методичка_линейка _2_
.pdfТестовые задания
1. Какого способа разложения на множители не существует? Варианты ответов:
а) с помощью формул сокращённого умножения; б) с помощью теорем нахождения корней квадратного уравнения; в) схема Горнера; г) вынесение за скобки общего множителя.
2. Выберете верное разложение многочлена f ( х) |
= 2x3 − 6x − 4 на |
|||||||||||
множители |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 2 ( х +1)2 ( х − 2) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) 2 ( х+1)( х − 2)2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) 2 ( х +1)( х − 2) ( х − 1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) 2( х −1) ( х − 2)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Найдите коэффициент А в разложении |
|
|||||||||||
|
х2 − 4 |
|
= |
|
А |
+ |
В |
|
+ |
С |
|
|
|
(х + 3)2 (х − |
|
|
|
х + |
|
|
|
|
|||
|
2) ( х + 3)2 |
|
3 х − 2 |
|
||||||||
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) -1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) -2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Остаток от деления многочлена f ( x) = x3 − 8x − 7 |
на x + 3 равен |
|||||||||||
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
а) -10; б) -4; в) 5; г) 4.
60
5. Закончите утверждение. Кратность корня многочлена f (x) = аn xn +... + а1x + а0 называется:
Варианты ответов:
а) степень многочлена n;
б) натуральное число k такое, что многочлен f (x) делится на
( х − а)k и на ( х − а)k +1 ;
в) натуральное число kтакое, что многочлен f (x) делится
на( х − а)k , но не делится на ( х − а)k +1 ; г) нет правильного ответа.
6. Известно, что один из корней многочлена
f ( x) = x4 + x3 + x2 − 4x +10 равен числу1 +i . Какое из следующих чисел обязано быть корнем этого многочлена:
Варианты ответов:
а) 1;
б) 1 + 2i ; в) 1 −i ;
г) нет правильного ответа.
7. Известно, что один из корней многочлена равен числу2 −3i . Какое из следующих чисел обязано быть корнем этого многочлена: Варианты ответов:
а) 2;
б) 2 +3i ; в) 3 −i ;
г) нет правильного ответа.
8. Укажите корень многочлена f ( x) = x4 + x3 + x2 − 4x +1 Варианты ответов:
а) 1;
б) 1 + 2i ; в) 1 −i ;
г) нет правильного ответа.
8. Укажите многочлен, корнем которого является число i: Варианты ответов:
61
а) f ( x) = x4 − x3 + 5x2 − 4x + 2 ; б) f ( x) = x3 − x2 − 4x +1;
в) f ( x) = 2 x5 + x3 − x2 − 4 x +1 ; г) f ( x) = x3 + x2 + x +1 .
9. Остаток от деления многочлена
f ( x) = x4 + 2x3 −8x2 + x − 7 на x − 2 равен Варианты ответов:
а) -10; б) -4; в) 5; г) 4.
10. Выберете верное разложение многочлена f (х) = 3x2 −9x + 6 на
множители Варианты ответов:
а) 3(х −1)(х − 2);
б) 3(х+ 1)(х −1);
в) 3(х +2)(х −1) ;
г) 3 (х −1)(х − 2).
Тематика рефератов
1.Теорема Гаусса
2.Методы разложения многочлена на множители.
3.Нахождение корней многочленов.
62
СМЫСЛОВОЙ МОДУЛЬ II ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЭЛЕМЕНТЫ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ТЕМА 5
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
|
|
|
|
|
5.1.Основные понятия |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Вектором называется направленный отрезок |
|
, |
в котором |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
AB |
||||||||||||||||||||||
точка A рассматривается как начало, а точка B – как его конец. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Проекцией вектора |
|
|
|
на ось U называется длина вектора |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
AB |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
, |
B |
– проекции точек A |
и B на ось U |
(основания |
||||||||||||||||||||
|
A |
B |
где A и |
|
|||||||||||||||||||||||
перпендикуляров, проведенных из точек A и B на ось U ): |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прU AB = |
|
|
|
′ |
′ |
. |
|
|
(5.1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Проекция вектора на ось равна его модулю, умноженному на |
||||||||||||||||||||||
косинус угла наклона вектора к этой оси: |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прU |
|
= |
|
|
|
|
× cos ϕ , |
(5.2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|||||||||||||||||
где ϕ - угол наклона вектора |
|
к оси U . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а |
|
|
|
|
Замечание. Если направление вектора совпадает с направлением оси, то берем полученное значение со знаком “+”, в противоположном случае – со знаком “–”.
