2192

сопротивляющейся среде. Поэтому обычно не делают различия между свободной и несвободной материальными точками. Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей F , а массу точки m, получаем

ma F .

7.4.1. Дифференциальные уравнения движения материальной

точки в декартовых координатах

Если ускорен е а точки М определить

как вторую про зводную от радиуса-вектора

r

(р с.

7.3),

то

дифференциальное

уравнен е дв жен я материальной точки

С

можно зап сать в в де

d

2

m

r

(7.6)

dt 2

F.

спроец ровать о е части векторного уравнения (7.6) на

Если

координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения

движен я точки в декартовых осях координат:

max = Fx; may = Fy; maz = Fz.

Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через

б

производные:

d 2 x

ах

dV

x

x; ау

dVу

d 2

у

у;

аz

dV

z

d 2 z

z.

dt 2

dt

dt

2

dt

dt 2

dt

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в

А

прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

mx Fx ;

mу Fу;

mz Fz .

(7.7)

Частные случаи. Если известно, что материальная точка движется в

одной и той же плоскости, то, принимая ее за координатную плоскость

Оxy, имеем

Д

Fx ;

(7.8)

mx

mу Fу .

В этом случае z=0 и, следовательно,

Fz = 0.

В случае движения точки по прямой линии, направив по ней

координатную

ось

Оx,

получим

одно

дифференциальное уравнение

прямолинейного движения точки

И

(7.9)

mx Fx .

7.4.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественных осях координат

201

Первая задача.

В

разделе

«Кинематика»

введены

естественные оси координат, под которыми

понимают подвижную систему координат τ n b,

начало которой совпадает с движущейся точкой М.

Для естественных осей координат (рис. 7.4),

проецируя обе части уравнений (7.6) на эти оси,

С

получаем

maτ =Fτ;

man = Fn;

mab = Fb ,

где аτ, аn, аb

Fτ,

Fn, Fb –

соответственно проекции ускорения и

равнодействующей с лы на касательную, главную нормаль и бинормаль к

траектор

в рассматр ваемом положении движущейся точки. Определим

ускорен я точки

a

d 2s

; an

V 2

;

ab=0, где ρ –

радиус кривизны

dt 2

траектор .

б

Тогда д фференц альные уравнения движения точки в проекциях на

естественныеосимеют вид

m d 2s

F ;

m

V 2

F ; 0=Fb .

(7.10)

А

dt2

n

Дифференциальные уравнения движения точки можно представить в любой другой системе координат. Для этого надо знать проекции ускорения на эти оси.

Используя дифференциальные уравнения движения материальной точки в той или другой системе координат, можно решать две основные

задачи динамики точки.

7.5. Две основныеДействительнозадачи динамики точки

Зная массу точки и закон её движения, можно найти

силу, действующую на точку. , если, например, заданы

уравнения движения точки в декартовой системе координат

x=f1(t);

у=f2(t);

z=f3(t),

то проекции силы на оси координат определяются из дифференциальных

уравнений движения точки, т. е.

F m

d 2 x

; F

m

d 2 y

;

F m

d 2 z

.

x

dt 2

yИz

dt

2

dt 2

Зная проекции силы на координатные оси, можно определить модуль

силы и косинусы углов силы с осями координат:

F

F

2 F 2

F z2 ;

(7.11)

x

y

202

		F				Fy			F
cos(F	, x)	x	;	cos(F	, y)		; cos(F	, z)	z	.	(7.12)
						F
		F							F

Вторая задача. По заданной массе и действующей на точку силе необходимо определить уравнение движения этой точки. Рассмотрим решение задачи в прямоугольной декартовой системе координат. В общем случае

сила F , а следовательно, и ее проекции на координатные оси могут зависеть от времени, координат движущейся точки, скорости, ускорения и т.д. Для простоты огран чимся случаем зависимости силы и ее проекций

на оси коорд нат от времени, координат и скорости.
Д фференц альные уравнения движения точки (7.7) имеют вид
Сmx F (t; x, y, z; x, y	, z); my F	y	(t; x, y, z; x, y, z);	mz F (t; x, y, z; x, y	, z) .
x				x
Для нахожден я уравнений движения точки в декартовых
координатах	мо проинтегрировать систему трех обыкновенных

альных уравнений второго порядка. Из теории обыкновенных
альных уравнений известно, что решение одного
дифференц		второго	порядка	содержит	две
дифференц ального	уравнения
произвольные постоянные. Для случая системы трех обыкновенных
дифференциальных	уравнений	второго	порядка	имеется	шесть

произвольных постоянных: C1,…, C6.
необход
Таким образом, задание силы не определяет конкретного движения
материальной	точки,	а	выделяет	целый	класс	движений,
характеризующийся шестью произвольными постоянными. Действующая
сила определяет только ускорение движущейся точки, а скорость и
положение точки на траекторииАмогут зависеть еще от скорости, которая
сообщена точке в начальный момент, и от начального положения точки.
Так, например, материальная точка, двигаясь вблизи поверхности Земли
под действием	силы тяжести,		имеет ускорение g ,		если	не учитывать

сопротивление воздуха. Но точкаДбудет иметь различные скорости и положение в пространстве в один и тот же момент времени и различную форму траектории в зависимости от того, из какой точки пространства

началось движение и с какой по величине и направлению начальной скоростью.

