методичка_линейка _2_
.pdfПример
По чертежу запишите уравнение кривых:
y
5 |
x |
0
−3
x =5
Рис. 8.13. Графическое представление уравнения
Решение:
Это парабола.
Ось симметрии еёx=5(прямая параллельная оси OY), поэтому “y” входит в уравнение в 1-ой степени.
Вершина параболы лежит в точке O′(5;−3).
Ветви параболы направлены в положительном направлении оси симметрии.
Таким образом имеем уравнение кривой:
(x − x |
0 |
)2 = 2 p(y − y |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x − 5)2 = 2 p(y + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
параболе, |
||
|
Находим |
(2p), зная, что точка |
0; |
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, её координаты удовлетворяют уравнению параболы:
(0 - 5) |
2 |
13 |
|
|
|
25 |
|
|
2 p |
|
|
|
|
= 2 p |
|
+ 3 ; |
|
25 = 2 p × |
|
; |
1 = |
|
; |
2 p = 4; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
Таким образом: (x - 5)2 |
= 4(y + 3) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
12
O′
−9 −4 0 1
Рис. 8.14. Графическое представление уравнения
Решение:
Это гипербола.
Оси симметрии x=4 иy=7(мнимая). Центр лежит в т. O′(− 4;7). Полуоси: a=5; b=5
Таким образом имеем уравнение:
(x − x |
0 |
)2 |
− |
(y − y |
0 |
)2 |
= −1 ; |
||
a |
2 |
|
|
b |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 4)2 − (y − 7)2 = −1 25 25
3
− 2 |
1 |
4 |
0
−3
Рис. 8.15. Графическое представление уравнения
121
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Это эллипс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
си симметрии: y=0; x=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Центр лежит в т. O′(1;0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Большая полуось a=3, малая b=2 |
|
|
|
|
(y − y |
|
)2 |
|
||||||||||||
Таким образом имеем уравнение: |
(x − x |
0 |
)2 |
+ |
0 |
= 1 , |
|||||||||||||||
a |
2 |
|
|
b |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
y 2 |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По уравнениям построить кривые: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(x − 2)2 |
|
− |
(y +1)2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x −1)2 + (y + 3)2 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(y + 5)2 = −6(x − 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
(x − 2)2 |
+ (y +1)2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Это гипербола.
O′(2;−1); a = 2; b = 1(мнимая)
24
−1
− 2
Рис. 8.16. Графическое представление уравнения
122
Это окружность
O′(1;−3); R = 1
1 2
− 2
−3
O′
− 4
Рис. 8.17. Графическое представление уравнения
Это парабола.
O′(3;−5); y = −5 -ось симметрии.
y
03
x
−5 O′
−9
123
Рис. 8.18. Графическое представление уравнения
Чтобы найти точки пересечения параболы с осью надо решить систему:
|
|
|
|
|
x = 0 |
|
|
|
|
|
|
x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x = 0 |
|
|
|
(y |
+ 5 ) |
2 |
= − 6 (x − |
3 ). |
|
(y + 5 ) |
2 |
|
(0 − |
3 ) |
|
2 |
+ 10 y + 25 = |
||||||||
|
|
|
|
= − 6 |
|
y |
|
18 |
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 10 y + 7 |
= 0 |
|
|
= − 5 ± 25 |
− 7 = − 5 ± 18 ≈ − 5 ± 4 . 2 ; |
|
||||||||||||||
y |
|
|
y 1 , 2 |
|
−5 + 18 ≈ −5 + 4.2 = −0.8
−5 − 18 ≈ −5 − 4.2 = −9.2
|
|
|
(0;−5 − |
|
|
|
); |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
M |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом M1 (0;−5 + |
|
|
|
); |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
18 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 0 |
Находим точки пересечения с осью OX (y + 5)2 = −6(x − 3) |
|||||||||||||||||
|
y = 0 |
|
|
y = 0 |
|
|
|
|
|
y = 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
1 |
|
||||
25 |
= −6x +18 |
|
6x = −7 |
x = − |
= −1 |
|
|||||||||||
|
6 |
6 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
− |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом M |
3 |
|
;0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это эллипс.
2 |
4 |
|
|
0 |
|
−1 |
O′ |
|
|
−2 |
|
O′(2;−1); a = 2; b = 1
124
8.4. Общее уравнение кривой II порядка
Если в уравнениях кривых: эллипса, гиперболы и параболы, с осями симметрии параллельными осям координат раскрыть скобки, то все они могут быть приведены к пятичленному уравнению 2-го порядка, которое имеет вид:
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 |
(8.5) |
И называется общим уравнением кривой 2-го порядка. Проанализировав отличие друг от друга уравнений вида (1)
для эллипса, гиперболы и параболы, можно увидеть, что в случае эллипса - знаки коэффициентов A и C одинаковы, в случае гиперболы - знаки коэффициентов A и C различны, и в случае параболы один из квадратов отсутствует, что влечёт за собой равенство нулю соответствующего коэффициента A или C (одновременно A и C нулю равны быть не могут, иначе получается уравнение 1-го порядка, т.е. уравнение прямой).
