из постоянных величин, входящих в условия однозначности (корректные начальные и граничные условия). Такие критерии называются определяющими. Они могут быть вычислены уже при постановке задачи. Неопределяющими критериями подобия

называются все остальные, то есть такие, в состав которых входят другие величины, в том числе и переменные. Согласно теореме 1 для подобных процессов должны быть равны все критерии подобия (определяющие и неопределяющие), входящие в уравнения описания этих процессов.

Следовательно, процессы, описываемые одними и теми же дифференциальными уравнениями, но имеющими разные условия однозначности, не могут быть подобными. Для выполнения условия подобия необходимо, чтобы и условия однозначности были подобными и имели одинаковые определяющие критерии.

Использование безразмерных переменных и критериев подобия вместо размерных величин позволяет существенно упростить обработку опытных данных и получения зависимостей между ними.

получено в виде соотношения между критериями подобия, входящими в это уравнение в безразмерном виде.

Вопросы для самоконтроля					И
1.
	Как приводится температура к безразмерному виду?
2.	От чего зависит число критериев подобия уравнения в
3.	безразмерном виде?			Д
	Какие критерии подо ия называются определяющими, а
	какие – неопределяющими?
4.			А
	Какие услов я для подо ных процессов должны быть
	выполнены?	б
	5.13. Критериальные уравнения
	и
Теорема 2. Решение дифференциального уравнения может быть
	С

Такие соотношения называются критериальными уравнениями.

В задачах конвективного теплообмена определяемой величиной является коэффициент конвективной теплоотдачи α , который согласно (5.30) можно записать как

− λf

T

− λf

∂T

α =

wn →0

=

∂n

wn →0

,

∆T

Tf

−Tw

а в безразмерном виде с учётом (5.60)

αL = Nu = −

α = −λf

∂θ

или

∂θ

.

(62)

L∂n

∂n

wn →0

λf

wn →0

98

Критерий Нуссельта, согласно теореме 2, может быть представлен в виде функции от критериев подобия, входящих в дифференциальное уравнение, описывающее рассматриваемый процесс.

Для наиболее характерных процессов теплообмена в установившемся режиме критерий Нуссельта является функцией критериев Прандтля, Рейнольдса и Грасгофа

Nu = f (Pr,Re,Gr) ,

причём для свободной конвекции Nu = f (Pr,Gr) , а для вынужденной конвекции Nu = f (Pr,Re) .

Довольно часто эти функциональные зависимости сводятся к

степенному виду. Для свободной конвекции
Nu =С Prn1 Grm1 ,	(5.63)
1
а для вынужденной конвекции
Nu = С2 Prn2 Rem2 ,	(5.64)

где постоянные C1, n1, m1, C2, n2, m2 могут быть определены
экспериментально.	И
Таким образом, безразмерный коэффициент теплоотдачи Nu

при свободной конвекции зависит от критерия свободного движения
среды Gr , а при вынужденной конвекцииД– от критерия режима
движения Re.					А
	и n								m
Аналогичные критериальные уравнения описывают и процессы
переноса вещества. Для сво одной конвекции
С		б=С Pr					n3	Grm3 ,		(5.63)
	Nu
	М			3		М
а для вынужденной конвекц
	Nu	М	=С		4	Pr	4	Re 4 .		(5.64)
						М
Следует иметь в виду, что постоянные Ci, ni, mi получены для
строго определённых		диапазонов						критериев		Pr,Re,Gr , которые

должны быть указаны. И только для данных диапазонов эти постоянные будут задавать правильные зависимости. Например, для теплообмена при обтекании шара газом (для газов Pr ≈1) при режиме движения Re > 200 получается критериальное уравнение

Nu = 0,54Re0,5 , которое не будет годиться для капельных жидкостей,

так как для них Pr >1, и расплавов металлов, так как для них Pr <<1. Это критериальное уравнение будет справедливо только для газового потока, обдувающего шар, при обязательном выполнении условия

	Re = wL	=	ρwd	> 200 ,	(5.65)
			µ
	ν

99

где плотность ρ , скорость w, вязкость µ газа и диаметр d шара могут

быть разными, лишь бы выполнялось условие (5.65).

Теорема 3. Для подобия процессов и явлений определяющие критерии подобия должны быть соответственно одинаковыми, а условия однозначности (краевые условия) подобны.

Выше эта теорема была использована при определении условий подобия процессов и явлений.

