Кездейсоқ қателіктер қасиеттері

Көптеген жылдар бойы жүргізілген ғыльми зеріттемелер тәжірибелік нәтижелердің қорытындыларына тоқталатын болсақ, онда жоғарыда аталған кездейсоқ қателіктердің белгілі бір заңдылықтарға жинақталатынына көз жеткізуге болады.

Сонда, кездейсоқ қателіктердің негізгі қасиеттерін келесі мазмұндарда тұжырымдай аламыз:

• берілген шарттарға сәйкес анықталатын өлшемдерге қатысты, кездейсоқ қателіктердің, абсолюттік шамасы, белгілі бір шектік мәннен аспайды;

• абсолюттік шамада болатын, он немесе теріс үлкен мәнді қателіктерге карағанда, аз мәнді қателіктердің барлығы да тең мүмкіндіктерде болып, нақты өлшемдер нәтижесінде жиі кездесіп отырады;

• белгілі бір өлшеу жұмысында өлшемдер жинағындағы кездейсоқ қателіктердің арифметикалық ортасы, сол өлшем жұмыстарын шексіз санды қайталап өлшеу ба­рысында нольге азая түседі.

Енді, осы кездейсоқ қателіктер қасиеттерін әрдайым ескере отырып, оның соңғысын математикалық түрде жазуға болады.

Егер

Δ₁, Δ₂, Δ₃,....

белгілеулері, n санды өлшеу жұмыстарының әрқайсысындағы кездейсоқ қателіктер сан мәнін сипаттайтын болса, онда

= (9)

түрінде жазылатын математикалык шек формуласымен өрнектеп жазып, ондағы қосындының өрнегін

Δ₁+Δ₂+Δ₃+….+ Δ_n =[Δ_i] (10)

кейбір есептеулерде қажет болатындықтан бөлек жазамыз.

Басқа сөзбен қорытындылай айтқанда, жоғарыда жазылған формула (9), кездейсоқ қателіктер қасиеттері үшінші қасиетінің математикалық түрдегі жазылуы болып табылады.

Қателіктер теориясының мәні және түсініктері

Өлшемдер қателіктері немесе қателіктер теориясы туралы сөз болғанда, сол белгілі болған өлшемдер жиынына қатысты, алуан түрлі есептер шығарып, нақты тұжырымдар жасауға болады.

Сонда, осы бағыттағы геодезиялық өлшеулерге қатысты орынды болатын есептеулерді:

• зерттеу жұмыстарының есептеулеріндегі белгісіздер өлшем бірліктерінің жуық мәндеріне қатысты олардың дәл мәндерін анықтау;

• белгісіздер мәндерінің дәлдігі және олардың нақтылығы туралы бағалаулар;

• өлшеулер нәтижесіндегі жеке шамалардың нақты мәндерінің дәлдігін бағалау, атауларын айта отырып кажетті жағдайларда орынды есептеулер жүргізе аламыз.

Енді, осы аталған геодезиялық бағыттағы есептеулер неге бөлініп алынып отыр деген сұрақ туатын болса, онда қандай да болмасын қайталаусыз анықтаған бір ғана өлшем нәтижесімен қателіктерді анықтап, олардың бар болуына қандай себептер әсер өтетінін ешқашан да айта алмаймыз деп жауап берер едік.

Cонда осы айтылып отырған тұжырымдарға сәйкес, қайталамалы өлшеулер жиыны, нақты дәлдіктердегі өлшем бірліктерді білдіретін ықтималдықты мән болып сипатталады.

Дегенмен де осы аталып отырған ықтималдықтың мәннің, жеке өлшеп алынған мән сенімділігіне қатысты сұрақтары болуы мүмкін. Егер ондай сұрақтар болатын болса, онда міндетті түрде, кездейсоқ қателіктер қасиеттерін пайдаланған жөн.

Енді, жоғарыда жазылған формула (9) бойынша берілген геодезиялық өлшем жұмыстарын қайталап өлшеу нәтижелерінің жиынының сенімді болатынын ескере отырып, жергілікті аудан бөліктерінің нақтылы өлшемі X белгілеуінде берілген деп қарастыралық.

Келесі жағдайда, n рет қайталанған өзара тең дәлдіктердегі жеке өлшемдерді l_i белгілеп аламыз. Сонда осы аталып отырған тең дәлдіктердегі өлшемдер дегеніміз, бір түрдегі аспап және приборлар қолданылуына сәйкес бірдей шарттардың тең тәжірибелі мамандардың көмегімен анықталған өлшемдер жиыны болатынын ескерте отырып,

l₁—х = Δ₁

l₂—х = Δ₂

_{-----------------}

l_n—х = Δ_n

шарттарын жаза аламыз.