Для выделения конкретного вида движенияИматериальной точки

надо дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные, которых в общем случае будет шесть. В качестве таких условий задают начальные условия, т.е. в какой-то определенный момент времени, например при t=0 (рис. 7.5), задают координаты движущейся точки и проекции ее скорости на координатные

оси: х=х0; у=у0; z=z0; х V0x ; y V0 y ; z V0z . (7.13)

203

Значения параметров при начальных условиях подставляют в уравнения, полученные при интегрировании исходных дифференциальных уравнений и определяют значение постоянных интегрирования С1,…,С6. После этого уравнения переписывают с

Сучетом найденных значений постоянных и определяют искомые параметры.

ледует обрат ть внимание, что составленные дифференциальные

уравнен я оп сывают движение точки лишь до тех пор, пока на нее действуют вошедш е в правые части уравнений силы и пока сохраняются соответствующ е законы взаимодействия. Если с какого-то момента времени действ я некоторых сил прекращаются или начинают действовать новые с лы, то для последующего движения надо составлять новые дифференц альные уравнения; при этом положение и скорость точки в

движеня. Кроме того, в некоторых случаях закон взаимодействия может

конце предшествующего движения будут начальными для нового

быть так м, что при зменении направления движения будет изменяться

вид д фференц ального уравнения (или уравнений) этого движения

свой вид при измененииАнаправления движения, если такое изменение может произойти. Когда вид уравнения изменяется, надо для движений в одну и в другую сторону составлятьДсвои уравнения, поступая с начальными условиями так же, как в случае, когда на точку начинают

(например, при действии силы трения или силы сопротивления,
пропорциональнойбквадрату скорости).	Поэтому,	составив
дифференциальное уравнение движения, надо проверить, сохраняет ли оно

действовать новые силы. Прежде чем интегрировать составленные дифференциальные уравнения движения, надо все переменные силы в

правых частях уравнений представить в явном виде как функции
соответствующих аргументов.	И
При движении точки в плоскости Оxy		имеется два

дифференциальных уравнения движения. В решения этих уравнений входят четыре произвольные постоянные. Постоянные определяются из

начальных условий: при t=t0=0	x=x0; y=y0;
		х V0x ;	y V0 y .

В случае прямолинейного движения точки имеется только одно дифференциальное уравнение и в его решение входят две произвольные постоянные. Для их определения необходимо задать начальные условия:

при t=t0=0	x=x0;	х V0x .

204

8. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

8.1. Уравнения работы силы

8.1.1. Элементарная работа силы

Для рассмотрения теоремы об изменении кинетической энергии
С
необходимо использовать понятие работа силы и рассмотреть способы ее
вычисления.					F
Элементарная работа dА силы						на
элементарном	перемещении	ds			равна
скорости
произведен ю касательной составляющей силы
на элементарное перемещение (рис. 8.1):
	dA F ds ,					(8.1)
где F – проекц я с лы F на направление
точки пр ложения			или			на
направлен е элементарного перемещения.
Элементарное перемещение ds по модулю совпадает с элементарным
	А
изменен ем рад	уса-вектора ds		dr
б
F =Fсоsφ,							(8.2)
где φ – угол между вектором силы и вектором скорости точки М.
Выражение элементарной ра оты (8.1) можно представить в виде
			Д				(8.3)
		dA=Fdscosφ.

Элементарная работа равна произведению модуля силы, модуля перемещения силы и косинуса угла между векторами силы и перемещения.

	Элементарная работа является скалярной величиной. Ее знак
определяется знаком проекции силы F на положительное перемещение
	n	И
ds.	При F >0 элементарная работа dA>0, а при F < 0		dA<0.
	Отметим частные случаи, которые можно получить из (8.3):
	φ = 0°, dA=Fds; φ = 90°, dA =0;	φ =180°,	dA= –Fds.

