2. Математическая база предпочтительных чисел

Предпочтительные числа образуют ряды чисел, которые подчиняются строго определенной математической закономерности. Наиболее целесообразно в качестве математической закономерности использовать арифметические или геометрические прогрессии.

Арифметические прогрессии весьма просты. В них разность между двумя соседними членами остается постоянной во всем диапазоне.

Nn – Nn-1 = d (1),

где Nn и Nn-1 — значения рядом стоящих членов ряда;

d — разность прогрессии.

Однако арифметические прогрессии имеют существенный недостаток: относительную неравномерность. При постоянной абсолютной разности относительная разность между членами ряда резко уменьшается. Так, относительная разность между членами арифметической прогрессии 1—2—3—4.. .9 – 10...99—100 для чисел 1—2 составляет 100%, для 9—10 составляет 11%, а для чисел 99—100 всего 1%. Если такую прогрессию использовать для построения параметрических рядов, то это приведет к относительному сгущению рядов по мере роста членов ряда. В конечном итоге увеличится количество больших значений параметров по сравнению с количеством малых значений.

Ряды, построенные по арифметической прогрессии, в стандартизации используют редко, однако такие стандарты есть. Например, стандарты на диаметры подшипников, на размеры обуви, одежды и др.

Для того, чтобы частично устранить относительную неравномерность рядов используют для построения рядов предпочтительных чисел ступенчато—арифметическую прогрессию. Для нее характерно, что разность двух соседних членов ряда постоянна не для всего ряда, а только для определенной его части.

Ступенчато—арифметические прогрессии применимы, например, в стандартах на размеры болтов, винтов, шпилек, классов точности приборов, оптической силы очковых линз.

Специальные исследования показали, что наиболее удобны для стандартизации геометрические прогрессии.

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой отношение двух соседних членов величина постоянная.

g = Nn / Nn-1 (2),

где Nn и Nn-1 — значения рядом стоящих членов ряда;

g — знаменатель прогрессии.

Геометрические прогрессии имеют ряд полезных свойств, успешно используемых в стандартизации. Назовем основные из к них:

1) относительная разность между любыми соседними членами ряда постоянна, следовательно, геометрическая прогрессия равномерна;

2) произведение или частное любых членов прогрессии является членом той же прогрессии. Это свойство используется при увязке между собой стандартизуемых параметров в пределах одного ряда предпочтительных чисел.

Однако на базе геометрических прогрессий можно построить бесконечное множество рядов чисел с различимыми знаменателями. Из них нужно выбрать такие, которые будут иметь преимущества перед остальными. Оказывается, что более всего отвечают требованиям стандартизации геометрические прогрессии, включающие единицу имеющие знаменатель вида g = , где R — целое число. Как увидим дальше, для системы предпочтительных чисел отобраны показатели степени 5; 10; 20; 40; 80; 160.