Координатами вектораa называются проекции этого вектора на оси координат:
ax = прx a , ay = прy a , az = прz a
и записываются:
|
|
|
|
= (ax , a y , az ) или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= axi |
+ a y j + az k . |
(5.3) |
||||||||||||||||
|
|
|
a |
a |
||||||||||||||||||||
Координаты вектора |
|
равны разностям соответствующих |
||||||||||||||||||||||
AB |
||||||||||||||||||||||||
координат его конца B(xB , yB , zB ) и начала A(xA , y A , z A ), т.е. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= (xB - xA , yB - y A , zB - z A ). |
(5.4) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|||||||||||||||||
Длиной (модулем) вектора |
|
называется длина отрезка AВ |
||||||||||||||||||||||
AB |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
и обозначается |
|
|
|
|
|
. Длина (модуль) вектора |
|
= (ax , a y , az ) |
равна |
|||||||||||||||
AB |
||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
||||||||||||||||||||||
корню квадратному из суммы квадратов его координат: |
|
|||||||||||||||||||||||
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ax2 + a y2 + az2 . |
(5.5) |
|
|
|
||
a |
Коллинеарными называются два параллельных или лежащих на одной прямой вектора. Векторы коллинеарны тогда и только
тогда, когда |
их |
|
координаты |
пропорциональны, |
т.е. векторы |
|||||||
|
|
= (xa , ya , za ) |
и |
|
= (xb , yb , zb ) |
коллинеарны, если |
выполняется |
|||||
|
|
b |
||||||||||
a |
||||||||||||
соотношение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
xb |
= |
yb |
= |
zb |
. |
(5.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
xa |
ya |
|
za |
|
Нулевым вектором 0 называется вектор, длина которого равна нулю. Этот вектор считается коллинеарным любому вектору.
Единичным вектором (ортом) называется вектор, длина которого равна единице.
Компланарными называются три вектора и более векторов, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
Равными называются два коллинеарных вектора, имеющих одинаковые направления и одинаковые длины.
Противоположными называются два коллинеарных вектора одинаковой длины и противоположных по направлению. Вектор, противоположный вектору a – есть вектор ( − a ), т.е.
|
− |
|
|
= |
|
|
|
, |
− (− |
|
) = |
|
. |
|
|
(5.7) |
||
|
a |
|
|
a |
|
a |
a |
|||||||||||
Пример. При каком значении k |
векторы |
|
= ( k; − 2) |
и |
|
= (5; 6) |
||||||||||||
|
b |
|||||||||||||||||
a |
будут коллинеарными?
Решение. Для того, чтобы векторы были коллинеарными, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны, т.е.
xb |
= yb |
|
||
xa |
|
ya |
. |
(5.8) |
Подставим координаты векторов в это соотношение:
5 = 6 , k −2
тогда
k = −10 = − 5 .
6 3
64
|
|
Пример. Даны точки |
A(2; −1; 5), |
B (1; −2; 4). Найти проекцию |
||||||||||||||
вектора |
|
|
на ось U , если известно, |
что вектор и ось образуют |
||||||||||||||
|
AB |
|||||||||||||||||
между собой угол в60 o . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
|
|
|
× cos ϕ . |
В нашем |
случае |
|
|
= |
|
, ϕ = 60o . |
Найдем |
||||
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|||||||||||
прU |
|
|
|
|
a |
|||||||||||||
a |
a |
|||||||||||||||||
координаты |
вектора |
|
|
. |
|
|
|
|
По |
формуле |
||||||||
a |
|
|
|
|
a = AB = (xB - xA , yB - y A , zB - z A ), получим, что
a = AB = (−1; −1; −1).
Определим длину вектора:
a = AB = ax2 + a2y + az2 = (−1)2 + (−1)2 + (−1)2 = 3 .
Итак,
|
|
= |
|
|
|
×cosφ = |
|
×cos 60o = |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
прU |
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||
a |
a |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.2. Линейные операции над векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Суммой двух векторов |
|
и |
|
|
называется |
вектор |
|
= |
|
+ |
|
, |
||||||||||
|
b |
b |
||||||||||||||||||||
a |
|
c |
a |
который идет из начала вектора a в конец вектора b , при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора a . При сложении векторов их координаты складываются, т.е. если a = (xa , ya , za ),
b = (xb , yb , zb ), то
|
|
= |
|
+ |
|
= (xa + xb , ya + yb , za + zb ). |
|
|
|
|
b |
(5.9) |
|||
c |
a |
Суммой векторовa1 , a2 ,..., an называется вектор a , идущий из начала вектора a1 в конец вектора an , при условии, что начало вектора a2 приложено к концу вектора a1 , начало вектора a3 – к концу вектора a2 , и т.д. пока не дойдет до вектора an .
