- •1. Введение в механику сплошной среды
- •1.1. Предмет и метод механики сплошной среды
- •1.2. Плотность распределения гидромеханических характеристик в сплошной среде
- •1.3. Физические свойства жидкостей и газов
- •2. Статика текучего тела (гидростатика)
- •2.1. Гидростатическое давление
- •2.2. Дифференциальные уравнения равновесия текучего тела (уравнения эйлера)
- •2.3. Интегрирование уравнений эйлера
- •2.4. Способы измерения гидростатического давления
- •3. Кинематика сплошной среды
- •3.1. Движение точки с позиций теоретической механики
- •3.2. Методы описания движения сплошной среды
- •3.3. Поток гидромеханической характеристики через поверхность
- •3.4. Гидромеханическая интерпретация теоремы остроградского гаусса
- •3.5. Циркуляция скорости. Вихрь вектора скорости
- •3.6. Поля в гидродинамике
- •3.6.1.Операции над тензорами
- •4. Напряжения и деформации в твёрдых средах
- •4.1. Силы, действующие на текучее тело
- •4.2. Напряжённое состояние в точке сплошной среды. Тензор напряжений
- •4.3. Элементарные деформации. Коэффициент пуассона
- •Напряжений, действующих на грани кубика
- •5.2. Напряжения и деформации в твёрдых средах с точки зрения геодинамики
- •5.3. Упругие деформации
- •5.3.1.Соотношения линейной теории упругости
- •Одноосного сжатия
- •6. Основы гидродинамики
- •6.1. Основные положения
- •Закон сохранения массы;
- •6.2.Закон сохранения массы
- •6.3. Закон изменения количества движения
- •6.4. Закон изменения момента количества движения
- •6.5. Закон изменения кинетической энергии
- •6.6. Закон сохранения энергии для контрольного объёма сплошной среды
- •6.7. Уравнения движения и равновесия
- •7. Теоретические основы решения одномерных задач
- •7.1. Основные термины и понятия
- •7.2. Уравнение бернулли для установившегося напорного потока вязкой жидкости
- •7.3. Геометрическая и энергетическая интерпретации слагаемых, входящих в уравнение бернулли
- •7.4. Потенциальный и полный (гидродинамический) напоры. Пъезометрическая и напорная линии
- •8. Основы реологии
- •8.1. Уравнения состояния идеальных и реальных жидкостей
- •8.2. Моделирование движения сложных сред
- •8.2.1. Течение ньютоновской жидкости в круглой трубе
- •8.2.2. Неньютоновские жидкости
- •8.2.3.Механические модели неньютоновских сред
- •9. Движение жидкостей и газов в пористой среде
- •9.1.Основные понятия
- •9.2.Определение эффективного диаметра
- •9.3.Формулы фильтрации
- •10. Базовые задачи гидродинамики, используемые в нефтегазовой отрасли
- •10.1. Постановка задач
- •10.2. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале
- •10.3. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в кольцевом канале
5.3. Упругие деформации
Упругими деформациями называются такие, которые после снятия приложенных напряжений исчезают. Материалы, в которых при данных напряжениях возникают упругие деформации, называются упругими материалами. Почти все твёрдые тела (горные породы) при относительно низких температурах и давлениях и не слишком высоких напряжениях являются упругими. Упругие деформации в твёрдых телах прямо пропорциональны приложенным напряжениям. Изотропными материалами называются такие, у которых упругие свойства не зависят от направления. При высоких уровнях напряжений и температур в породах проявляются отклонения от упругого поведения. При низких температурах и всесторонних давлениях породы проявляют хрупкие свойства и при значительных девиаторных напряжениях разрушаются. В недрах Земли, где всестороннее давление растёт с глубиной и когда оно достигает предела хрупкого разрушения, в породе возникают пластические деформации. Пластическими называют непрерывные, необратимые деформации, происходящие без разрушения. При этом, после того как действие силы, вызывающей пластическую деформацию, прекращается, деформация частично сохраняется (не исчезает полностью).
5.3.1.Соотношения линейной теории упругости
Упругая твёрдая среда называется линейной и изотропной в том случае, если напряжения в ней линейно связаны с деформациями, а механические свойства среды не зависят от направления. В такой среде главные оси напряжений и деформаций совпадают. Связь между напряжениями и деформациями удобно записать в системе координат, связанной с главными осями:
, (5.3.1)
(5.3.2)
(5.3.3)
где упругие модули и G (модуль сдвига) называются параметрами Ламе. Свойства среды таковы, что от действия компонент деформации возникает напряжение G) в том же направлении и напряжения в других взаимно перпендикулярных направлениях:
, (5.3.4)
, (5.3.5)
, (5.3.6)
где Е (модуль Юнга, меняется для горных пород в пределах 10100 ГПа) и (коэффициент Пуассона, меняется в пределах 0.10.4) материальные параметры среды. Главная компонента напряжения создаёт деформацию в направлении своего действия и деформации в двух других взаимно перпендикулярных направлениях. Упругие свойства среды характеризуют, задавая и G или и . Эти параметры не являются независимыми.
Одноосное напряжённое состояние. В этом случае отлично от нуля только одно главное напряжение, например, . = = 0 , тогда
. (5.3.7)
Рис. 5.6. Деформация
под действиемОдноосного сжатия
Отсюда видно, что напряжение
вызывает не только деформацию
в направлении своего действия, но и
деформации в перпендикулярных направлениях
и .
Если
напряжение сжатия, то
укорочение, а
и
удлинения и наоборот.
Эти деформации показаны на рис. 5.6, где элемент xyz стал короче в направлении оси y, но толще в направлении осей х и z. В соответствии с равенствами (5.3.4) (5.3.6)мы можем написать
(5.3.8)
Сравнивая это равенство с (5.3.7), получаем
. (5.3.9)
Из (5.3.1) и (5.3.7)находим
, (5.3.10)
совместно с (5.3.8) для модуля Юнга получаем
. (5.3.11)
С помощью (5.3.9) (5.3.11) выражаем и G через и :
, (5.3.12)
. (5.3.13)
В случае одноосного сжатия или растяжения соотношение (5.3.8) превращается в закон Гука:
(5.3.14)
Линейно-упругое тело называется иначе Гуковским телом.
Относительное изменение объёма (дилатация ) определяется в этом случае выражением
(5.3.15)
Из формулы видно, что уменьшение объёма, происходящее за счёт сокращения размера в направлении действия напряжения, компенсируется увеличением объёма за счёт расширения в перпендикулярных направлениях. Из выражения (5.3.15) можно определить коэффициент Пуассона для несжимаемой среды, объём которой не меняется под действием приложенного напряжения. Чтобы это реализовать, при одноосном сжатии должно быть равно ½. Под действием одноосного сжатия несжимаемая среда сокращается в направлении приложенного напряжения и расширяется на величину, вдвое меньшую в каждом из перпендикулярных направлений.
Одноосная деформация. Состояние одноосной деформации характеризуется тем, что отличной от 0 является только одна главная компонента деформации, например, .Тогда (5.3.1) (5.3.3) дают
(5.3.16)
, (5.3.17)
а (5.3.4) (5.3.6) упрощаются следующим образом:
, (5.3.18) . (5.3.19)
Рис.
5.7. Плоское напряжённое состояние
, (5.3.20)
, (5.3.21)
. (5.3.22)
Плоская деформация. В этом случае равна нулю только одна главная деформация, например, 3 .
Рис.
10. Пример плоской деформации
G) ; 2 1 G2; 3 = (1 2.
Из равенства (5.3.6) следует 3 = 1 2 , что совместно с (5.3.7) и (5.3.9) даёт
.