Вопросы для самоконтроля и задания
1.	Сформулируйте вторую теорему подобия.
2.	Что такое критериальное уравнение?
3.	Что представляет собой коэффициент теплоотдачи в
	безразмерном виде?
4.	Напишите			критериальные				уравнения		конвективного
	теплообмена для свободной и вынужденной конвекции.
5.	В трубе		диаметром			0,1	м	происходит		конвективный
	теплообмен			в газовой			Д			. Чему	равен
						среде		при	Nu =10
	коэффициент				теплоотдачи,		если		теплопроводность		газа
	λf = 0,03		Вт		?			И
		м К

5.14. Достоинства и недостатки физического моделирования

Главным достоинством физического моделирования является
возможность изучения физическихАявлений, не поддающихся
математическому оп сан ю. К достоинствам метода также следует
отнести полное воспро зводствобпроцесса и его наглядность.
К недостаткам метода физического моделирования относятся:
1)	высокая стоимостьимоделей сложных объектов;
2)	изменение параметров оригинала часто требует создания для
	него новой модели;
3)	методСв ряде случаев имеет серьёзные ограничения, а иногда
	и вовсе не применим.

Рассмотрим на простых примерах ситуации, когда имеет место последний недостаток.

Пусть в аэродинамической трубе обдувается модель обтекателя летательного аппарата с целью определения силы лобового сопротивления воздуха. Оригинал и модель должны удовлетворять одному и тому же критерию режима движения, то есть ReO = ReM

или

wOdO = wM dM .
νO	νM

100

Если принять кинематические вязкости воздуха для модели и

оригинала равными (ν		=ν		), то	w		= w	dO	. Поэтому во сколько
	M		O			M	O dM

раз в модели уменьшен размер (диаметр миделева сечения), во столько же раз следует увеличить скорость обдувания модели wM .

Чтобы уменьшить влияние внутренней стенки трубы на процесс обдувания модели, размер dM должен быть небольшим – много

меньше внутреннего диаметра трубы. В связи с этим и из соображений стоимости модели потребуется в десятки раз увеличить скорость wM по сравнению с wО , а на это может не хватить мощности

аэродинамической трубы.

Если попытаться как-то компенсировать увеличение требуемой скорости wM за счёт уменьшения кинематической вязкости, применяя

газ с наименьшим коэффициентом кинематической вязкости νM , то

это мало что даст, так как никакой газ не имеет этот коэффициент ниже, чем у воздуха, более чем в два с половиной раза. Заменять же

воздух жидкостью нельзя, так как для жидкостей Pr >1.

И

В том случае, когда модель по размерам значительно меньше

gL

А

оригинала, следует при установлении подобия учитывать ещё и силы

тяжести, то есть критерий гравитационногоДподобия (число Фруда

Fr =

w2

) должен быть у оригинала и модели одним и тем же. Тогда

получим систему уравнен й

б

w

d

w d

=

O

O

M

M

,

νO

νM

и

2

w

2

(5.66)

С

w

O

=

M

.

gOdO

gM dM

Пусть

= gO

. Тогда из данной системы уравнений

νM =νO и gM

получим систему

w d

= w

d

,

O

M

O

2

w

M

(5.67)

w

2

O

=

M

.

dO

dM

Эта система имеет единственное решение dM = dO , что делает

бесполезным моделирование.

Увеличить ускорение силы тяжести модели gM можно, если

раскрутить аэродинамическую трубу в центрифуге. Видимо, реализация такой идеи выльется в очень высокую стоимость

101

эксперимента. Но даже в этом случае из второго уравнения системы

d

w

2

(5.66) следует

g

= g

O

M

, а из первого уравнения этой же

M

O d

M

w

2

O

dO

системы

при ν

=ν

скорость обдувания модели w

= w

.

M

O

M

O dM

dO

3

Тогда gM

, то есть при уменьшении размеров модели в 9

= gO

dM

раз, чтобы получить равенство критериев подобия, необходимо на центрифуге достичь ускорение gM = gO 93 = 729g . Таких перегрузок не выдержит ни одна конструкция.

	Откажемся от идеи с центрифугой и примем gM = gO . Тогда из
(5.66) получим							2 3	И
				dM		νМ
					=	Д
				dO		νO
	Поскольку любой газ не может иметь вязкость ниже вязкости
воздуха		не	более чем		А				раза, то
					в	два с половиной
		1	2 3	б
dM	= dO	≈ 0,54dO . То есть размеры модели в этом							случае
		2,5		и

могут быть меньше размеров оригинала даже меньше чем в два раза. Видимо, в подобных случаях дешевле будет обдувать сами оригиналы

и не тратитьсяСна создан е х физических моделей.

Тем не менее для мног х инженерно-технических задач метод физического моделирования является весьма полезным как в исследовательских целях, так и для решения практических задач.

Вопросы для самоконтроля и задания

1. Перечислите основные достоинства метода физического моделирования.

2. Перечислите основные недостатки метода физического моделирования.

3. Какой физический смысл имеет число Рейнольдса?

4. Какой физический смысл имеет число Фруда?

102