1561

многоугольник распределения вероятностей. Найти и построить F(x).

Найти М(Х),D(X), (X).

Решение.

p2 1 p1 p3 1 0,2 0,3 0,5.

Многоугольник распределения строим, пользуясь данными ряда распределения.

pi

По определению функции распределения F(x) P(X x), имеем x 2, тогда F x P X x 0; 2 x 3, тогда

F x P X x P X 2 P 2 X x P X 2 0,2;

3 x 5,

тогда

F x P X x P X 2 P X 3 0,2 0,5 0,7; x 5,

Тогда

F x P X x P X 2 P X 3 P X 5 0,2 0,5 0,3 1.

0,	если	х 2;
	если	2 х 3;
0,2,
Итак, F(x)	если	3 x 5;
0,7,
	если	х 5.
1,

169

Построим график F(x).

F(x)

Вычислим числовые характеристики случайной величины. Сна-

n

pi .

чала найдём математическое ожидание по формуле М(Х) xi

i 1

M(X) 2 0,2 3 0,5 5 0,3 0,4 1,5 1,5 2,6.

Дисперсию вычислим по формуле D(X) M(X 2 ) M 2 (X).

Чтобы найти

M(X 2 ),

составим закон распределения для

X 2 в

виде таблицы

2

4

9

2

5

0

0

0

i

,2

,5

,3

Тогда M(X 2 ) 4 0,2 9 0,5 25 0,3 0,8 4,5 7,5 12,8.

Получим D(X) 12,8 2,62

12,8 6,76 6,04.

Находим

среднее

квадратическое

отклонение:

(X)

2,46.

D(X)

6,04

Ответ:

M(X) 2,6, D(X) 6,04, (X) 2,46.

3. Случайная величина X задана функцией распределения

170

			0	при	x 1;
	1
	F x		x 1	при	1 x 1 .
		2
			1	при	x 1.

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и интегральной функции распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,1).

Решение.

Функцию плотности находим по формуле f (x) F (x):

	0		при	x 1;
	1
	f x		при	1 x 1;
		2
			при	x 1.
		0

f(x)

F(x)

1

2

Р(0 X 1) F(1)- F(0) 1-	1		1	.
2		2

4.Случайная величина X задана функцией плотности

с x2 2x		при	x 0;1;
f x	0	при	x 0;1.

171

Найти: 1) параметр с; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-

			1
	ние случайной величины X; 4)P	0 X		.
			2

Решение. Параметр с находим исходя из условия нормировки для

функции плотности :

f x dx 1.

0;1

Учитывая,

что

вне

функция

плотности

равна

0, име-

1

ем с x2 2x dx 1.

0

x3

2x2

1

4

Вычислим интеграл, стоящий слева:

с

с

. Учиты-

3

2

0

3

вая, что этот интеграл равен 1, получаем с

4

1

и с

4

. Таким обра-

3

4

3

x

2

2x

при

x 0;1;

зом ,

f x

3

0

при

x 0;1.

Находим математическое ожидание по формуле

MX x f x dx .

2x dx 11.

Имеем MX x 3 x2

1

0

4

16

Дисперсию случайной величины X находим по формуле

DX x2 f x dx (MX)2 .

3 1

2

2

11

2

67

Имеем DX

x

x

2x dx

.

1280

4

0

16

Среднее

квадратическое

отклонение

находим

по

формуле

x

DX

. Имеем x

0,052

0,23.

Функцию

распределения

F x

находим

по

формуле

x

F x f x dx. Учитывая, что она определена на всей числовой оси,

имеем

x

x 0 F x 0 dx 0;

172

	0	3 x		2		3	x3			2
0 x 1	F x 0 dx		x		2x dx				x		;
		4				4		3
			0

x 1		F x					0 dx 3 x2			2x dx 0 dx 1,
				0					1
							4 0			1
Таким образом,
				0,			если			x 0;
	3 x			3		2
F x					x		, если 0			x 1;
	4 3
				1,			если			x 1.

Вероятность принятия случайной величиной X значений на про-

		1								1
						1			3						7
											2		2
межутке	0;			: P	0 X					x				2x dx		0,22.
		2				2			4						32
										0

5.Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин., равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин. поступит 2 вызова.

Решение. Случайная величина Х – поток вызовов распределена по закону Пуассона. Вероятность к вызовов за промежуток времени t определяется формулой

	Р t	at к	е at .
		к!
	к

По условию, а = 2, t = 5, к = 2.

Тогда Р2 5 2 5 2 е 2 5 0,000225. 2!

Это событие практически невозможно.

6. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину X, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения f (х)=1/(b–а), где (b–а) – длина интервала, в котором заключены возможные значения X; вне этого интервала f (х) = 0. В

173

рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому

0	при - x 0;
	х при	0 x 0,1;
F(x) х/0,1 10
	при	1 x .
1

Ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02, 0,08).По формуле Р (а < x < b) = F(a)–F(b) получим

Р(0,02 < x <0,08) = F(0,08)–F(0,02) = 10∙0,08 – 10∙0,02 = 0,6.

7.Продолжительность безотказной работы элемента Т – случайная величина, распределенная по показательному закону, заданная плотностью распределения вероятностей f (t) 0,01e-0,01t , (t 0 ), где t –

время,ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно не менее 100 ч.

