1561
.pdf10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике четыре шара с номером 1, один шар с номером 2 и один шар с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №20
1.Студент может сдавать экзамены не более трех раз. Случайная величина Х – число попыток сдать экзамен. Вероятность сдачи экзамена с первой попытки равна 0,75 и в дальнейшем возрастает на 0,1. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
1 |
3 |
|
|
|
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
Р(х) |
0,1 |
|
|
|
|
|
0,3 |
|
0,25 |
|
0,15 |
|
Найти |
Р2 , функцию распределения |
F(x). Построить |
график |
|||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Случайная величина X задана функцией распределения |
|
|||||||||||
|
|
0, |
|
x 1; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F(x) |
|
|
x |
|
, 1 x 3; |
|
||||
|
|
4 |
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1, |
|
x 3. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,3).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
149
0, x 1;
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
||||
f (x) |
|
|
|
|
, 1 x 1; |
|
|
|
|
|
|||
1 x2 |
||||||
a |
|
|
||||
|
|
0, x 1. |
||||
|
|
|||||
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
1 |
|
|
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5. Найти среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, а вероятность выигрыша одного билета равна 0,1. Найти дисперсию числа успехов в данном опыте.
6.Автобус маршрута № 110 ждут, согласно расписанию, с интервалом 4 минуты. Какова вероятность того, что пассажир, пришедший на остановку, будет ждать: а) менее 2 мин.; б) не менее 1 мин.?
7.Непрерывная случайная величина Х распределена по показа-
тельному закону
0 при |
х 0; |
||
f (x) |
|
|
. |
4е 4 |
х |
при х 0. |
|
Найти вероятность того, что в результате испытаний Х попадет в
интервал (0,2;0,5).
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=10; =2; =11; =13; =5.
9.Диаметр изготавливаемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a=5
150
см и 2 =0,81. Найти вероятность того, что диаметр взятой наугад детали составит от 4 до 7 см.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, один шар с номером 2 и четыре шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №21
1. Дискретная случайная величина Х принимает 3 значения:
x1 <x2 <x3; x1 =1; D[X]=0,76; M[X]=2,2; P(X=x1 )=0,3; P(X=x2
)=0,2. Найти закон распределения случайной величины Х. 2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей,
представленное таблицей
Х |
-1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
Р(х) |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
0,25 |
|
0,3 |
Найти |
Р2 , функцию распределения |
F(x). Построить |
график |
||||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.Случайная величина X задана функцией распределения: |
|
||||||||||||
|
|
0, |
|
x 3; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
F(x) |
|
|
x |
|
, |
3 x 1; |
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1, |
|
x 1. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале ( 1, 0).
151
4.Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
|
0, |
|
x 1; |
|
|
a |
|
|
|
f (x) |
, |
x 1. |
||
|
|
|
||
|
4 |
|||
x |
|
|
|
|
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
1 |
|
|
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5. Игрок покупает лотерейные билеты до первого выигрыша. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,1. Найти математическое ожидание случайной величины Х – числа купленных билетов, если игрок может купить неограниченное (пусть теоретически) число билетов.
6. Азимутальный лимб имеет цену делений 10. Какова вероятность при считывании азимутального угла сделать ошибку в пределах10 , если отсчет округляется до ближайшего целого числа градусов?
7. Вероятность безотказной работы телевизора распределена по показательному закону f (t) 0,002e 0,002t .Найти вероятность того, что телевизор проработал не менее 1000 ч.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=11; =3; =17; =26; =12.
9.Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону распределения с параметрами а=16 км и =100 м. Записать функции распределения и плотности вероятности этой случайной величины и найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами от 15,75 до 16,3 км.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике два шара с номером 1, два шара с номером 2 и два шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные ве-
152
личины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №22
1. Дискретная случайная величина Х – число выигрышных лотерейных билетов, причем один билет выигрывает с вероятностью 0,1. Куплено 4 билета. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
–1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
Р(х) |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
0,3 |
|
0,2 |
Найти |
Р2 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
||||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.Случайная величина X задана функцией распределения |
|
|||||||||||||
|
|
|
0, |
|
x 1; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
F(x) |
|
|
x |
|
, |
1 x 4; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1, |
|
x 4. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,3).