Если a1 = (x1 , y1 , z1 ), a2 = (x2 , y2 , z2 ),…, an = (xn , yn , zn ), то
a = a1 + a2 +... + an = (x1 + x2 +... + xn ; y1 + y2 +... + yn ; z1 + z2 +... + zn ).
65
a2 a3 a4
a1
a2 a3 a4 a1
a
Замечание. Если конец вектора an совпадает с началом вектора a1 , то сумма
a1 + a2 + ... + an = 0 и вектор a является нулевым.
Разностью векторовb и a называется вектор c = b − a , который в сумме с вектором a составляет вектор b .
Разностью двух векторов, приведенных к общему началу, является вектор, идущий из конца “вычитаемого” вектора в конец “уменьшаемого”.
При вычитании векторов их координаты вычитаются, т.е. если
a = (xa , ya , za ), b = (xb , yb , zb ), то
c = b −a = (xb − xa , yb − ya , zb − za ).
Произведением вектора |
|
на числоα |
называется |
вектор, |
||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||
который коллинеарен вектору |
|
, имеет |
|
длину |
|
α |
|
× |
|
|
|
|
|
|
, |
и |
||
a |
|
|
|
a |
|
|||||||||||||
направление такое же как у вектора |
|
, если |
|
α > 0 , |
и |
|||||||||||||
a |
|
противоположное, если α < 0 . При умножении вектора a = (x, y, z ) на число α координаты вектора умножаются на это число, т.е.
|
|
=α |
|
= (αx, αy, αz ). |
(5.10) |
c |
a |
Свойства линейных операций над векторами
1.a + b = b + a .
2.(a + b )+ c = a + (b + c ).
3.(λ + μ)a = λa + μa .
4.λ × (μ × a )= (λ × μ)× a .
5.λ(a + b )= λa + λb .
6.a + (− a )= 0 .
7.a + 0 = a .
66
|
Разложение векторов по базису |
|
|
|||
Пусть |
x1 , x2 , ..., xn - |
векторы пространства R; |
c1 , c2 , ...,cn - |
|||
скаляры, |
тогда |
вектор |
x = c1 x1 + c2 x2 +... + cn xn |
называется |
||
линейной комбинацией векторов x1 , x2 , ..., xn . |
|
|
||||
Если |
вектор |
x = c1 x1 + c2 x2 +... + cn xn равен нулю тогда и |
||||
только тогда, когда |
все числа |
c1 = c2 = ... = cn = 0 , |
то |
говорят, что |
||
векторы x1 , x2 , ..., xn линейно независимы. |
|
|
||||
Если вектор x = c1 x1 + c2 x2 +... + cn xn равен нулю и среди чисел |
||||||
c1 , c2 , ..., cn |
есть хотя бы одно, отличное от нуля, то говорят, что |
|||||
векторы x1 , x2 , ..., xn линейно зависимы. |
|
|
||||
Теорема 1. |
Если |
векторы |
x1 , x2 , ..., xn , |
принадлежащие |
пространству R , линейно зависимы, то по крайней мере, хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.
Если нам задана в трехмерном пространстве система декартовых прямоугольных координат, то вместе с нею мы будем рассматривать тройку векторов, которую обозначим символами
i , j, k . Эти векторы определяются следующими условиями:
1)вектор i лежит на оси Ox , вектор j – на оси Oy , вектор k – на оси Oz ;
2)каждый из векторов i , j, k направлен на своей оси в положительную сторону;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1, |
|
|
|
|
=1, |
|
|
|
=1. |
|||
3) векторы i |
, |
|
j, k - единичные, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
j |
k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Любой |
|
|
вектор в |
пространстве |
|
|
может |
|
быть выражен |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при помощи линейных операций. Представление |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
черезi |
, |
j, k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора |
|
|
|
|
|
в |
|
виде |
суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
λi |
+ μj +ν k |
называется |
разложением |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
по |
базису |
|
|
|
|
|
|
Числа |
λ, μ, ν |
называются |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i , j, k . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициентами этого разложения; векторы λi |
, |
μj, ν k |
||||||||||||||||||||||
называются составляющими (или компонентами) вектора |
|
|
по |
|||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базису i |
, j, k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема 2. |
Каким бы ни был вектор |
|
|
|
, он всегда может быть |
|||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
быть |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
разложен по базису i |
, j, k , т.е. может |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представлен в виде
a = Xi +Yj + Z k
Коэффициенты этого разложения определяются как проекции вектора на координатные оси, т.е.