Решение. Продолжительность безотказной работы элемента не менее

t часов определяется с помощью	функции надежности
R(t) P(T t) 1- P(T t) 1- F(t), глее	F(t) – функция распреде-
x
ления. Для случайной величины Т, распределенной по показательно-
му закону, F(t) 1 e t , поэтому R(t) e t .

Искомая вероятность того, что данный элемент проработает безотказно не менее 100 часов, равна R(100) e 0,01100 e 1 0,3678.

8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .

а=15; =2; =16; =25; =2.

Решение.

Найдем вероятность попадания случайной величины Х в интервал ( ; ), применив формулу

		a			a
	P X Ф			Ф		.

Учитывая, что а=15; =2; =16, имеем

174

	25 15		16 15
P 15 X 25 Ф			Ф				Ф(5) Ф(2)
	2			0,2

0,5 0,4773 0,0227.

2) Найдем вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше , по формуле

Р(		Х а			) 2Ф			. Учитывая, что =2, имеем
						2
Р(		Х а			4) 2Ф				2Ф(1) 2 0,3413 0,6826.
						2

9. На станке изготавливают шарики для подшипников. Номинальный размер диаметра шарика 5 мм. Фактический размер диаметра шарика вследствие неточности изготовления представляет собой случайную величину Х, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием а 5мм и средним квадратическим отклонением0,05мм. Найти процент шариков для подшипников, которые будут иметь диаметр от 4,8 до 5 мм.

Решение. Найдем вероятность попадания случайной величины Х в интервал (4,8;5,0), применив формулу

		a			a
	P X Ф			Ф			.Учитывая,
			x

0,05мм., 4,8,			5, имеем
5 5				4,8 5
P 4,8 X 5 Ф				Ф				Ф(0)
0,05				0,05
0 0,4999

.

что а 5мм,

Ф( 4) Ф(0) Ф(4)

Это означает, что практически 50% изготавливаемых шариков будут иметь размер диаметра от 4,8 до 5 мм.

10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и 3 шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х

– номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таб-

175

лицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции. Решение. Так как Х – номер шара, вынутого из первого ящика, Y – номер шара, вынутого из второго ящика, то возможные значения случайных величин будут 1, 2 и 3.

Вероятности Рij вычисляем по формуле рij P(X xi ; Y yj ). Так как шаров в первом ящике всего 6, а с номером 1 ровно один

шар, во втором ящике 2 шара с номером 1 из 6, то

		р P(X 1; Y 1)			1			1							1			.
		11	6			3								18
Аналогично
		р22 Р(Х 2;Y 2)					1					1					1		…
						3					2			6
	Y	1	2			3													qj
	X
	1	1	1			1					6					1
		18	9													3
	2	1	1			1					4					1
		12	6													2
	3	1	1			1										1
		30	18			12										6
	рi	1	1			1					2								–
		6	3

По таблице распределения вероятностей системы случайных величин (X,Y) составим законы распределения случайных величин, входящих в систему. Распределение случайной величины для Х получаем, складывая числа в вертикальных столбцах, а для Y – в горизонтальных строках.

Х	1	2	3
pi	1/6	1/3	1/2
Y	1	2	3
qj	1/3	1/2	1/6

176

M Х m 1			1		2		1		3		1		2		1		;
x	6				3					2			3
M Y my	1	1		2		1		3		1		1		5		;
										6
	3				2								6

D X M (X mx )2 M X 2 mx2 ;

D X 1 1 4 1 9 1 (21)2 5;

	6		3			2					3			9
D(Y) 1	1	4	1		9		1	(1			5	)2		17		;
			2								6			36
	3					6
M XY x y p 1 1 1						2 1 1 3 1 1
n m
i j ij
			18			9								6
i 1j 1

1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 77; 12 6 4 36 18 12 18

Kxy M(XY) mxmy	4		5	2		1	1	5		77		77	0;
								6
	18				3				18		18
xy		Kxy			0.
	x y

Такой результат имеет место, так как Х и Y независимы по условию.

Библиографический список

1.Баранова Е.С. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты: учебное пособие/ Е.С. Баранова, Н.В. Васильева, В.П. Федоров – СПб.:

Питер, 2008. – 320 с.

2.Галушкина Ю.И. Конспект лекций по дискретной математике/Ю.И. Галушкина – М.: Айрис-пресс, 2007.– 176 с.

3.Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов: учеб. пособие для студ. учеб. заведений / В.И.Игошин. – М.: Издательский центр «Академия», 2006. – 304 с.

4.Карасева Р.Б. Высшая математика дистанционно: учебное пособие/Р.Б. Карасева – Омск: Изд-во СибАДИ, 2004.– Ч. 1. – 148 с.

177

5.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2 т./ Н.С. Пискунов –М.:Интеграл-Пресс, 2002.– Т. I: – 416 с.

6.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2 т./ Н.С. Пискунов –М.:Интеграл-Пресс, 2002.– Т. II: – 544 с.

7.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс/ Д.Т. Письменный – М.: Айрис-пресс, 2005.– 608 с.

8.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам/ Д.Т. Письменный – М.: Айрис-пресс, 2008.– 288 с.

9.Руппель Е.Ю. Курс высшей математики. Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Элементы теории рядов: учебное пособие/Е.Ю. Руппель – Омск: Изд-во СибАДИ, 2001. – 228 с.

10.Сборник типовых расчетов по высшей математике: учебное пособие/Под ред. В.Б.Миносцева.–М.:МГИУ, 2004.–582 с.

178