4.Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, x 0;
|
2 |
2x , |
0 x 1; |
f (x) a x |
|
||
|
|
0, |
x 1. |
|
|
153
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
1 |
|
|
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5. 20% изделий, выпускаемых данным предприятием, нуждаются в дополнительной регулировке. Наудачу отобрано 150 изделий. Найти среднее значение и дисперсию случайной величины Х – числа изделий в выборке, нуждающихся в регулировке.
6.Случайная величина X распределена равномерно в интервале2;4 . Найти: а) функцию плотности f x ; б) функцию распределения F x ; в) MX; г) DX. Построить графики функций f x , F x .
7.Установлено, что время ремонта телевизора есть случайная величина Х, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизора составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=12; =5; =17; =22; =15.
9.Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью норамального закона распределения с математическим ожиданием
15 ден.ед и средним квадаратическим отклонением 0,2 ден.ед. Найти вероятность того, что цена акции не выше 15, 3 ден.ед; не ниже
15,4 ден. ед.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и 3 шара с номером 3; во втором ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и три шара с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
154
Вариант №23
1. В первой урне – 4 белых и 6 красных шаров; во второй – 3 белых, 3 красных и 4 черных. Случайная величина X принимает значение 0, если из трех наугад взятых шаров из произвольной урны нет белых; 1, если один белый и один черный; 2 – в остальных случаях. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
Р(х) |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
0,25 |
|
0,2 |
|
0,3 |
|
Найти |
Р2 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
|||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Случайная величина X задана функцией распределения |
|
||||||||||||
|
|
|
0, |
|
x 1; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F(x) |
|
|
x |
|
, 1 x 3; |
|
|||||
|
|
4 |
|
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1, |
|
x 3. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,3).
4.Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
f x |
a |
, x R. |
|
1 4x2 |
|||
|
|
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
1 |
|
|
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
155
5. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 80 попаданий в цель?
6.Интервал движения теплоходов «Москва» на р. Иртыше составляет 3 ч. Дачники подходят к пристани в некоторый момент времени, не зная расписания. Какова вероятность того, что они опоздали на очередной теплоход не более чем на 15 мин.?
7.Исследуется район массовой гибели судов в войне 1939–1945 гг. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска t задается формулой P(t) 1 e 0,04t . Пусть случайная величина Т – время, необходимое для обнаружения очередного судна (в часах). Найти среднее значение Т.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=13; =4; =15; =17; =6.
9.Математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины X равны соответственно трем и четырем. Написать плотность вероятности X. Построить схематически график
fx .
10.В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике три шара с номером 1, два шара с номером 2 и один шар с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №24
1.Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Для первого вероятность попадания равна 0,9, для второго – 0,7. Х –
156
случайная величина, равная суммарному числу попаданий. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
0,2 |
0,3 |
|
|
|
|
0,5 |
|
0,6 |
|
0,7 |
|
Р(х) |
0,1 |
|
|
|
|
|
0,3 |
|
0,15 |
|
0,25 |
|
Найти |
Р2 , функцию распределения |
F(x). Построить |
график |
|||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Случайная величина X задана функцией распределения |
|
|||||||||||
|
|
0, |
|
x 1; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F(x) |
|
|
x |
|
, 1 x 3; |
|
||||
|
|
4 |
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1, |
|
x 3. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,3).
4.Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, x 4;
|
a |
|
|
||
f (x) |
|
|
|
, 4 x 4; |
|
|
|
|
|||
16 x2 |
|||||
|
|
|
|||
0, x 4.
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 4)P 0 X 4 .
5. В магазин отправлены 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,002. Найти среднее число разбитых бутылок; вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.
157
6.Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке3;8 . Запишите плотность распределения этой случайной величины. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
7.Вероятность безотказной работы телевизора распределена по показательному закону f (t) 0,002e 0,002t .Найти вероятность того, что телевизор проработал не менее 1000 ч.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=13; =4; =15; =17; =6.
9.Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону распределения с параметрами а=16 км и =100 м. Записать функции распределения и плотности вероятности этой случайной величины и найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами от 15,75 до 16,3 км.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, три шара с номером 2 и два шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №25
1.Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Для первого вероятность попадания равна 0,9; для второго – 0,7. Х – случайная величина, равная суммарному числу попаданий. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
158