13. Первообразная и неопределённый интеграл.

Понятие первообразной функции. Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа, его многочисленные приложения к геометрии, механике, физике и технике приводят к решению обратной задачи: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой была бы равна функции f(x), т.е. F(x) = f(x).

Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X , если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство

F(x) = f(x).

Пример. Функция F(x) = x³ является первообразной для функции f(x) = 3x² на всей прямой, ибо в каждой точке x (x³)′ = 3x².

Теорема. Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C, где C ­– произвольная постоянная.

Из теоремы следует, что множество функций F(x)+C, где F(x) ­– одна из первообразной для функций f(x), а C – произвольная постоянная, исчерпывает всё семейство первообразных функций для f(x).

Неопределённый интеграл.

Определение. Если функция F(x) – первообразная для функции f(x), то множество функций

F(x)+C, где C ­– произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом  f(x) dx = F(x)+C.

При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x) dx – подынтегральным выражением, а переменная x – переменной интегрирования.

Символ  f(x) dx обозначает, таким образом, совокупность всех первообразных для функции f(x).

Восстановление функции по её производной или, что то же, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Пример. Проверить, что  3x² dx = x³ + C.

Решение. Дифференцируя результат интегрирования (x³ + C) ′ = 3x², получаем подынтегральную функцию. Следовательно, интегрирование выполнено верно.

14. Основные методы интегрирования.

15. Определённый интеграл.

Определение определённого интеграла. Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a, b], a < b. Разобьём этот отрезок на n произвольных частей точками

a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_i-1 < x_i < … < x_n = b.

Обозначим это разбитие через τ, а точки x₀, x₁, …, x_n будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков [x_i-1, x_i] выберем произвольную точку ξ_i (x_i-1 ≤ ξ_i ≤ x_i). Через Δx_i обозначим разность x_i – x_i-1, которую будем называть длиной частичного отрезка [x_i-1, x_i].

Составим сумму: , (1) которую назовём интегральной суммой для функции f (x) на [a, b], соответствующей данному разбиению [a, b] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек ξ₁. Геометрический смысл суммы σ очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями Δx₁, Δx₂, …, Δx_n и высотами f (ξ₁), f (ξ₂), …, f (ξ_n), если f (x) ≥ 0.

Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка разбиения .

Определение. Если существует конечный предел I интегральной суммы (1) при λ → 0, то этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом

(2)

или

.

В этом случае функция f (x) называется интегрируемой на [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования.

Для интегрируемости функции достаточно её непрерывности на отрезке [a, b] (теорема о существовании определённого интеграла).

Из определения определённого интеграла следует, что величина интеграла (2) зависит только от вида функций f (x) и от чисел a и b. Следовательно, если заданы f (x) и пределы интегрирования, то интеграл (2) определяется однозначно и представляет собой некоторое число.

Пример. Используя определение, вычислить интеграл , где C – некоторое число.

Решение. Разобьём отрезок [a, b] на n произвольных частей точками a = x₀ < x₁ < x₂ < … <x_i-1 < x_i < … < x_n = b и составим соответствующую интегральную сумму (1). Так как подынтегральная функция f (x) = C постоянна, то для любого выбора промежуточных точек _i получим интегральную сумму вида

Далее имеем

.

Видим, что интегральная сумма для данной функции не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек _i и равна C (b – a). Следовательно, и её предел при равен той же величине.

Таким образом, по определению,