то	24	1,5	2	≤ σ ≤	24 1,5	2	или 1,22 ≤ σ ≤ 1,98	– эта оценка не сим-
	36,4				13,8

метрична относительно σ.

§ 5. Статистическая проверка статистических гипотез

Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода и осуществляемое с помощью того или иного статистического критерия, называется проверкой статистических гипотез.

Определение. Статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения генеральной совокупности или о параметрах известных распределений.

Определение. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипоте-

значение некоторого неизвестногоАпараметраДгенеральной совокупности в точности равно заданной величине, то эта гипотеза называется простой. В других случаях гипотеза называется сложной.

зу Н0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, ко-

торая противоречит нулевой.	И
Если выдвигаемая гипотеза сводится к утверждению о том, что

справедливости основнойибг потезы Н0 (табл.11).

Выдвинутая нулевая гипотеза может быть правильной или непра-

вильной, поэтому возн кает нео ходимость статистической проверки С

Так как проверка стат ст ческих гипотез осуществляется на основании выборочных данных, то решение неизбежно сопровождается вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону.

В какой-то небольшой доле случаев нулевая гипотеза может ока-

заться отвергнутой, в то время как она справедлива. Такую ошибку называют ошибкой первого рода, а её вероятность – уровнем значимо-

сти α. Другими словами, это та вероятность, которой можно пренебречь.

Наоборот, в какой-то небольшой доле случаев нулевая гипотеза принимается, в то время как на самом деле она ошибочна. Такую ошибку называют ошибкой второго рода. Вероятность ошибки второго рода р. Вероятность 1– р называют мощностью критерия.

117

			Таблица 11
Нулевая	Результаты решения относительно Н0
гипотеза Н0	Отклонена		Принята
Верна	Ошибка 1-го рода, её ве-		Правильное решение, его веро-
	роятность		ятность
	Р(Н1/Н0) = α		Р(Н0/Н0) =1– α
Неверна	Правильное решение,	его	Ошибка 2-го рода, её вероят-
	вероятность		ность
	Р(Н1/Н1) =1– р		Р(Н0/Н1) = р

Для проверки нулевой гипотезы пользуются специально подобранной случайной величиной, распределение которой известно. В общем случае её обозначают К – критерий согласия, устанавливающий, когда полученное в действительности указанное отклонение следует принять несущественным, а когда существенным. Критерий К является функцией от результатов наблюдения.

Пример. Пусть Н0 заключается в том, что математическое ожидание генеральной совокупности а = 3. Тогда возможные варианты

Н1: а) а ≠ 3; б) а > 3; в) а < 3.	И
Основной прием проверки статистических гипотез заключается в

ний критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятия гипотезы – область значений критерия, при которых гипотезу принимают.

том, что по имеющейся выборке вычисляется значение некоторой
		Д
случайной величины, имеющей известный закон распределения.
Определение. Статистическим критерием называется случай-
ная величина К с звестным закономАраспределения, служащая для
проверки нулевой г потезы.
	б
Определение. Кр т ческой областью называют область значе-
и
С

Поскольку критерий К – одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

Критическими точками (границами) kкp называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К > kкp, где kкp – положительное число.

118

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < kкp, где kкp – отрицательное число.

Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую область.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами К < k1; К > k2, где k2 > k1.

Для отыскания критической области, как было сказано выше, задаются уровнем значимости α. Критическую точку находят исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы выполнялись равенства:

а) для правосторонней критической области

Р(К > kкр) = α (kкр > 0);

б) для левосторонней критической области

1.Выбирается статистический критерийДИК.

2.Вычисляется его значениеАКвыб по имеющейся выборке.

3.Поскольку закон распределения К известен, определяется (по известному уровню значимостиб) критическое значение Ккр, разделяющее критическую о ласть и о ласть принятия гипотезы (например, если P(К > Ккр)и= α, то справа от Ккр располагается критическая область, а слева – область пр нятия гипотезы).

4.Если вычисленноеС значение Квыб попадает в область принятия гипотезы, то нулевая г потеза принимается, если в критическую область – нулевая гипотеза отвергается.

§6. Критерий Пирсона для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины

С помощью критерия Пирсона можно проверять гипотезы о различных законах распределения. Для данного критерия в качестве величины, характеризующей степень различия между теоретическим и выборочным законами распределения, выбирается статистика

К = χ 2	l	(n	i	− n )2
	= ∑			i	,	(3.8)
	i=1			ni

которая учитывает расхождения между теоретическими ni и выбо-

119

рочными ni частотами. Эта случайная величина называется χ 2 («хи

квадрат») статистикой Пирсона. Смысл ее очевиден: суммируются квадраты отклонений эмпирических частот от теоретических. Целью исследования является сравнение эмпирических и теоретических частот, которые, конечно, отличаются друг от друга. В дальнейшем следует выяснить, являются ли эти различия несущественными, не опровергающими гипотезу о выбранном законе распределения исследуемой случайной величины или они настолько велики, что противоречат этой гипотезе.

