Билет 27

Равномерная непрерывность функции.

Определение непрерывности, точки разрыва функции.

Определение 1:

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если f(x) = f(а)

Примеры:

f(x) = sin x непрерывна в точке х =0 , так как sin x = 0, и sin 0 = 0, то есть sin x = sin 0.

Рациональная функция f(x) = непрерывна в любой точке а, в которой (а)  0,

так как было доказано, что = ( (а)  0). Замечаение:

Так как х = а, то условие непрерывности функции можно записать в виде

f(x) = f( x). Таким образом, непрерывность f(x) в точке а означает, что символы и f можно менять местами.

Определение 2.

f(x) называетмя непрерывной в точке а, если   > 0   > 0: | f(x) - f(а) | <  при | х - а | < .

Пусть f(x) непрерывна в точке а и f(а) > 0. Возьмём  = f(a). По определнию 2

  > 0: | f(x) - f(a) | < f(а) при | х - а | < , то есть - f(a) < f(x) - f(a) < f(a) в - окрестности точки а.

Из последнего неравенства следует, что f(x) > 0 в - окрестности точки а.

Итак, если f(x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а. Это свойство называется устойчивостью знака непрерывной функции.

Пусть f(x) определена на [a, a + ). Функция f(x) называется непрерывной в точке а справа, если f(x) = f(а). (то есть f(а + 0) = f(а)).

Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.

Пример:

f(x) = [x].

 целого n: f(n - 0) = n - 1, f(n + 0) = n, f(n) = n, то есть, f(n + 0) = f(n)  f(n - 0).

Следовательно , в целочисленных точках эта функция непрерывна только справа. В остальных точках- и справа и слева.

Теорема

Если f(x) непрерывна в точке а справа и слева, то она непрерывна в точке а.

Доказательство:

По условию f(а + 0) = f(а) и f(а - 0) = f(а).

Отсюда по теореме 2.1 следует, что  f(x) = f(а), а это и означает, что f(x) непрерывна в точке а. Теорема доказана.

2. Если ф-ция f(x) дифференцируема в точке x₀, то f(x)-непрерывна в точке x₀.

3. Ф-ция f(x) -непрерывна в точке x₀, если lim(f(x))=f(x₀), при x→x₀

+Арифм действия с ф-циями связаны с пределами ф-ций, равными A и B

(Кантора). Непрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на этом сегменте.

Билет 28

Геометрический смысл производной.

Определение

Касательной к графику функции называется предельное положение секущей при стремлении точки к точке вдоль графика(при этом стремится нулю).

Предположим, что кривая имеет в точке касательную. Очевидно, .

Имеем право перейти к пределу при ,т.к. предположили, что кривая имеет касательную

или, в силу непрерывности функции

Таким образом, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной проведённой к графику функции в точке .

Запишем уравнение касательной .

Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой с угловым коэффициентом k через точку имеет вид

для касательной будем, следовательно, иметь уравнение (T)

В частности, если то касательная имеет уравнение , т.е. горизонталь.

Заметим, что если производная функции в точке бесконечная, то касательная к её графику в точке М вертикальна и имеет уравнение .

Нормалью к графику функции в точке х₀ называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной (Т).

Следовательно, уравнение касательной имеет вид:

- уравнение нормали (N)