Таким образом, если сила перпендикулярна элементарному перемещению, то ее элементарная работа равна нулю. В частности, работа нормальной составляющей силы F всегда равна нулю. Приведем другие

формулы для вычисления элементарной работы силы. з кинематики известно, что вектор скорости точки V drdt . Модуль вектора скорости V drdt , т.е. дифференциал дуги есть модуль дифференциала радиуса-

вектора точки приложения силы. Тогда элементарную работу можно записать в следующем виде:

205

dA F		dr		cos F dr.	(8.4)

Элементарная работа силы равна скалярному произведению векторов силы и элементарного перемещения силы. Разложим силу F и радиус-вектор

r по осям координат:				F Fxi Fy j Fz k ;		r xi yj zk . Из последней
С
формулы имеем dr dxi dyj dzk .
Подставляя в (8.4) значения F и d r , получаем
					dA Fxdx Fydy Fz dz.			(8.5)
Формулу (8.5) называют аналитическим выражением элементарной
тельности
работы	лы.	Выражен е			для элементарной работы (8.5) по форме
напоминает полный д фференциал функции координат точки, однако в
действ			в	щем	случае элементарная		работа не	является
полным	д фференц алом.				Элементарная	работа	является	полным
дифференц алом функц и координат точки только для специального
класса с л – так называемых консервативных потенциальных сил, которые
рассмотрены		же.
		8.1.2. Ра ота силы на конечном перемещении

Для определения полной ра оты силы F на перемещении от точки
М0 до точкибM (рис. 8.1) разо ьем это перемещение на n элементарных
	1								A lim Σn dAk ,
перемещений. Тогда ра оту					можно выразить формулой
где dAk – работа на k-м элементарном перемещении.									n k=1
Так как сумма Ав формуле работы является интегральной суммой
определения	криволинейного				интеграла на			участке кривой М0 M1 , то
заменим ее интегралом						M1
						A F ds .			(8.6)
						M
						Д0
Используя другие выражения для элементарной работы, полную
работу силы на конечном перемещении М0М можно представить в разных
	M1				M1			И
формах:	A	Fdr				(Fxdx Fy dy	Fz dz)		(8.7)
	M0				M0
или					A t FVdt ,				(8.8)
						0

где момент времени t = 0 соответствует точке М0, а момент времени t – точке M1 .

206

Формула (8.8) удобна для вычисления работы силы, когда сила известна как функция времени. Отметим, что из определения элементарной и полной работы следует:

1) работа равнодействующей силы на каком-либо перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же

перемещении;	1	k
С
2) работа силы на полном перемещении равна сумме работ этой же
силы на составляющих перемещениях, на которые разбито все
перемещен е.

Первое свойство достаточно доказать только для элементарной силойработы равнодействующей силы. Если сила R является равнодействующей с стемы с л ( F ,..., F ), приложенных к рассматриваемой точке, то она выражается геометр ческой суммой этих сил. Тогда, по определению

элементарной работы с лы, имеем
б		dr ... Fk dr .
R dr (F1 F2	... Fk ) dr F1 dr F2
Первое свойство	доказано. Второе из отмеченных свойств

непосредственно следует из возможности разбиения любым образом
полного промежутка интегрирования на составляющие, причем
определенный интеграл по полному промежутку интегрирования равен
сумме интегралов по составляющим. Единицей полной работы, так же, как
и элементарной, в СИ является джоуль: 1 ж=1 Н·м. Если проекция силы
на направление скорости	F является величиной постоянной, то из (8.6)
получим A F s , где s –	путь, пройденный точкой. Так как F = Fcosφ, то

последнюю формулу можно представить в виде	A Fs cos .
А
Д

8.1.3. Мощность силы

Мощность силы или интенсивность какого-либо источника силы можно оценивать работой, которую он может совершить за единицу

времени. Итак, по определению, мощность	N dA	. Учитывая (8.8),
мощность можно представить в виде	dt
N F V FV cos .		(8.9)
Таким образом, мощность равна скалярномуИпроизведению векторов
силы и скорости точки. Из формулы (8.9) следует, что чем больше скорость,
тем меньше сила при одной и той же мощности. Если
		N FV const , то

при изменении силы необходимо менять скорость. Следовательно, если от источника силы с заданной мощностью нужно получить большую силу, то её можно получить только при малой скорости. В СИ единицей мощности является ватт: 1 Вт = 1 Дж/с.

207

8.2. Вычисление работы силы

Работа силы в общем случае зависит от характера движения точки

приложения силы. Следовательно, для вычисления работы надо знать
движение этой точки. Но в природе имеется случай работы силы тяжести,
которая не зависит от вида траектории, а определяется по начальному и
С
конечному положениям точки приложения силы. Укажем случаи, когда
работа на конечном перемещении равна нулю. Так, если сила приложена в
мгновенном центре скоростей плоского тела, то при перемещении тела за
период t точка пр ложения силы осталась неподвижной и ее работа равна
тяжести
нулю. Аналог чно работа силы сцепления будет равна нулю, если
отсутствует относ		тельное перемещение тел.
		8.2.1. Ра ота силы тяжести
лу	будут
		G материальной точки массой т вблизи поверхности
Земли можно сч тать постоянной, равной mg и направленной по вертикали

вниз.	оси координат Оxyz,
Если взять			у
которых ось Оz направлена по вертикали
вверх (рис. 8.2), то проекции силы G
Gx 0;	Gy 0;	Gz mg.
Вычисляя	ра оту	силы G	на
перемещении от точки M0		до точки М1	по
формуле (8.5), имеем А
M		z
A 1 (Gxdx	Gy dy Gz dz) mg 1dz mg(z1 z0 ) mg(z0 z1) ,
M0		z0
или		A mgh,		(8.10)
		Д
			И

где h =(z0 zl) вертикальное перемещение точки.