Можно доказать, что вне зависимости от реального закона распределения генеральной совокупности закон распределения случайной величины при n → ∞ стремится к закону распределения с числом степеней свободы k = l – 1 – r, где r – число параметров предполагае-

мого распределения, оцененных по данным выборки; l − число интервалов. Для выбранного критерия строится критическая область, определяемая условием

Р(χвыб

2 < χкрит2

(l;α))

= α ,

где α – уровень значимости.

И

Следовательно, критическая

область

задается

неравенством

2

2

Д

2

2

χвыб

< χкрит (l;α ), а область принятия гипотезы χвыб

< χкрит (l;α ).

Таким образом, для проверки нулевой гипотезы Н0 генеральная

А

совокупность распределена по вы ранному закону – нужно вычислить

по выборке наблюдаемое значение критерия:

б

(n

− n )2

2

l

,

χвыб =

∑

i

i

и

i=1

ni

С

а по таблице критических точек распределения χ 2 найти критическую точку χкрит2 (l;α ), используя известные значения α и k = l – 1–r.

Если χвыб2 < χкрит2 (k;α) нулевую гипотезу принимают, при

χвыб2 > χкрит2 (k;α) ее отвергают.

Замечание. Число параметров распределения r, оцененных по данным выборки для нормального и равномерного распределений равно двум, а для показательного – одному.

Из вышесказанного следует, что для проверки данной гипотезы Н0 необходимо найти теоретические и эмпирические частоты.

120

Пусть получена выборка достаточно большого объема n с большим количеством различных значений вариант. Для удобства её обработки разделим интервал от наименьшего до наибольшего из значений вариант на k равных частей по методике, предложенной в § 2. Будем считать, что значения вариант, попавших в каждый интервал, приближенно равны числу, задающему середину интервала. Подсчитав число вариант, попавших в каждый интервал, составим так называемую сгруппированную выборку (табл. 12).

Таблица 12

Варианты xi

~

~

…

~

х1

х1

хk

Частоты ni

n1

n2

…

nk

~

xi + xi+1

Примечание. хi =

И

2

– значения середин интервалов, а ni – число ва-

риант, попавших в i-й интервал (эмпирические частоты).

Д

По полученным данным можно вычислить выборочное среднее

х и выборочное среднее квадратическое отклонение σ . Тип закона

в А в

определим по построенной гистограмме или из общих соображений. Например, ошибки измерений в основном распределены по нормальному закону, а надежность езотказной работы прибора – по показательному. Для проверки предположения, что генеральная совокупность распределена по вы ранному закону с параметрами M[X]= хв ;

D[X]=σ 2 , необход мо выч сл ть теоретические частоты по формуле
в	б
	x	ni = pi n,
	иi+1	(x)dx – вероятность попадания в i-й ин-
где pi = pi (xi < X < xi+1 )= ∫ f
	xi
тервал; n – объемСвыборки.
Здесь и далее	f (x) − функция плотности распределения вероят-

ностей случайной величины Х выбранного закона распределения. Для простоты вычислений можно воспользоваться приближенной формулой вычисления определенного интеграла

		pi = pi (xi		xi+1		~	~
				< X < xi+1 )= ∫	f (x)dx = f (xi ) (xi +1		− xi )= f (xi ) h , (3.9)
			xi + xi+1	xi
	~
где	хi =			.
			2

121

Рассмотрим практические приёмы нахождения теоретических вероятностей и теоретических частот для основных законов распределения.

1. Нормальный закон распределения.

Функция плотности распределения задается формулой

−(x−х )2

1

в

1

х − хв

f (x) =

2σв

2

e

=

σв

2π

σв

ϕ

.

σв

График функции f (x) называют нормальной кривой или кривой Гаусса (рис. 3.3).

И

Д

А

б

Рис. 3.3. Кривая Гаусса

Тогда вероятности pi выч сляются по формуле

С

xi+1

хi+1 − xв

хi

− xв

pi = pi

(xi <

X < xi+1 )=

,

∫ f (x)dx = Ф

σ

в

− Ф

− z2

иxi

σв

где

Ф(х) =

1

х

е

dz – функция

Лапласа, её

значения

находят по

∫

2

2π

прил. 2.