Енді, осы теңдіктерді сәйкестікте косып

l₁+l₂+l₃+….+ l_n-nX=Δ₁+Δ₂+Δ₃+….+ Δ_n

жоғарыда жазылған өрнекті (10) ескерсек

X

формуласы анықталады.

Сонда өлшемдер саны n шексіз үлкен сан болған жағдайда

шарты орындалады да,

X =

формуласы белгілі болады.

Қорыта айтқанда, өлшемдер санының n шексіз өлшеулер нәтижесіне қатысты арифметикалық орта мәнінің шегі осы нақтылы өлшемдегі жергілікті ауданның өлшем бірлігін X анықтайды.

ТЕҢ ДӘЛДІКТЕР ДЕП ӨЛШЕМДЕР БАҒАЛАУЫНДА ҚОЛДАНЫЛАТЫН САНДЫҚ СИПАТТАМАЛАР

Қандай да болмасын, геодезиялық өлшеу жұмыстарын жүргізу барысында, жоғарыда жазылған формуламен n>1 шартына сәйкес, бірдей дәлдіктерде өлшенген өлшемдердің арифмети­калық ортасы сенімді нәтиже болады деп айта аламыз.

Енді, осы бағытта жинақталған өлшемдер нәтижесіне тоқтала отырып, олардың жеке өлшемдер нәтижелеріндегі дәлдік және сенімділік, арифметикалык орта мәнінің дәлдігі қолданылуларында болатын санды сипаттамаларды қарастыралық.

Сонда, жеке өлшеніп анықталған өлшемдер нәтижелерінің қателіктерін бағалау, қателіктер теориясында өлшем қателіктерінің абсолюттік мәндері қосындысына қатысты есептелініп, арифметикалық орта атауында болатын қателіктер орта мәні

= (13)

немесе Гаусс, қорытып шығарып, ұсынған қателіктер квадраттарының орта мәнінің

m= = (14)

формулалары бойынша анықталады деп айтуымызға болады.

Бұл жағдайда, осы аталып отырған әдістердің әрқайсысына бөлек-бөлек тоқталып салыстырсақ, онда орташа квадраттық қателік мәні ОКҚ атауы, қателіктер орта мәні атауы­на қарағанда, жоғарғы дәлдіктерде болатынын байқаймыз.

Біріншіден, өлшемдер жиынындағы, үлкен абсолюттік шамада болатын, қателік бірлігінің мәні, орташа квадраттық қателік мәні ОКҚ шамасына үлкен әсер өтеді.

Екіншіден, орташа квадраттық қателік мәні ОКҚ, аз санды қайталамалы өлшеулердегі өлшемдер қателіктерін өте жоғарғы дәлдікте анықтайды.

Енді, осы айтылған тұжырымдар бойынша, нақты өлшемдерге қатысты, белгілі болған өлшеулер қателіктерінің мәндері берілсін делік:

Бірінші қатар: 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13;

Екінші катар: 3, 4, 5, 8, 10, 15, 18

Егер осы өлшемдер қатарларының арифметикалык орта мәнін есептесек

Θ₁= θ₂ = =9,

яғни, олар өзара тең шамалар.

Ал, олардың орташа квадраттық қателік мәні

m₁= ± = ±9,4

m₂= ± = ±10,4

яғни, т₂>т₁ шарты анықталады.

Басқа сөзбен айтқанда, мұндай теңсіздік пайда болуы, өлшеулер қателіктерінің екінші қатарындағы үлкен мәнді 15 және 18 өлшем бірліктерінің бар болуына сәйкес келеді де, орташа квадраттық қателік орта мәні ОКҚ өлшемдер дәлдігін өте жоғарғы бағалауда сипаттайды деп айта аламыз.

Дегенмен, жоғарыда келтірілген Гаусс формуласы (14) қарастырылып отырған шаманың X дәл өлшемі белгілі болған жағдайдағы, негізінен, оның жеке өлшем нәтижесін бағалау үшін қолданылатынын ескерте отырып, мұндай шарттың нақты есептеулерде өте сирек кездесетінін айтуға болады.

Осыған орай, бірден бірлікте болып, өлшеулер нәтижелеріндегі өлшемдер қателіктерінің мәнін арифметикалық орта атауына қатысты бағалау орынды болып табылады.

