9. Основные предположения регрессионного анализа.

В регрессионном анализе зависимость Y от X может быть представлена в виде модельного уравнения регрессии (3.1). В силу воздействия неучтенных случайных факторов и причин отдельные наблюдения переменной У будут в большей или меньшей мере отклоняться от функции регрессии 𝜑(х). В этом случае уравнение взаимосвязи двух переменных (парная регрессионная модель) может быть представлено в виде: , где ℰ — случайная переменная (случайный член), характеризующая отклонение от функции регрессии. Эту переменную будем называть возмущающей или просто возмущением (либо ошибкой). Таким образом, в регрессионной модели зависимая переменная Y есть некоторая функция 𝜑(X) с точностью до случайного возмущения ℰ. Рассмотрим линейный регрессионный анализ, для которого функции 𝜑(X) линейна относительно оцениваемых параметров: . (3.21). Предположим, что для оценки параметров линейной функции регрессии (3.21) взята выборка, содержащая п пар значений переменных (x_i,y_i), где i=1,2,..., п. В этом случае линейная парная регрессионная модель имеет вид: . (3.22).

Основные предпосылки регрессионного анализа.

1. В модели (3.22) возмущение ℰ_i (или зависимая переменная у_i) есть величина случайная, а объясняющая переменная х_i — величина mнеслучайная.

2. Математическое ожидание возмущения ℰ_i равно нулю: M(ℰ_i)=0 (3.23) (или математическое ожидание зависимой переменной y_i равно линейной функции регрессии: .

3. Дисперсия возмущения ℰ_i (или зависимой переменной у_i )постоянна для любого i: (3.24) (или — условие гомоскедастичности или равноизменчивости возмущения (зависимой переменной)).

4. Возмущения ℰ_i и ℰ_j (или переменные y_i и y_j) не коррелированы M(ℰ_i ℰ_j)=0(i≠j). (3.25)

5. Возмущение ℰ_i (или зависимая переменная у_i) есть нормально распределенная случайная величина. В этом случае модель (3.22) называется классической нормальной линейной регрессионной моделью.

Для получения уравненртя регрессии достаточно предпосылок 1—4. Требование выполнения предпосылки 5 (т. е. рассмотрение «нормальной регрессии») необходимо для оценки точности уравнения регрессии и его параметров.

Оценкой модели (3.22) по выборке является уравнение регрессии ŷ = b₀ + b₁ (3.3). Параметры этого уравнения b₀ и b₁ определяются на основе метода наименьших квадратов.

Воздействие неучтенных случайных факторов и ошибок наблюдений в модели (3.22) определяется с помощью дисперсии возмущений (ошибок) или остаточной дисперсии 𝜎². Несмещенной оценкой этой дисперсии является выборочная остаточная дисперсия.

10. Оценка значимости уравнения регрессии.

Проверить значимость уравнения регрессии — значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Проверка значимости уравнения регрессии производится на основе дисперсионного анализа.

Основная идея дисперсионного анализа: Q=Q_R+Q_e, (3.41) где Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной

от средней , Q_R и Q_e — соответственно сумма квадратов, обусловленная регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов

Схема дисперсионного анализа :

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Регрессия		m-1
Остаточная		n-m
Общая		n-1

Средние квадраты S_R² и S² представляют собой несмещенные оценки дисперсий зависимой переменной, обусловленных соответственно регрессий или объясняющей переменной X и воздействием неучтенных случайных факторов и ошибок; т — число оцениваемых параметров уравнения регрессии; п — число наблюдений.