0

Чаще всего пользуются приближенной формулой

xi+1

1

~

хв

pi = pi (xi < X < xi+1 ) =

∫ f (x)dx

=

хi −

∆,

σ в

ϕ

σ в

х2

xi

1

е−

где ϕ(х) =

2

– табулированная функция (см. прил. 1).

2π

122

Умножив полученные вероятности на объем выборки n, найдем теоретические частоты: ni = pi n .

2. Равномерный закон распределения.

При использовании критерия Пирсона для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности с предполагаемой плотностью вероятности

0,			x [a,b];
		1
f (x) =				, x [a,b]
		− a
b

необходимо, вычислив по имеющейся выборке значения хв и σв2 , оценить параметры а и b (рис. 3.4).

И

f(x)

Д

а

А

х

b

б

2

Рис. 3.4. График функции плотности равномерного распределения

и

Действительно, так

как для равномерного распределения

M (X ) = a + b

С

(a − b)

= a −

b

и σ (X ) =

D(X )

=

, то оценки пара-

2

12

2

3

метров a и b – концов интервала, в котором наблюдались возможные

значения случайной величины Х, находим из системы, где через a и

b		обозначены оценки соответствующих параметров равномерного
распределения.
		b		+ a			= хв ;
				2
							(3.10)
		b		− a			= σв .
			2	3

Решая систему уравнений, получим

a = хв − 3σв ; b = хв + 3σв .

123

Тогда теоретическое распределение будет иметь вид

0,			x [a ,b ];
f (x) =			1		, x [a		,b ].
			− a
b
Вероятности pi вычисляются по формуле
pi = pi (xi < X < xi+1 )= xi∫+1f (x)dx = xi∫+1						1		dx =	xi+1 − xi
						b − a			b − a
xi			xi

= b ∆ a .

−

Умножив полученные вероятности на объем выборки n, найдем теоретические частоты: ni = pi n .

3. Показательный закон распределения.

Функция плотности определяется формулой

0, x < 0;

И

f (x) =

λe−λx , x ≥ 0.

1

Д

хв и σв2 ,

Вычислив по имеющейся выборке значения

необходимо

оценить параметр λ. Для показательного распределения

M (X ) =

1

.

А

λ

Следовательно, в качестве оценки

параметра

λ возьмём величину

λ

=

. Тогда теоретическое распределение будет иметь вид (рис. 3.5).

хв

и

0,

x < 0;

С

бf (x) =

−

1

x

1

e

х

в ,

x ≥ 0.

хв

λ

Рис. 3.5. График функции плотности равномерного распределения

124

Вероятности pi вычисляются по формуле

xi+1

xi+1

1

−

1

x

−

1

xi

−

1

xi+1

х

х

х

pi

= pi (xi < X < xi+1 ) = ∫ f (x)dx

= ∫

e

в

dx = e

в

− e

в

.

хв

xi

xi

Чаще всего пользуются приближенной формулой

pi = pi (xi < X < xi +1 ) = xi∫+1f (x)dx

1 ~

1

e−

xi ∆,

=

хв

xi + xi +1

xi

хв

~

где хi =

.

2

Тогда теоретические частоты вычисляются по формуле

ni = pi

n ,

где n – объем выборки.

И

§ 7. Примеры проверки гипотез о законе распределения

Д

выборочных данных

Пример 1. Для определения надежности металлорежущих станков на заводе фиксировались значения наработки на отказ (время τ непрерывной работы до первого отказа). Полученные данные для τ (в месяцах) приведены в та л. 13.

				2,1А5,0					Таблица 13
3,0	3,6	4,4	1,3			4,9	6,0	1,1	2,3
5,9	3,6	1,3	3,7	4,9	5,6	1,3	2,0	4,3	1,9
4,0	3,7	5,3	4,2б2,5		2,7	3,6	4,8	6,0	1,7
2,5	4,9	3,2	4,0	4,3	2,8	3,8	1,0	4,2	4,8
4,9	5,0	1,9	2,6	1,7	6,0	5,7
			и

1. СоставитьСвыборочное распределение.

2. Построить гистограмму и график выборочной функции распределения.

3. Найти состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии.

4. Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р = 0,95.

5. На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть гипотезу о законе распределения и проверить справедливость гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α = 0,05.

125

Решение

1. Первый этап статистического изучения вариации − построе-

ние вариационного ряда [упорядоченного распределения единиц совокупности по возрастающим (чаще) или по убывающим (реже) значениям признака] и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака. Для этого сначала построим ранжированный ряд. Ранжированный ряд – это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания (убывания) изучаемого признака (табл. 14).