Мысалы, осы атауды қолдана отырып, Бессель өзінің өлшеулер жұмыстарындағы өлшемдер нәтижелерін, осы өлшемдердің нақты мәндерінің қателіктер квадраттары орта мәнінің ауытқуына қатыссыз, оның арифметикалық орта мәніне сәйкес анықталатын формуласын

M = (15)

қорытып шығарды. Мұндағы: ν_і = l_i-x,

l_i — берілген шаманың қайталамалы жеке өлшемдері,

x — өлшемдер жиынының арифметикалық ортасы.

Енді, осы жазылған формулаға (15) тоқтала отырып, накқты өлшем бірлігі белгілі болмай немесе бір ғана өлшеу жүргізілген болса, онда өлшемдер нәтижесінің дәлдігін бағалау мүмкін емес екені анықталады.

Міне, осындай тұжырымдардан кейін, сызықтық өлшемдер дәлдігін бағалау белгісі ретінде, салыстырмалы қателіктер тү­сінігін еңгізуге болады. Салыстырмалы қателіктер дегеніміз қарастырып отырған шама мәнінің оның абсолют қателігіне қатынасы.

Сонда, сандар қатынасы бөлшек сан болатындықтан, бөлшектің алымына абсолюттік қателік мәні жазылып, ал оның бөліміне берілген шаманың өлшем бірлігі жазылады.

Мысалы, белгілі бір шаманың абсолют қателігі m_е = ±0,2м, ал, сол шаманың нақты өлшемі l=300м бірліктерінде болатын болса, онда салыстырмалы қателікті есептеп шығаруымызға болады:

^{= =}

Егер, өлшемдер жиынының нәтижесіндегі қателіктер квад­раттарының орта мәнін m, ал, жүргізілген өлшеулер санын п белгілеулерінде алып қарастырсақ, онда арифметикалық орта атауының сенімділік және дәлдік бағалауын

M = (16)

формуласы бойынша анықтауға болатынын айта аламыз.

Бұл жағдайда, жоғарыда айтылғандарды қорытындылай келіп, барлық қарастырып отырған зерттемелеріміз нақты өлшеулердегі өлшем жиындары нәтижелерінің қателіктер дәлдігін бағалауға бағытталғандығын байқаймыз. Бірақ, мұндай шарттарсыз қосалқы өлшемдерді де пайдалана отырып қажетті белгісізді табуға болатын жағдайлар кездеседі. Мысалы, өлшеп алынған радиус бірлігіне қатысты, шеңбер ұзындығымен оның ауданын есептеп шығара аламыз.

Сонда, өлшеніп алынған шамамен қарастырып отырған формулаға қатысты қателіктер квадраттарының орта мәнін табуға бола ма деген сұрақ туады.

Қойылған сұраққа жауап табу үшін,

Y = kx, (17)

түрінде анықталған сызықтық функция берілсін делік. Егер функция аргументі х оған сәйкес Ах есімшесін алатын болса, онда функция есімшесі Ду белгілеуінде болады да, жазылған формуланы (17) келесі түрде

y + y = k(x+Δx), (18)

түрлендіріп жаза аламыз. Содан кейін, осы жазылған (17) және (18) формулаларының айырмасы үшін

y = kΔx,

өрнегін анықтап, функция және аргумент атауларының нақты қателіктері арасындағы функционалдық тәуелділік формуласы белгілі болады.

Енді, қателіктер квадраттарының ортасын анықтау барысында қайталамалы өлшеулер нәтижелерінде анықталатын

y₁=kΔx₁, y₂=kΔx_2, .. ., y_n=kΔx_n

өрнектерін жазып, олардың екі жағын да квадраттап, сәйкестікте қосқаннан кейін, жоғарыда жазылған (14) формуласы бойынша

= ²= =k² =k²m²_x (19)

немесе

m_y= km_y,

формуласы қорытылып шығарылады.

Жалпы жағдайда, қателіктер квадраттарының ортасы мәнін анықтау қажет болса, n санды айнымалыларға тәуелді болып келетін

y= f(x₁x₂,x₃,...,x_n), (20)

функциясы берілсін делік.

Егер функция айнымалылары немесе аргументтерінің х„, сәйкестікте болатын қателіктері Δх болатын болса, онда көп айнымалы функция үшін

y+Δy=f(x_l+Ax_l, x²+Δx₂+...+х₂+ΔX_n),

өрнегін жазуға болады.

Сонда, өлшемдер іштеріндегі қателіктер өте шамалы бо­лады деп қарастыра отырып, соңғы жазылған өрнекте бірінші ретте туындылармен ғана шектеп Тейлор қатарын жазалық:

у+Δу=f(x₁+x₂+…+x_n)+ Δx₁+ x₂+…+ Δx_n, (21)

Яғни, соңғы жазылған (20) және (21) формулаларын бірге қарастырсақ:

Δy= Δx₁+ x₂+…+ Δx_n

формуласы анықталады.

