4. Множественная регрессия.

Для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости, то есть при исследовании трех и более признаков одновре­менно, вычисляется множественный и частные коэффициенты корреляции.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при на­личии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.

Множественный коэффициент корреляции для двух факторных при­знаков вычисляется по формуле:

, где

r_ух - парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: 0 ≤ R ≤ 1.

Приближение R к единице свидетельствует о сильной зависимости между признаками.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тес­ноты связи между двумя признаками х₁ и х₂ при фиксированном значении других (k - 2) факторных признаков, то есть когда влияние х₁ исключает­ся, то есть оценивается связь между х₁ и х₂ в "чистом виде".

В случае зависимости у от двух факторных признаков х₁ и х₂ ко­эффициенты частной корреляции имеют вид:

,

где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

В первом случае исключено влияние факторного признака х₂, во втором – х₁.

Пример 1.

Имеются данные по отдельным областям РФ о есте­ственном убытии (приросте) населения человек за 1994 год в расчете на 1000 жителей (%), численности безработных к экономически активному населению и состояние условий труда работников в % к общей численности занятых на производстве (табл. 6).

На основании имеющихся данных определите влияние чис­ленности безработных (х₁) и занятости работников в условиях, не отвечающим санитарно-гигиеническим нормам (х₂) на естествен­ную убыль населения (У) в областях Российской Федерации. Для этого определите:

а) параметры уравнения

У_х1х2 = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂, использовав метод наименьших квадратов;

б) коэффициенты парной корреляции

rх₁у, rх₂у, rх₁у

г) коэффициент множественной корреляции

R_у (Х₁Х₂);

д) тесноту связи между результативным признаком и одним из факторных при постоянных значениях прочих факторов, т.е. определите значения rх₁у (х₂) и rх₂у (х₁).

Сделайте выводы.

Таблица 6

Исходные данные

№ п/п	Административные области России	Естественный прирост населения, чел.	Численность безработных	Занято в условиях, не отвечающих санитарным нормам, %
1	Архангельская	- 6.4	6.3	36,1
2	Вологодская	- 8.4	4.0	32.1
3	Мурманская	- 2.9	7.7	42.4
4	Ленинградская	- 10.8	7.2	19.9
5	Новгородская	- 10.9	5,8	11.7
6	Псковская	- 12.6	7.6	16.5
7	Брянская	- 6.7	4.3	23.8
8	Владимирская	- 7.8	5.8	19,1
9	Ивановская	- 8.9	8,5	29.4
10	Калужская	- 7.8	4.6	18.6
11	Костромская	- 7.8	7,3	20.2
12	Московская	- 8.1	6.1	16.7
13	Орловская	- 6.8	4.0	16.1
14	Рязанская	- 9.0	4.9	16.3
15	Смоленская	- 8.3	5.7	21.1
16	Тверская	- 11,7	4.0	18.5
17	Тульская	- 10,7	4.0	20.1
18	Ярослaвская	9,8	5,2	26,0
19	Кировская	- 6.1	6.2	16.5
20	Нижегородская	- 8.1	4.9	20.2
21	Белгородская	- 5.8	3.6	17.0
22	Воронежская	- 8.1	4.2	16.5
23	Курская	- 7,6	3,4	25,7
24	Липецкая	- 6.8	4.8	29.0
25	Тамбовская	- 8.6	5.4	15.3
26	Астраханская	- 2.8	6.7	15.1
27	Волгоградская	- 4.2	5.3	18.9
28	Пензенская	- 6.1	5.6	15.5
29	Самарская	- 4.8	4.2	23.0
30	Саратовская	- 5.5	5.0	16.8
31	Ульяновская	- 3.3	4.3	21.3
32	Ростовская	- 5.5	5.0	24.6

Решение:

а) Для выявления зависимости между численностью безработных (х₁), численностью занятых в условиях, не отвечающих санитарным нормам (х₂) и естественным приростом (убылью) населения (У) в анализируемых областях построим уравнение зависимости У_х1х2 = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂, .

Вначале определим параметры уравнения а₀ , а_1, а_{2 ,} использовав метод наименьших квадратов.

Система нормальных уравнений для вычисления параметров уравнения а₀ , а_1, а₂ выглядит следующим образом:

;

;

.

По данным табл. 7 рассчитаем необходимые для составления указанной системы суммы и подставим полученные расчёты в данную систему. Получим систему нормальных уравнений в виде:

;

;

.

Для нахождения параметров уравнения а₀ , а_1, а₂ разделим первое уравнение на 32, второе – на 171,6, третье – на 680. Получим:

;

;

.

Из второго уравнения вычтем первое, а из третьего – второе, получим:

Разделим первое уравнение на 0,2496, второе – на (-0,178), получим:

Таблица 7