Таблица 14

	xi	1,0	1,1	1,3	1,7	1,9	2,0		2,1	2,3	2,5	2,6	2,7	2,8
	ni	1	1	3	2	2	1		1	1	2	1	1	1
	xi	3,0	3,2	3,6	3,7	3,8	4,0		4,2	4,3	4,4	4,8	4,9	5,0
	ni									И
		1	1	3	2	1	2		2	2	1	2	4	2
	хi	5,3	5,6	5,7	5,9	6,0
								Д
	ni	1	1	1	1	3

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величи-

ны с соответствующими частотами или частностями попаданий в ка-
	б
ждый из них значений величины.
Для его построения выполняем следующие действия:
и
1. Найдем размах вы оркиА
Имеем R = 6,0 −1,0 = 5,0 .		R = xmax − xmin .
2. Определим длину частичного интервала. ∆ – шаг разбиения по
формуле Стерджеса:
С			R	R
	∆ ≈			= k ,
			1+ 3,322lg n

где n − объём выборки; k – число частичных интервалов. Т.к. n = 47 ,

то k =1 + 3,322log 47 ≈ 7 ;				∆ = 5 = 0,7 .
				7
				хi = хi−1 + i∆ ,
где i = 0,1, ,n ; х0	= хmin −	∆	; хn = хmax +		∆ .
		2			2

3.Подсчитаем число элементов (частот) выборки, попадающих

вкаждый интервал. Очевидно, n1 + n2 + ... + nm = 47.

Строим интервальный статистический ряд (табл. 15).

126

																								Таблица 15
(хi ; хi+1 )			[1,0;1,7)			[1,7;2,4)			[2,4;3,1)			[3,1;3,8)				[3,8;4,5)				[4,5;5,2)					[5,2;6,0)
ni			5			7			6			6				8				8					7
ω	i	= ni		5			7			6			6				8					8				7
		n	47			47			47			47				47				47					47
		Элементы третей строки называются относительными часто-
тами попадания в интервал. Очевидно,														n1	+	n2		+ . . . +			nm			= 1.
																					n
														n		n

2. Построение гистограммы плотностей относительных частот.

Построим гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат

частичные интервалы длиной												∆ = 0,7 ,				а высоты равны отношению
h* =		p*														И
			i		. Площадь всей гистограммы должна быть равна 1. Гисто-
i		∆
грамма является оценкой генеральной функции плотности f(x).
	Полученные значения высот вносим в табл. 16.
												А										Таблица 16
							б
		i			[аi ;ai+1]			p				*	p			~	xi + xi+1			x n			x	n
									*					*	Дx =					~			~2
								i				hi =	i							i	i		i	i
						ni							∆			i		2
	1				[1,0;1,7)	5		5				0,11				1,35				6,75			9,1125
					С		47
							47
	2				[1,7;2,4)	7		7				0,15				2,05				14,35			29,4175
							47
						и
	3				[2,4;3,1)	6 6						0,13				2,75				16,5			45,375
								47
	4				[3,1;3,8)	6		6				0,13				3,45				20,7			71,415
	5				[3,8;4,5)	8		8				0,17				4,15				33,20			137,78
							47
	6				[4,5;5,2)	8		8				0,17				4,85				38,8			188,18
							47
	7				[5,2;6,0)	7		7				0,15				5,6				39,2			219,52
							47
					∑ = 47	∑ = 1														169,02			697,48
				*														~		− середина частич-
	Примечание. hi					−плотность относительной частоты; xi

ных интервалов; * – определяет эмпирические значения.

127

Строим гистограмму относительных частот. По виду гистограм-
мы (рис. 3.6) подбираем подходящий для данного случая теоретиче-
ский закон распределения.
0,17
0,15
0,13
0,11
1,0	1,7		2,4	3,1		3,8	4,5	5,2	6,0	х
	Рис. 3.6. Гистограмма относительных частот
							И
Сравниваем гистограмму с теоретическими кривыми основных
законов (нормальный, показательный, равномерный).
						Д
По виду гистограммы можно выдвинуть гипотезу о равномерном
законе распределения случайной величины X.
					А
3. Нахожден е состоятельных несмещенных оценок математи-
ческого ожидания			д сперс и. Найдем оценки					математического
ожидания а и дисперс			б
			D.
Основными параметрами генеральной совокупности являются
		и						М(Х) и среднее
математическое ожидание (генеральная средняя)
квадратическое отклонение s . Это постоянные величины, которые
можно оценитьСпо выборочным данным. Оценка генерального пара-
метра, выражаемая одним числом, называется точечной.
Точечной оценкой генеральной средней а является выборочное
среднее. Выборочным средним называется среднее арифметическое
всех значений величины, встречающихся в выборке.
Если выборочное среднее вычисляется по несгруппированным
данным, то для его определения сумму всех значений делят на коли-
чество элементов в выборке. В данном случае определяем по сгруп-
пированным данным (см. табл. 16):

128

l

~

n

*

∑ x

а ≈ x

=

i=1

i

i

= 169,2 = 3,6;

в

n

47

l

~

2

*

2

∑

(xi − xв )

ni

1

l

~2

2

697,48

2

i =1

σ

≈ D =

=

∑ n

x

− (xв )

=

− 3,6

= 1,88,

n

48

т.е.

