- •Глава 1. Введение в математический анализ
- •§ 1. Множество r действительных чисел и его свойства
- •§ 2. Числовые множества, их границы
- •§ 3. Абсолютная величина числа
- •§ 4. Понятие числовой последовательности. Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности, их свойства
- •§ 5. Сходящиеся последовательности, их свойства
- •§ 6. Монотонные последовательности. Число е
- •§ 7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Принцип сходимости
- •§ 8. Отображение множеств. Обратное отображение. Композиция отображений. Понятие действительной функции
- •§ 9. Арифметические операции над функциями. Композиция функций
- •§ 10. Ограниченные и неограниченные функции. Монотонные функции
- •§ 11. Четные и нечетные функции. Периодические функции
- •§ 12. Обратная функция
§ 12. Обратная функция
Пусть – некоторая функция, и- ее область определения и область значений соответственно. Если любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции, то есть из,, то, как известно из § 8, отображениеf, определяемое этой функцией, обратимо, и для него существует обратное отображениемножествана множество . Это отображение называетсяобратнойфункцией к функции, то есть обратная функциятакова, что. Функцияи обратная для нее функцияназываютсявзаимно-обратными функциями. Заметим, что, а графики взаимно-обратных функцийисимметричны относительно прямой– биссектрисы первого и третьего координатных углов. Обратная функция всегда существует для строго монотонной функции, которая каждое свое значение принимает только один раз.
Чтобы найти аналитическое выражение для функции , обратной к функции, нужно решить уравнениеотносительнох, и если при этом получается несколько значенийх, то выбрать те значения, которые принадлежат . Таким образом получают равенство, в котором обычно заменяюту нах их нау.
Обратные функции для функций нужно рассмотреть на практических занятиях.
З
функцию. Найдем ее. Имеем
т.е.Отметим, что каждое свое
значение функция принимает только один раз (такие функции называютсяинъективными).