4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси

x имеет вид x A B t2 C t4, где

А = 2 м, В =

1 м/с, С = 0,1 м/с3.

Найти координату x, скорость

и ускорение

а точки

в момент

С

времени t = 3 c. Рассчитать среднюю скорость за первые 3 с.

Решение. Координату x найдем, подставив в уравнение

движен я ч словые значения коэффициентов А, В и С и времени t:

x (2 1 32

0,1 34 ) 2,9м м.

времени

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по

:

dx

2Bt 4Ct3.

бА

В момент времени t = 3 с

dt

(2 1 3 4 ( 0,1) 33) 4,8м/c.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости

по времени:

a d 2B 12Ct2.

dt

В момент времени t = 2 c

Д

a 2 1 12( 0,1) 32 8,8 м/c2.

Рассчитать среднюю скорость за 3 с движения

A Bt2 Ct

4

A Bt2

Ct4

B(t

2

t2) C(t

4 t4)

2

2

1

1

2 1

2 1

t2 t1

t2 t1

B(t

2

t

2) C(t

4

t4)

1 (3

2

2

4 4

2

1

2

1

0 И) 0,1(3 0 ) 0,3м

t2 t1

3 0

с

Пример 2. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m = 20 г поднялась на высоту h = 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на S = 10 см. Массой пружины пренебречь.

18

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии в механике, но прежде проследим за энергетическими превращениями, с которыми связан выстрел.

При зарядке пистолета сжимается пружина. При этом совершается работа А1, в результате чего пружина приобретает потенциальную энергию П1. При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию Т2 пули, а затем при подъеме ее на высоту h превращается в потенциальную энергию П2 пули. Если пренебречь потерями энергии в этой «цепочке» энергет ческ х превращений, то на основании закона сохранения

энергии можно зап сать
С
А1 = П2.	(1)

силе Выразабсолютнаям ра оту А1. Сила F1, сжимающая пружину, является

переменной: в каждый момент она по направлению противоположна упругости F ч сленно равна ей. Сила упругости, возникающая

в пруж не при ее деформации, определяется по закону Гука:

А

F =

k

х,

где х

деформация пружины.

Работу переменной силы вычислим как сумму элементарных

работ. Элементарная ра ота при сжатии пружины на dx выразится

1

Д

формулами:

d 1 = F1 dх;

d 1 = k x dx.

Интегрируя в пределах от 0 до S, получим

A

k

S

x dx

1

k

x

2

1

k S

2

.

(2)

0

2

2

Потенциальная энергия пули на высоте h определится по

формуле

П2

m g h ,

(3)

где g ускорение свободного падения.

И

Подставим в (1) значения А1 из (2) и П2

из (3):

1 k S2 m g h,

2

19

откуда	k	2m g h	.	(4)
		S2
Проверим, дает	ли полученная формула			единицу измерения

жесткости k. Для этого в правую часть формулы (4) вместо величин

подставим их единицы измерения (единицу измерения какой-либо

С

величины принято обозначать символом этой величины, заключенной

в квадратные скобки):

k

[m][g][h]

1кг 1м c 2 1м

1кг м с 2

1 Н/м.

[S]2

1м2

1м

измерен

Убед вш сь, что полученная единица (1 Н/м) является единицей

я жесткости, можем подставить в формулу (4) числовые

значен

я

про звести вычисления:

2

абсолютно

2 0,02 9,81 5

k

(0,1)2

196 Н/м.

Пр

мер 3.

Шар массой m1, движущийся горизонтально с

А2

некоторой скоростью 1

, столкнулся с неподвижным шаром массой

m . Шары

упругие,

удар прямой, центральный.

Какую

долю

своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение.

Доля

энергии,

переданной первым шаром

Д

второму, выразится соотношением

2

T2

m2u2

m2

u2

(1)

T

m 2

m

,

1

1

1

1

1

где Т1

кинетическая энергия первого шара до удара; u2

и Т2

скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1), для определения

надо найти u2

из

законов сохранения: 1) закона сохранения импульса; 2) закона

сохранения механической энергии. Пользуясь этими законами,

найдём u2. По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар

до удара покоился, получим

И

m1 1 m1u1

m2u2 .

(2)

20

По закону сохранения механической энергии

		m 2		m u2		m u2
		1 1		1 1		2 2	.	(3)
	2			2		2
	Решая совместно уравнения (2) и (3), найдём

		u	2			2m1 1					.
						m m
							1			2
Подстав в это					u2			в формулу (1) и сократив на 1 и
Сm , получ м
1										2
m2		2m1 1										4m1m2			.
								)						)2
m	(m m						2					(m m	2
1		1 1								1

Из полученного соотношения видно, что доля переданной
выражение
энергии зав с т только от масс сталкивающихся шаров. Доля
бА
передаваемой энерг	не изменится, если шары поменяются местами.
Пример 4.	Платформа	в виде сплошного диска радиусом
R = 1,5 м и массой m1 = 180 кг вращается по инерции вокруг
вертикальной оси с частотой n =10 об/мин. В центре платформы
стоит человек массой m2=		Д
		60 кг. Какую линейную скорость
относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет
на край платформы?

Решение. Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, равен нулю. При этом условии

момент импульса Lz	системы платформа человек остается
постоянным:
Lz	Jz ω const,	(1)
где Jz момент инерции платформы с человеком относительно оси z;
угловая скорость платформы.		И

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому

Jz = J1 + J2 ,

где J1 момент инерции платформы; J2 момент инерции человека.

21

С учетом этого равенство (1) примет вид

	(J1 J2 ) ω const
или	(J1 J2 ) ω (J1 J2	) ω ,	(2)

где значения величин без знака штриха относятся к начальному состоянию системы, со знаком штриха к конечному состоянию.

	Момент	нерц	платформы		(сплошного диска) относительно
	оси z при переходе человека не изменяется.
	изменяться			1
	С J1 J1				m1 R2.
				2
	Момент	нерц	человека	относительно той же оси будет
	бА
	. Если рассматривать человека как материальную точку, то

его момент нерц J2 в начальном положении (в центре платформы) можно сч тать равным нулю. В конечном положении (на краю платформы) момент нерции человека

J2 = m2 R2.

Подставим в формулу (2) найденные выражения моментов

инерции, а также выразим начальную угловую скорость вращения
платформы с человеком через частоту вращения n ( = 2 n) и
конечную угловую скорость						Д
						через линейную скорость человека
относительно пола					:
				R
	1							1
		m R2	0 2 n						m R2 m R2											.
2		1					2				1		2					R
После сокращения на R2 и простых преобразований находим
интересующую нас скорость:
		2π n R									m1
									m		2m		.
													И
								1				2
Подставим числовые значения физических величин в СИ и
произведём вычисления:
		2 3,14				1	1,5				180				1		м		.
						6
									180 2 60									с

22