Таким образом, произведение AC определяет кривую, уравнение которой имеет вид (1).
Для эллипса AC>0;
Для гиперболы AC<0;
Для параболы AC=0;
Рассмотрим обратную задачу.
В декартовой прямоугольной системе координат дано уравнение:
Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (8.5)
Для построения кривой и полного представления о том, как она расположена на плоскости, необходимо привести уравнение (4) к каноническому виду, т.е. выделить полные квадраты в этом уравнении.
Например, приведём уравнение 2x 2 + y 2 + 20 x + 8 y + 2 = 0 к каноническому виду.
125
Решение:
2x 2 + y 2 + 20x + 8 y + 2 = 0 2(x 2 -10x)+ (y 2 + 8 y)+ 2 = 0
2(x 2 - 2 × x × 5 + 25 - 25)+ (y 2 + 2 × y × 4 +16 -16)+ 2 = 0 2(x - 5)2 + (y + 4)2 = 64
|
(x - 5)2 |
+ |
(y + 4)2 |
= 1 |
|||
|
|
32 |
|
64 |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
(x - 5)2 |
+ |
(y + 4)2 |
= 1 |
|||
|
( |
|
|
)2 |
82 |
||
32 |
|||||||
|
|
|
|
В декартовой прямоугольной системе координат уравнение 2- |
|||
го |
|
порядка: Ax 2 |
+ Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 , может соответствовать |
следующим семи типам линий второго порядка: эллипсы, гиперболы, параболы, пары пересекающихся прямых, точки, пары параллельных прямых, пары совпадающих прямых.
Пример
Какое геометрическое место точек задано уравнением
y = − 5 9 − x 2 ?
3
Решение:
Так как правая часть уравнения не положительна, то и y ≤ 0 , следовательно, это уравнение равносильно системе :
|
|
|
y ≤ 0 |
|
|
|
|
|
y ≤ 0 |
|
|
|
y ≤ 0 |
|
|||||
|
|
|
25 |
(9 |
|
|
) |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
y 2 |
|
||
|
2 |
= |
− x |
2 |
или |
2 |
= 25 − |
|
2 |
или x 2 |
+ |
=1 - |
|||||||
y |
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
25 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
это множество точек эллипса, у которых y ≤ 0 , т.е. нижняя половина эллипса.
126
5
−3 |
3 |
0
−5
Рис. 8.19. Графическое представление уравнения
Пример
По данному уравнению определите тип кривой. Приведите уравнение к каноническому виду, постройте кривую на плоскости XOY. Найдите координаты фокусов. Составьте уравнения асимптот для гиперболы:
2x 2 − y 2 + 8x + 4 y + 8 = 0 x 2 + 6x −16 y + 25 = 0
4x 2 − 3 y 2 − 32 x −12 y + 52 = 0 4x 2 + 9 y 2 +12x − 6 y +10 = 0
Решение:
A = 2; C = −1; AC = −2 < 0
Дано уравнение кривой гиперболического типа. Приводим уравнение к каноническому виду.
127
2(x2 + 4x)- (y 2 - 4y)+ 8 = 0,
2(x2 + 2x × 2 + 4 - 4)- (y 2 - 2 y × 2 + 4 - 4)+ 8 = 0 2(x + 2)2 - 8 - (y - 2)2 + 4 + 8 = 0
2(x + 2)2 - (y - 2)2 = -4
- (x + 2)2 |
+ |
(y - 2)2 |
= 1 |
2 |
|
||
4 |
|
получили каноническое уравнение гиперболы. O′(− 2;2)- центр симметрии кривой;
a = 2 ; b = 2; c = 2 + 4 = 6
|
F |
|
1 |
|
4 |
− 4 |
O′ |
0 |
F2
Рис. 8.20. Графическое представление уравнения
Уравнения асимптот:
y − y0 = ± b (x − x0 ); a
y − 2 = ± |
2 |
|
(x + 2), |
||
|
|
|
|||
2 |
|||||
|
|
|
|||
y − 2 = ± |
2 |
|
(x + 2). |
||
|
|
|
|||
2 |
|
||||
|
|
|
128
A = 1; C = 0; AC = 0
Дано уравнение кривой параболического типа. Приводим уравнение к каноническому виду.
(x 2 + 6x)-16 y + 25 = 0,
(x 2 + 2x × 3 + 9 - 9)-16 y + 25 = 0,
(x + 3)2 |
- 9 = 16 y - 25 |
(x + 3)2 |
= 16 y -16 |
(x + 3)2 |
= 16(y -1) |
получили каноническое уравнение параболы.
O′(− 3;1) - вершина параболы. |
|
|
|
|
|
||||
2 p = 16; |
p = 8; |
p |
= 4. Найдём |
точки |
пересечения |
параболы с |
|||
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
осью OY: |
|
|
|
|
|
|
|
||
x=0, |
тогда |
9 = 16 y −16 ; |
16y=25 |
или |
y = |
25 |
т.е. |
||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
16 |
|
y
F |
5 |
1
x
−3
y = −3
25
M 0; ;
16
Рис. 8.21. Графическое представление уравнения
129