1.1 Понятие трансляции .

Определим идеальный кристалл как тело, состоящие из атомов, расположенных в пространственной решетке так, что можно вести три вектора основных трансляций a, b, c, обладающих следующим свойством. При рассмотрении этой атомной решетки из произвольной точки r решетка имеет тот же вид, что и при рассмотрении из точки r^:

r^=r+n₁a+n₂b+n₃c, (1.1)

где n₁, n₂, n₃ – произвольные целые числа (рис.1.3) Основные векторы трансляций иногда обозначаются a₁, a₂, a₃.

Рис. 1.3. Часть кристалла (в двухмерном изображении), построенного из гипотетических белковых молекул. (Мы выбрали белковую молекулу потому, что эта молекула, вероятно, не имеет своей собственной симметрии.) Атомное расположение в кристалле имеет одинаковый вид как при рассмотрении из точки r',так и при рассмотрениииз точки r.Поэтому вектор Т,связываю­щий r’ и r, можно выразить как (целое) кратное векторов а и Ь.Например, на этом рисункеТ= —а + 3b. Векторы а и Ь являются векторами прими­тивных трансляций двухмернойрешетки.

Совокупность точек r', определяемая соотношением (1.1) при различных значениях чисел n₁,n₂, п₃,определяет кристаллическую решетку,представляющую собой регулярное периодическое расположение точек в пространстве. Кристаллическая решетка является математической абстракцией: кристаллическая структура образуется лишь тогда, когда с каждой точкой решетки связан (одинаковым образом) базис. Таким образом, логично записать, что

решетка +базис = кристаллическая структура.

Кристаллическая решетка называется примитивной,а векторы а, Ь, с — векторами примитивных трансляций,если две любыеточки r и r ', при наблюдении из которых атомное расположение имеет одинаковый вид, всегда удовлетворяют соотношению (1.1) при соответствующем выборе целых чисел n₁, n₂,п₃.

Векторы примитивных трансляций мы будем часто выбирать в качестве ортов кристаллографических осейкоординат, хотянаряду с этим будут использоваться и другие (не примитивные) тройкии векторов, когда они более удобны и пользоваться ими проще. Векторы а, Ь, с, выбранные в качестве ортов кристалло­графических осей, образуют три смежных) угла элементарного параллелепипеда. Если точки решетки находятся только в уг­лах параллелепипеда, то такой параллелепипед называется при­митивным.

Операцию перемещения кристалла как целого параллельно самому себе, описываемую вектором

Т = n₁а + п₂b + n₃с = n₁а₁ + п₂а₂ + n₃а₂,

будем называть трансляцией. Вектор трансляции кристалличе­ской решетки связывает любые две точки решетки.

1.2 Типы кристаллических решеток

Кристаллические решетки могут быть приведены в самосовмещение не только в результате трансляционных преобразований, но и в результате различных точечных операций симметрии. Типичной операцией симметрии является вращение вокруг оси, проходящей через какую-нибудь точку решетки. Существуют решетки имеющие оси вращения первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядка, которые соответствуют поворотам на углы 2π, 2π/2, 2π/3, 2π/4, и 2π/ 6.

Оси вращения иначе называются поворотными осями. Они обозначаются цифрами 1, 2, 3, 4 и 6.

Ранее считалось что не существует кристаллических решеток, имеющих поворотные оси пятого и седьмого порядка [ 4].Молекула сама по себе может иметь поворотную ось симметрии любого порядка, в отличие от бесконечной периодической кристаллической решетки. Кристалл может состоять из молекул, каждая из которых имеет поворотную ось пятого порядка, но кристаллическая решетка не будет иметь эту ось. На рис.1.4 показано, что происходит если попытаться создать периодическую решетку с осью пятого порядка: пятиугольники не подходят друг к другу вплотную.

Рисунок 1.4 В кристаллической решетке не может существовать ось симметрии пятого порядка: невозможно с помощью пятиугольников заполнить все пространство решетки без промежутков.

Таким образом, видно, что нельзя сочетать пятикратную точечную симметрию с требуемой трансляционной симметрией. На рис.1.5 показано, что в кристаллах не может быть поворотной оси седьмого порядка.

Рисунок 1.5. Рисунок Кеплера («Harmo-nicemundi», 1619), из которого видно, что в кристаллической решетке не может существовать ось симметрии седьмого порядка [5].

2.Особенности структуры квазикристаллови свойств

2.1 История открытия квазикристаллов

12 ноября 1984 г. в небольшой статье, опубликованной в авторитетномжурнале «PhysicalReviewLetters», было предъявлено экспериментальноедоказательство существования металлического сплава с исключительнымисвойствами (Шехтман и др., 1984). При исследовании методами электроннойдифракции этот сплав, по-видимому, проявляет себя как кристалл. Его дифракционная картина составлена из ярких и регулярно расположенных точек, совсем как у кристалла. Однако картина эта также характеризуетсяналичием «икосаэдрической» симметрии, строго запрещенной в кристаллеиз геометрических соображений. Статью в 1984 г. написали четверо исследователей: автор открытия Д. Шехтман, Я. Блех из Технического институтав Хайфе (Израиль), Дж. У. Кан из Национального бюро стандартов (США)и я — сотрудник Центра исследований по химии и металлургии национального научного центра (Франция).

Мы все были убеждены, что это странное открытие вызовет огромный интерес в области физики твердого тела и в кристаллографии. И не были разочарованы: последовало более двухсот научных публикаций, посвященных этим новым веществам, называемым сегодня «квазикристаллами». Через несколько месяцев появилась на свет стройная теоретическая модель квазикристаллов. В ней был использован математический аппарат, созданный для описания очаровательных непериодических структур, прототипами которых были плитки Пенроуза. Менее чем за год были открыты многие другие сплавы и продемонстрированы новые типы симметрии. Их было так много, что квазикристаллическое состояние оказалось намного более распространенным,чем мы могли себе представить.

Понятие квазикристалла представляет фундаментальный интерес, потому что оно обобщает и завершает определение кристалла. Теория, основанная на этом понятии, заменяет извечную идею о «структурной единице, повторяемой в пространстве строго периодическим образом» ключевым понятиемдальнего порядка. Это понятие привело к расширению кристаллографии,вновь открытые богатства которой мы только начинаем изучать. Его значение в мире минералов можно поставить в один ряд с добавлением понятияиррациональных чисел к рациональным в математике.

Что представляет собою квазикристалл? Каковы его свойства и как

можно их описать? На многие из этих вопросов сейчас можно дать ответы, основываясь на хорошо проверенных фактах.[6]