в

n i =1

i

i

1

l

D

=

~2

2

1,88.

∑ n

x

− (xв ) =

в

n i=1

i

i

Согласно определению, исправленной выборочной дисперсией

называется произведение выборочной дисперсии на величину

n

.

n −1

И

Следовательно, исправленная дисперсия равна

s2 =

47

1,88 = 1,92,

46

т.е. исправленное выборочное

среднеквадратическое

отклонение

s = 1,3856 .

А

4.

Построим

доверительный

интервал

для математического

s

Д; х + t

s

б

ожидания по формуле I

=

х

− t

.

p

p

в

γ

n

в

γ

n

и

Ввиду большого о ъема вы орки можно считать, что распределение Стьюдента бл зко к нормальному закону. По таблице значений

функции Лапласа найдем (см. прил. 2) tγ = 1,96, тогда
I		3,6	−1,96	1,4	; 3,6	+1,96	1,4
	=			6,8			6,8	или I = (3,2;4).

Доверительный интервал для дисперсии построим по формуле
С	(n −1)s2	≤ D ≤	(n −1)s2	.
	χ 2		χ 2
	2		1

α = 1 − p = 1 − 0,95 = 0,05.

Найдем значения χ12 и χ22 .

P(χ 2 > χ12 ) =1− α2 = 0,975;

P(χ 2 > χ22 ) = α2 = 0,25.

По прил. 4 найдем

129

χ12 (0,975;46) = 16,8; χ22 (0,025;46) = 47,0.

Тогда

	(n −1)s2	=	46 1,92	= 1,89	,	(n −1)s2	=	46 1.92	= 5,2 .
	χ 2		47,0			χ 2		16,8
	2					1

Таким образом, доверительный интервал для дисперсии будет иметь вид (1,89;5,2).

5. Вид гистограммы позволяет выдвинуть гипотезу о равномерном законе распределения исследуемой случайной величины Х.

Найдем выравнивающую кривую. Функция плотности нормаль-

0,

x [a,b];

ного распределения имеет вид

1

f (x) =

, x [a,b].

− a

b

Поскольку M (X ) = a + b

и σ (X ) =

=

(a − b)2

= a −

b

, то

D(X )

12

3

2

А

2

оценки параметров a и b – концы интервалаИ, в котором наблюдались

возможные значения Х, находим из системы (через a и b обозна-
чены оценки параметров)	б				Д
и		b	+ a
						= x			;
			2					B
С		b	− a
						= σ B .
				3
		2

Решая систему уравнений относительно a

и b

, получим

a =

−

σ B ;

b =

+

σ B .

xB

3

xB

3

Тогда теоретическое распределение для данных значений пара-

метров примет вид

x [a,b];

0,

1

f (x) =

, x [a,b],

− a

b

где

a =

−

σ = 3,6 −

1,3856 =1,18;

xB

3

3

b =

+

σ = 3,6 +

1,3856 = 5,52.

xB

3

3

130

Таким образом, получено теоретическое распределение

0, x (1,18;5,52); f (x) = 0,23, x [1,18;5,52].

Проверим гипотезу о равномерном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона. В качестве меры расхождения между теоретическим распределением f (x) и эмпирическим распре-

делением f		(x) используем		χ 2	l	(n − np	i	)2
			статистику		= ∑	i			, где n –
						npi
					i=1

число опытов; pi – вероятность попадания возможных значений слу-

чайной величины в i -й разряд статистического ряда; l– число разрядов.