X = прx a , Y = прy a , Z = прz a .
Замечание. Разложение векторов можно производить не только по базису i , j, k .
Замечание. Три вектора a1 = (x1 , y1 , z1 ), a2 = (x2 , y2 , z2 ), a3 = (x3 , y3 , z3 ) могут являться базисом пространства R3 , если определитель, составленный из координат этих векторов будет не равным нулю, т.е.
x1 x2 x3
y1 y2 y3 ¹ 0 .
z1 z2 z3
Теорема 3. Каким бы ни был вектор a , он всегда может быть выражен в виде линейной комбинации векторов
a1 , a2 , a3 , т.е.
a = λa1 + μa2 +νa3 .
Такое выражение вектора a называется разложением его по базису a1 , a2 , a3 .
Например, если требуется разложить вектор a = (x, y, z ) по
базису a1 = (x1 , y1 , z1 ), a2 = (x2 , y2 , z2 ), a3 = (x3 , y3 , z3 ), т.е. представить в виде: a = λa1 + μa2 +νa3 , следует выполнить такие действия:
1) проверить, действительно ли векторы a1 , a2 , a3 образуют базис в пространстве R3 , т.е.
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
D = |
y1 |
y2 |
y3 |
¹ 0 ; |
|
z1 |
z2 |
z3 |
|
2) Найти λ, μ, ν из системы
λx + μx |
2 |
+νx |
3 |
= x |
||
|
1 |
|
|
|
||
λy1 + μy2 +νy3 = y |
||||||
|
|
+ μz2 |
+νz3 = z |
|||
λz1 |
68
3) |
Представить |
|
в виде |
|
= λ |
a1 + μ |
|
2 +ν |
|
3 |
(в базисе |
|
|
|
|
2 , |
|
3 вектор |
|||||||||
a |
a |
a |
a |
a1 , |
a |
a |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
будет иметь координаты |
|
= {λ, μ, ν}). |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
a |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример. |
Показать, что векторы |
a1 = (1; 3; 4), |
|
2 = (− 2; 1; −1), |
||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
= (1; − 4; 3) |
образуют трехмерный базис и найти координаты |
|||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||
вектора |
|
= (5; − 6; 11) в этом базисе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
- 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
D = 3 |
1 - 4 = 42 ¹ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4-1 3
Определитель не равен нулю, т.е. |
векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образуют |
|||||||||||||||||||||||||||||
a1 , a2 , a3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
трехмерный базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2) Для вычисления координат вектора |
|
|
в этом базисе составим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
систему линейных уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ - 2μ + |
ν = |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3λ + μ - 4ν = - 6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4λ - μ + 3ν = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Отсюда, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 - 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 5 1 |
|
|
|
1 - 2 5 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
λ = |
1 |
|
|
- 6 1 - 4 |
|
= 1 , |
μ = |
1 |
|
|
3 - 6 - 4 |
= -1, ν = |
1 |
|
|
3 1 - 6 |
|
= 2 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
42 |
|
|
|
11 -1 3 |
|
|
|
|
|
42 |
4 11 |
3 |
|
42 |
|
4 -1 11 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
3) Таким |
образом, |
|
= |
a1 − |
|
2 + 2 |
|
3 . |
То |
есть вектор |
|
в базисе |
|||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
имеет координаты: |
|
= {1; −1; 2}. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a1 , a2 , a3 |
a |
|
|
|
Радиус-вектор, его длина и направляющие косинусы
Радиус-вектором точки M (x, y, z ) называется вектор
|
|
= |
|
= xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
OM |
|
+ yj |
+ zk , |
(5.11) |
|||||
r |
идущий из начала координат в точку M , его длина |
|
|
|
|
|
= |
|
x 2 + y 2 + z 2 |
|
|||
|
|
|
||||||||||
r |
||||||||||||
Направляющими косинусами вектора |
|
называются |
||||||||||
OM |
||||||||||||
cosα , cos β , cosγ , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где α, β, γ – углы, которые составляет вектор |
|
|
|
|
|
с осями |
||||||
|
|
OM |
|
|||||||||
координат (они определяют направление вектора). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|