыта имеем

Рассчитанные таким образом теоретические значения функции отклика заносятся в столбец 15 табл.14.1, который примет следующий вид:

Номер опыта		Номер опыта
1	15	1	15
1 2 3 4	2,55 2,35 2,35 2,15	5 6 7 8	2,15 1,95 1,95 1,95

Сравнивая теоретические значения функции отклика с ее экспериментальными средними значениями приведенными в столбце 13 табл.14.1, можно подсчитать дисперсию адекватности

Таким образом, дисперсия адекватности меньше дисперсии воспроизводимости эксперимента , что свидетельствует об адекватности модели (17.5) исследуемому процессу, и она может быть использована для его оптимизации путем шагового движения к экстремуму. Если бы , то следовало бы воспользоваться - критерием.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адлер Ю.П. и др. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука. 1971. 283 с.

2. Блохин В.Г. и др. Современный эксперимент: подготовка, проведение, анализ результатов. Под ред. Грудкина О.П. М.: Радио и связь. 1997. 232 с.

3. Букеткин Б. В. И др.; Под ред. Вафина Р.К. Экспепиментальная механика. М.: Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана. 2004. 136 с.

4. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2000. 480 с.

5. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2000. 383 с.

6. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы планирования эксперимента. М.: Мир, 1981. 520 с.

7. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных. М.: Мир, 1981. 610 с.

8. Сухарев И.П. Экспериментальные методы исследования деформаций и прочности. М.: Машиностроение.1987. 216 с.

9. Шенк Х. Теория инженерного эксперимента. М.: Мир. 1972. 382 с.

110