Теоретические вероятности находим по формуле

																	xi						xi						1				dx ;
														p	i	=		∫ f (x)dx			= ∫
																										b			− a
																	x						x
																	i−1				Д
																							i−1
	p		=	х2		0,23dx					=	1,7					=0,23x			1,7		=			0,1196;
				∫								∫ 0,23dx
	1				∫								∫						А									И
				а							1,18						2,4
	p	2	= p				= p		4	= p			= p =					∫ 0,23dx =0,23x											2,4 = 0,161;
				3								5				6	1,7												1,7
				b									5,52								5,52
	p		=					0,23dx				=		0,23dx =0,23x											= 0,0736 .
	7			xn−1									5,2								5,2
	Вычисления сведем вбтабл. 17.
												и																							Таблица 17
	(xi ; xi+1 )					[1.0;1.7)						[1.7;2.4)					[2.4;3.1)					[3.1;3.8)									[3.8;4.5)				[4.5;5.2)	[5.2;6.0)
	ni					5						7					6					6									8				8	7
								С
	pi																0,161					0,161									0,161				0,161	0,0736
						0,1196						0,161
	npi					5,6212						7,567					7,567					7,567									7,567				7,567	3,4592
	ni − npi					-0,6212						-0,567					-1,567					-1,567									0,433				0,433	3,5408
	(ni − npi )2					0,38						0,32					2,46					2,46									0,19				0,19	12,53
	χвыб2			=		0,38			+		0,32 +				2,46			+	2,46 +				0,19				+			0,19			+	12,53 = 4,44 .
						5,62									7,56							7,56							7,56
											7,56								7,56															3,45

Согласно теореме Пирсона, при n → ∞ распределение величины χ 2 зависит от параметра k , который называют числом степеней сво-

131

боды. k = l – 1 – r, где r – число параметров предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки, l – число интервалов. Число степеней свободы k = 7 −1− 2 = 4 . Выберем уровень значимости

α = 0,05 и по таблице квантилей χ 2 -распределения для числа степеней свободы k = 4 и уровня значимости α = 0,05 ( см. прил. 4) на й-

дем критическое значение χ 2 (0,05;4) = 9,5; так как наблюдаемое зна-

чение оказалось меньше табличного значения, то можно сделать вывод: выдвинутая гипотеза о равномерном законе распределения не противоречит опытным данным. Следовательно, гипотезу о равномерном распределении генеральной совокупности принимаем.

Пример 2. Произведен выбор 100 проволок и проведены испытания их на прочность. В табл. 18 приведены разрывные усилия проволок (Н/мм2), полученные при испытаниях.

Первоначальную длину интервала при группировке взять равной

10 Н/мм2.						Д			Таблица 18
221	233	175	215		235	260	201	234	211	237
							И
200	254	245	207		243	251	210 245		250	223
223	265	285	239		195	250	245	227	231	256
244	213	257	243		225	242	254	238	241	261
248	275	224	273		243	282	235	264	280	248
251	212	247	198		232	233	236	244	225	234
			и		241А233
240	237	235	258				232	263	305	243
223	231	253	201		233	231	220	245	255	219
				б
262	251	250	215	228		257	229	221	244	284
252	245	265	232	248		221	242	226	247	239

1. Составить выборочное распределение.
2. Построить гистограмму и график выборочной функции рас-
пределения.	С

3. Найти состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии.

4. Построить доверительные интервалы для математического

ожидания и дисперсии с уровнем доверия γ=0,95.

5. На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть гипотезу о законе распределения и проверить справедливость гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α = 0,05.

Решение

1. Сначала построим ранжированный ряд. Ранжированный ряд –

132

это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания (убывания) изучаемого признака (табл. 19).

Таблица 19

xi		175	195	198	200	201		207	210	211	212	213
ni		1	1	1	1	1		1	1	1	1	1
xi		215	219	220	221	223		224	225	226	227	228
ni		2	1	1	3	3		1	2	1	1	1
xi		229	230	231	232	233		234	235	237	238	239
ni		1	1	3	3	4		2	3	3	1	2
xi		240	241	242	243	245		247	244	245	247	248
ni		1	2	2	4	5		2	3	5	2	3
xi								Д
		248	250	251	252	253		254	255	256	257	258
						А
ni		2	2	1	1	1		2	И2 1		1	1
xi		260	261	262	263	264		265	273	275	280	282
ni		1	2	1	1	1		2	1	1	1	1
xi		284	305	и
					б
ni		1	1
	Для построения интервального вариационного ряда выполняем
следующие действия:
	1. Длина частичногоС				интервала ∆ задана и равна 10.

хi = хi−1 + i∆ ,

где i = 0,1, , n; х0 = хmin − ∆2 ; хn = хmax + ∆2 .

2.Подсчитаем число элементов (частот) выборки, попадающих

вкаждый интервал. Очевидно, n1 + n2 + ... + nk = 100 .

Строим интервальный статистический ряд (табл. 20).