Бұл формуладағы, бірінші ретті туындылар теңдіктеріне сәйкес анықталатын тұрақты шамалар болып табылады да, Δy өсімшесін, k_n коэффициенттеріне қатысты

Δy — ±.k₁Ax₁±k₂Ax₂±....±k_nAx_n,

түрінде қайталап жазуға болады.

Енді, осы айтылған тұжырымдарды ескере отырып, қателіктер квадраттарының орта мәнінің анықталу формуласын

m_y

немесе

m_y=

түрінде жазып, қажетті есептеулерде пайдалануымызға болады.

ТЕҢ ШАМАЛЫ ЖӘНЕ ҚАЙТАЛАМАЛЫ ӨЛШЕМДЕР ЖИЫНЫНЫҢ ЖАТТЫҒУЛАРЫ

Алдыңғы параграфтарда айтылып өткен тұжырымдарға, яғни қарастырып отырған шаманың қайталап өлшеу нәтижелеріндегі өлшемдер жиынының дәлдігін бағалау барысында бірнеше мысалдар қарастыралық.

Бірінші жаттығу.

Нақты өлшемі Х=130м бірлігінде болатын шаманың қайталамалы өлшеу нәтижелеріндегі өлшемдер жиыны

l₁= 129,80; l₂=130,20; l₃=129,90; l₄= 130,10,

бірліктерінде берілсін делік.

Осы өлшемдер жиынына қатысты өлшеулер дәлдігін бағалау қажет.

ШЕШУІ:Қарастырып отырған шаманың нақты өлшемінің берілуіне қатысты Гаусстың қателіктер квадраттарының орта мәнінің формуласы бойынша

m = ,

анықталатынын айтуға болады. Бұл жағдайда, ізделініп отырған бағалау дәлдігі, жеке өлшем нәтижелеріндегі белгілілік бағалауларға сәйкес,

Δ₁=129,80—130 = —0,2 м

Δ₂== 130,20—130= 0,2 м

Δз= 129,90—130 = —0,1 м

Δ₄= 130,20—130= 0,2 м

шамалары есептеліп шығарылғаннан кейін, Гаусс формуласына орала отырып

m= ± ≈ ±0,18 м,

қажетті өлшеу жұмысындағы әрбір өлшем, 0,18 м бірлігіне сәйкес келетін қателікпен жүргізілгенін анықтаймыз.

Е кі нш і ж атт ығ у.

Нақты өлшемі белгісіз болатын шаманың, қайталамалы өлшеу нәтижелеріндегі өлшемдер жиыны

l₁= 130,5; l₂= 130,2; l₃= 130,6; l₄ = 130,3; l₅ = 130,4,

бірліктерінде берілген.

Осы өлшемдер жиынының өлшеулердегі дәлдігін бағалай отырып, оның ықтималдықты мәнін анықтау қажет.

Ш Е Ш У I. Есептің шартына сәйкес, берілген өлшемдер нәтижелері бойынша, олардың арифметикалық ортасын есептеп шығарамыз

x= =130,4.

Сонан соң, Бессель формуласын пайдадануымызға болады. Ол үшін алдымен

ν₁=130,5-130,4=+0,1

ν₂=130,2-130,4=+0,2

ν₃=130,6-130,4=+0,2

ν₄=130,3-130,4=-0,1

ν₅=130,4-130,4= 0,0

шамалары есептелініп, қателіктер квадраттарының ортасының мәні Бессель формуласы бойынша

m= = 0,16,

есептеліп шығарылады.

Сонымен қатар, арифметикалык орта мәнінің жеке өлшем мәндері жиынына катысты қателіктер квадраттарының opтақ мәні де

M= = =±0,23,

белгілі болып, ізделінді дәлдік бағалаулардың сан мәндері анықталады.

Үшінші жаттығу.

Тікбұрышты аудан қабырғаларының өлшемдері өлшеулер нәтижесінде а=200м, b=750м мәндерінде белгілі болып, әрбір өлшемдегі қателіктер сәйкес түрде m_а=0,13м, m_b=0,5м бірліктерінде болатын болса, осы тікбұрышты ауданның S=abформуласымен анықталудағы қателіктер квадраттары­ның орта мәнді ауытқуын есептеп шығару қажет.

ШЕШУI.

Бұл жағдайда, есептің берілулерімен жоғарыда жазылған формуланы (22) пайдалана отырып есептеп шығара аламыз

m_s= = = =140м²