При подъеме точки высота h является отрицательной.

Следовательно, в общем случае работа силы тяжести G = mg равна

A=±Gh.

(8.11)

Работа силы тяжести равна произведению силы на величину

вертикального перемещения и имеет положительное или отрицательное значение. Величина работы силы тяжести положительная, когда векторы

силы тяжести G и вертикального перемещения h совпадают, т.е. работа положительная при опускании точки и отрицательная при подъеме. Работа силы тяжести по формуле (8.11) на замкнутой траектории, т.е. когда точки М0 и М совпадают, равна нулю.

208

	8.2.2. Работа линейной силы упругости
Линейной	силой	упругости	называют	силу,	которая

пропорциональна деформации, по закону Гука, F = cx, где с – коэффициент жесткости; х – деформация. Рассмотрим работу пружины, свободная недеформированная длина которой АМ0 = l0 (рис. 8.3).

Пружина

растягивается

из

начального

состояния,

которое

определяется

координатой xH . В конечном

состоянии

деформац я равна xК . Работа

силы

F на

элементарном

dx

равна

СdA cxdx. Работа с лы F на конечном

перемещен

M H M К равна

хк

cx

2

xК

2

2

А с xdx

сxK

сxH

.

(8.12)

2

2

2

хн

перемещении

xH

Формула (8.12) упрощается, если xH = 0. Работа растяжения пружины

отрицательна. Если пружина

удет возвращать накопленную энергию, ее

работа будет положительна, она может использоваться для совершения

полезной

работы. На этом принципе работают пружинные,

пневматические и гидравлические аккумуляторы энергии. Из формулы

(8.12) следует, что ра ота линейной силы упругости не зависит от

траектории перемещения и работа по любому замкнутому циклу равна

нулю. Она также равна нулю,

если точки M H

и M

К

перемещаются по

А

сфере, в центре которой закреплена пружина.

8.2.3. Работа силы, приложенной к вращающемуся телу

Вектор

силы F в

точке

М задан, т.е.

Д

известен ее модуль F и направление в

И

пространстве относительно тела. Разложим

силу

F

на

составляющие

(рис.

8.4):

F F Fn Fb .

Составляющие

F , Fn и Fb

на рис. 8.4 не показаны, причем, силы Fn

и Fb

момент относительно оси z не создают, т.к.

первая пересекает ось z , а вторая ей

параллельна. Момент относительно оси z

создает

только

касательная

сила

F :

F F cos(F,V ) .

209

Элементарная работа силы F определяется по формуле dA F ds F r sin d ,

где d – элементарный угол поворота тела; M z		Fτr sin .
Окончательно получаем
С	dA = M zd .	(8.13)
Таким образом, элементарная работа силы,		приложенной к какой-либо

точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента с лы относ тельно оси вращения на элементарный угол поворота

тела.		(8.15)
еслиA = ± M z ,
Полная работа на конечном перемещении
	A M z d .	(8.14)
	0
В частном случае,	момент силы относительно оси вращения
б

является постоянным, т. е. M z (F) = const, работу определяют по формуле

где φ – угол поворота тела.

Работа полож тельна, если направление момента совпадает с
А
направлением вращения тела. Мощность в случае вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси определяется по выражению
	N	dA				M z d	M z .				(8.16)
		dt				dt
			Д
Мощность силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной
оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения тела на
угловую скорость. Знак мощности определяется аналогично знаку работы.
8.2.4. Работа силы в общем случае движения свободного
	твердого тела							И
Для свободного тела в общем случае движения скорость точки М, в
которой приложена сила F (рис. 8.5),					V V0
							r , следовательно,
dA F	Vdt F			V0dt F ( r )dt .
											, имеем
Учитывая, что V0dt dr0 и		F ( r ) (r							F ) M 0

dA F dr0 M 0 (F)dt .

Но так как M0cosα =Mω – момент силы относительно мгновенной оси относительного вращения вокруг точки О, ωdt=dφ – элементарный угол

поворота вокруг этой оси, то окончательно получаем
dA F dr0 M d .	(8.17)

210