133

									Таблица 20
(хi ; хi+1 )				[180;190)	[190;200)	[200;210)	[210;220)	[220;230)		[230;240)
ni				1	2	3	7	14		22
ωi	= ni			0,01	0,02	0,03	0,07	0,14		0,22
	n
(х ; х		)		[240;250)	[250;260)	[260;270)	[270;280)	[280;290)		[290;300)
i	i+1
ni				22	15	8	2	3		1
ωi	= ni			0,22	0,15	0,08	0,02	0,03		0,01
	n
	2.		Построение гистограммы плотностей относительных час-

тот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основа-
																		Д						∆ , а высоты
ниями которых служат частичные интервалы длиной
равны отношению h =						pi*		=				pi*			.						И
			i			∆						10
	Полученные значения высот вносим в табл. 21.
							б																		Таблица 21
	[аi ;ai+1]				*											p*			~	x	+ x +		~		~		2
				и							*					i				i	i 1
i													=						xi =				x n			x n
				p					h												2
		ni		i						i			А∆										i	i		i		i
1	[180;190)	1		0,01					0,001									185					185		34225
		С
2	[190;200)	2		0,02					0,002									195					390		76050
3	[200;210)	3		0,03					0,003									205					615		126075
4	[210;220)	7		0,07					0,007									215					1505		323575
5	[220;230)	14		0,14					0,014									225					3150			708750
6	[230;240)	22		0,22					0,022									235					5170			1214950
7	[240;250)	22		0,22					0,022									245					5390			1320550
8	[250;260)	15		0,15					0,015									255					3825			975375
9	[260;270)	8		0,08					0,008									265					2120			561800
10	[270;280)	2		0,02					0,002									275					550			151250
11	[280;290)	3		0,03					0,003									285					855			243675
12	[290;300)	1		0,01					0,001									295					295			87025
		∑= 100		∑ = 1																			240500			5823300

134

Строим гистограмму по данным 5-го столбца табл. 21.

hi٭∙100

2,22

1,5

1,4

0,8

0,7

0,3

0,1

180

190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290300

х

Рис. 3.7. Гистограмма плотностей относительных частот

И

По виду гистограммы (рис. 3.7) подбираем подходящий для дан-

ного случая теоретический закон распределения.

Д

Сравниваем гистограмму с теоретическими кривыми основных

законов (нормальный, показательный, равномерный). По виду гисто-

граммы можно выдвинуть гипотезуАо нормальном законе распределе-

ния случайной вел ч ны X.

б

3. Нахожден е состоятельных несмещенных оценок математи-

ческого

ожидания

д сперс и.

Найдем оценки

математического

ожидания а и дисперсиииD.

Са ≈ x

l

~

n

*

∑ x

i

i

= 24050 = 240,5;

= i=1

в

n

100

l

~

− xв )

2

*

2

∑

(xi

ni

1

l

~2

2

5823300

2

σ

≈ Dв =

n

=

∑ ni xi

− (xв ) =

100

− 240,5

=

= 392,75,

n i=1

т.е.

1

l

− (x

D =

~2

2

∑ n

x

в ) = 392,75.

в

n i=1

i

i

135

Согласно определению, исправленной выборочной дисперсией

называется произведение выборочной дисперсии на величину n , n −1

т.е. исправленная дисперсия равна

s2 = 10099 392,75 = 396,7 ,

аисправленное выборочное среднеквадратическое отклонение

s= 19,8173.

4.Построим доверительный интервал для математического

ожидания по формуле

I p

хв

− tγ

σ

; хв + tγ

σ

=

.

n

n

Ввиду большего объема выборки можно считать, что распределе-

ние Стьюдента близко к нормальному закону. По таблице значений

функции Лапласа найдем tγ = 1,96 (см. прил. 2), тогда

−1,96

19,8

;240,5

+1,96

19,8

I =

(236;244).

I p = 240,5

10

10

или

Доверительный интервал для дисперсииИпостроим по формуле

s2 (1− q)2 < D < s2

(1+ q)2 при q<1;

0 < D < s

2

(1

2

Д

+ q) при q>1.

Найдем доверительный интервал для D при заданной надежности

А

γ = 0,95. По прил. 5 наход м q (n =

100; γ = 0,95) = 0,143. Следова-

тельно, границы довер

тельного интервала: 396,7(1– 0,143)2 = 293,1 и

396,7(1+0,143) = 518,27.

б

Итак, 293,1 < D < 518,27 с вероятностью 0,95.

и

5. Вид гистограммы позволяет выдвинуть гипотезу о нормаль-

ном законе распределения исследуемой случайной величины Х.

ПроверимСгипотезу о нормальном распределении генеральной

совокупности по критерию Пирсона. В качестве меры расхождения

между теоретическим распределением f (x) и эмпирическим распре-
делением f		(x) используем		χ 2	l	(n − np	i	)2
			статистику		= ∑	i			, где n –
						npi
					i=1

число опытов; pi − вероятность попадания возможных значений слу-

чайной величины в i -й разряд статистического ряда; l − число разрядов.

