- •1.Основные понятия теории вероятности.
- •2.Случайное событие, операции над событиями.
- •3.Основные аксиомы теории вероятности, непосредственный подсчет вероятности
- •4. Классическое и геометрическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •5. Основные комбинаторные формулы. Виды выборок.
- •6. Сумма событий. Теоремы сложения вероятностей.
- •8. Зависимые и независимые событий. Вероятность безотказной работы сети.
- •10. Схема испытаний Бернулли. Теорема о повторении опытов.
- •11. Предельные теоремы в схеме испытаний Бернулли
- •12. Случайные величины. Типы величин. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •13. Функция распределения случайных величин и её свойства
- •14. Плотность распределения непрерывной случайной величины и её свойства
- •15. Числовые характеристики одномерной случайной величины. Математическое ожидание и его свойства.
- •16. Числовые характеристики одномерной случайной величины. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
- •18. Типовые законы распределения дискретной случайной величины.
- •21.Числовые характеристики функции случайного аргумента
- •28.Многомерные случайные величины. Числовые характеристики многомерных случайных величин.
- •29. Закон больших чисел. Неравенства Чебышева.
- •30.Закон больших чисел. Сходимость по вероятности. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •31. Центральная предельная теорема.
- •32. Основные понятия математической статистики (выборка, вариационный ряд, гистограмма).
- •33. Выборочные характеристики. Состоятельность, эффективность и несмещенность оценок.
- •34. Точечные оценки числовых характеристик, их свойства.
- •37.38. Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал для вероятности и дисперсии . Доверительный интервал для математического ожидания и вероятности.
1.Основные понятия теории вероятности.
Теория вероятностей – раздел высшей математики, изучающий закономерности массовых случайных явлений.
Случайное явление – это явление, которое при неоднократности воспроизведения одного и того же опыта протекает каждый раз по-иному, непредсказуемым образом.
Опыт – воспроизводимая совокупность условий, в которых фиксируется тот или иной результат.
Случайное событие – всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. Обозначение: А, В, С, ….
Вероятность случайного события – количественная мера объективной возможности его осуществления.
2.Случайное событие, операции над событиями.
Случайное событие – всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. Обозначение: А, В, С, ….
Рассмотрим некоторый опыт. Каждый исход опыта обозначим элементарным событием
где n – число исходов данного опыта. Множество всех возможных исходов опыта образуют– универсальное множество опыта или пространство элементарных событий.
Тогда любое случайное событие А, возможное в данном подмножество универсального множества A∈ Ω : где m – число исходов, благоприятных событию A.
Событие А называется достоверным, если A =Ω, т.е. происходит в каждом опыте.
Событие А называется невозможным, если A =∅, т.е. никогда не происходит в данном опыте.
Противоположным к событию А называют событие ⎯А, состоящее в невыполнении А, т.е. оно происходит всегда, когда не происходит A.
Событие С называется суммой событий А и В, если оно происходит
тогда, когда происходит либо А, либо В, либо оба одновременно (хотя бы одно событие).
Событие С называется произведением событий А и В, если С происходит тогда, когда происходят и А и В одновременно.
События А и В несовместны, если они не могут произойти одновременно, т.е. А·В = ∅.
События образуютполную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие
При преобразовании выражений можно пользоваться следующими тождествами:
3.Основные аксиомы теории вероятности, непосредственный подсчет вероятности
Аксиома 1. Вероятность p(А) случайного события А есть функция множества элементарных исходов, благоприятных событию А, и вероятность любого события принимает значения:
Аксиома 2. Вероятность суммы несовместных случайных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Следствие аксиом 1 и 2:
Непосредственный подсчет вероятностей
События А1 …Аn называются случаями, если они обладают следующими свойствами:
- события А1 …Аn несовместны,
- события А1 …Аn образуют полную группу,
- события А1 …Аn равновозможны,
Пусть некоторый опыт сводится к схеме случаев, тогда вероятность события А в этом опыте равна отношению числа благоприятных случаев к общему числу случаев:
где m – число случаев Аi, благоприятных событию А, т.е. входящих в множество n – число всех возможных случаев.
Доказательство. Очевидно, что A = A1 + A2 + … + Am. Так как Аi несовместимы, то определим вероятность события A по второй аксиоме:
Формула (1.3) называется классическим определением вероятности и использовалась как определение вероятности с XVII по XIX в. При определении значений m, n в (1.3) могут оказаться полезными формулы из комбинаторики.