136

Так как выдвинута гипотеза в пользу нормального закона распределения генеральной совокупности, теоретические вероятности находим по формуле

																	x			−		в			x			−
																					x						i		x		в
	p		i		= P(x					i	< X < x				i+1	) = Ф			i+1					− Ф									,
																			σ в								σ в
				1				t	−t2
где Ф(x) =								∫ e			2 dt –		функция Лапласа (см. прил. 2); i =1,2, ,12.
				2π
								0																						хi −
	Имеем				в	= 240,5; σв								=19,8.			Обозначим через zi =																	xв		, затем
			x
																																	σ в
определим			теоретические											вероятности pi								и теоретические частоты
ni	= pi n, для чего составим расчетную табл. 22.																														8
																						И
																																	Таблица 22
i	[хi ; хi+1 ]											zi		Ф(zi )				Д						ni = pi n =									(n i − n )2
					ni													рi						= pi	100											i
																																		n
																																		i
1	2				3							4		5				6						7
1	[180;190)				1							− ∞		-0,5				0,0053						0,53								0,0047
2	[190;200)				2			6				-2,55		-0,4947				0,0154						1,54
																									6,17
3	[200;210)				3							-2,04		-0,4793				0,0411
												и												4,11
4	[210;220)				7							-1,54		-0,4382				0,0897						8,97								0,4327
																А
5	[220;230)				14							-1,03		-0,3485				0,1466						14,66								0,0297
					С								б
6	[230;240)				22						-0,53		-0,2019					0,1899						18,99								0,4502
7	[240;250)				22						-0,03			-0,0120				0,1964						19,64								0,2836
8	[250;260)				15						0,48			0,1844				0,1521						15,21								0,0029
9	[260;270)				8						0,98			0,3365				0,0954						9,54								0,2486
10	[270;280)				2						1,49			0,4319				0,0448						4,48								0,963
						6																			6,81
11	[280;290)				3							1.99		0,4767				0,0171						1,71
12	[290;300)				1							2,5		0,4938				0,0062
																								0,62
												∞		0,5
					∑ = 100 ∑ = 1																			∑=100								∑=χв2 =1,5487

По условию, объём выборки n=100, значения случайной величины разбиты на 12 интервалов. Так как частоты ni попадания в каж-

дый из трех первых и трех последних интервалов малы (меньше 5), объединяем их соответственно в первый и последний. Вычисление

137

χв2 приведено в табл. 22. Элементы 4-го столбца определяем по прил. 2, вероятности рi – элементы 6-го столбца – вычисляются следующим образом:

p1	= P(−∞ < X < 190)	190 − 240,5				− ∞ − 240,5		=
		= Ф	19,8		− Ф	19,8

= Ф(− 2,55)− Ф(− ∞) = −0,4947 + 0,5 = 0,0053,
p2	= P(190 < X < 200)		200 − 240,5			200 − 240,5		=
		= Ф	19,8		− Ф	19,8

= Ф(− 2,04)− Ф(− 2,55) = −0,4793 + 0,4947 = 0,0154,
p11 = P(280 < X				290 − 240,5								280 − 240,5
		< 290) = Ф				19,8					− Ф				19,8		=
= Ф(2,5)− Ф(1,99) = 0,4938 − 0,4767 = 0,0171.													И
p12 = P(290 < X			∞ − 240,5								290 − 240,5						Ф(∞)−Ф(2,5)=
		< ∞) = Ф					−Ф									=
				19,8				Д
											19,8
= 0,5 − 0,4938 = 0,0062.						А
Найдем меру расхождения между теоретическим распределением
и эмпирическим распределением по формуле
			б					(n		− np			)	2
				χ 2 =			n		i			i			.
							∑			npi
			и			i=1
Вычисления сведем в та л. 23.																		Таблица 23
(αi ;αi+1 )	[180;190)		[190;200)			[200;210)					[210;220)					[220;230)		[230;240)
ni	1		2			3					7					14		22
pi	0,0053		0,0154			0,0411					0,0897					0,1466		0,1899
	С
npi	0,53 1,54					4,11					8,97					14,66		18,99
ni − npi	0,47	0,46				-1,11					-1,97					-0,66		3,01
(ni − npi )2	0,2209	0,2116				1,2321					3,88					0,4356		9,06
(αi ;αi+1 )	[240;250) [250;260)					[260;270)					[270;280)					[280;290)		[290;300)
ni	22	15				8					2					3		1
pi	0,1964	0,1521				0,0954					0,0448					0,0171		0,0048
npi	19,64	15,21				9,54					4,48					1,71		0,48
ni − npi	2,36	-0,21				-1,54					-2,48					1,29		0,52
(ni − npi )2	5,56	0,0441				2,37					6,15					0,3741		0,2704

138