- •Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
- •Силы Ван-дер-Ваальса
- •Рассмотрим два атома (или две молекулы), у кото-
- •Найдем энергию взаимодействия между двумя дипо- лями, изображенными на рисунке. Эта энергия обусловлена
- •Итак,
- •Обозначим:
- •Силы f12 и f21 найдем по формуле (28.2):
- •Покажем, что оба связанных осциллятора могут со- вершать простые колебания с одной и
- •Определитель:
- •Эти частоты называются нормальными, или главны- ми; одна из них немного меньше, а
- •Если начальные условия будут отличаться от
- •Подставляя эти условия в (28.10), находим:
- •В каждой из формул (28.11) есть множитель, мед-
- •Теперь найдем полную энергию связанных ос- цилляторов. Потенциальная энергия
- •Сделаем замену переменных:
- •Теперь применим полученные результаты к системе из двух квантовых осцилляторов. Согласно полу- ченным
- •Используя формулу бинома Ньютона:
- •Знак "минус" указывает на то, что между ато-
- •Зонная теория твердого тела
- •Рассмотрим в качестве примера литий (третий эле- мент в таблице Д.И.Менделеева). Это удобно
- •При сближении ато- мов возникает нес- колько эффектов.
- •Энергии стационарных состо- яний валентных электронов в кристалле различаются на очень маленькую вели-
- •Диэлектрики, полупроводники и проводники
- •Энергетические зоны.
- •В зависимости от того, как располо- жены энергетичес- кие зоны, твердые тела принято
- •У полупроводников щель между валент- ной зоной и зоной проводимости мно- го меньше,
- •В металлах валент- ная зона и зона про- водимости перекры- ваются. Расстояние
- •Квазичастицы в твердых телах
- •Но рождаться и исчезать могут не только фотоны. Одно из самых удивительных и
- •Таких процессов в настоящее время известно очень много, и квантовая теория поля была
- •Сточки зрения математики, основной чертой кванто- вой теории поля является введение операторов, описывающих
- •Вквантовой теории состояние системы частиц описывается волновой функцией.
- •Аналогично оператор рождения частицы переводит систему из состояния с N частицами в состояние
- •Таким образом, в случае, когда состояние сис-
- •Если необходимо учесть, что частицы могут нахо- диться в различных состояниях, то, записывая
- •Рассмотрим выражение an am 0 . Сначала на Ψ0 дей-
- •Из операторов an и an можно построить играющий важную роль оператор числа частиц.
- •Поля, соответствующие квазичастицам в кристалли- ческой решетке, должны подчиняться условиям трансляционной симметрии, поэтому
- •Если неопределенность энергии много меньше са-
- •Вероятность распада квазичастицы зависит от числа других квазичастиц, с которыми данная частица взаимодействует,
- •Сростом температуры возрастает число квазичас- тиц с большой энергией, их взаимодействие стано- вится
- •Колебания решетки
- •Рассмотрим движение решетки более подробно. Бу-
- •Рассмотрим колебания одномерной цепочки
- •Обозначим через un смещение атома в узле решетки с номером n. Тогда уравнение
- •Из свойств трансляционной симметрии следует, что колебания всех атомов должны быть подобны друг
- •Итак, получено уравнение гармонического осцилля-
- •При уменьшении длины волны волновое число уве- личивается, и если величину ka/2 нельзя
- •Как видно из формулы (28.27), групповая скорость с ростом k уменьшается, и при
- •Мы рассмотрели простейший вид колебаний -
- •ФОНОНЫ
- •Напомним, что уравнение Шредингера для гармони-
- •Введем операторы рождения и уничтожения частиц (фононов):
- •Итак, колебания атомов решетки можно представить как излучение фононов, обладающих энергией j (k)
- •Вквантовой статистике формула, определяющая среднее количество частиц с энергией (распреде-
- •Взаимодействие фононов: их рассеяние друг на дру- ге, рождение, уничтожение - это результат
- •Для большинства чистых кристаллов это время дос- таточно велико, поэтому для них в
- •Фононы можно наблюдать в эксперименте и изме-рять их характеристики как у реальных частиц.
- •Введение квазичастиц позволило создать современ-
- •Описать этот процесс непосредственно очень слож- но. На языке электрон-фононного взаимодействия это выглядит
- •Вобычном (не сверхпроводящем состоянии) сопро- тивление электрическому току появляется в ре- зультате рассеяния
- •ДРУГИЕ КВАЗИЧАСТИЦЫ
- •Вферромагнетике магнон с квазиимпульсом k при малых k (т.е. для длинных волн) имеет
- •Поляритоны - составные квазичастицы, возникаю-
- •Поляроны - связанные состояния электронов и про- дольных оптических фононов в ионных кристал-
- •Экситоны - связанные состояния электрона и дырки в полупроводниках и в диэлектриках. Возбуждение
Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
28 (2). Элементы квантовой теории твердого тела. Энергетические зоны в
твердых телах. Фононы и другие квазичастицы.
Силы Ван-дер-Ваальса
В1873 году голландский физик Ван-дер-Ваальс (Van der Waals) вывел уравнение состояния реального
газа, и установил непрерывность газообразного и жидкого состояний. За эти работы в 1910 году Ван- дер-Ваальс получил Нобелевскую премию, а его уравнение, вошло во все учебники физики.
Уравнение Ван-дер-Ваальса учитывает объем моле-
кул и силы взаимодействия между ними - молеку- лярные силы, получившие название сил Ван-дер-
Ваальса. Было предпринято много безуспешных
попыток объяснить природу этих сил с точки зре- ния классической физики. В настоящее время мы знаем, что правильное объяснение молекулярных сил может дать только квантовая теория.
Рассмотрим два атома (или две молекулы), у кото-
рых в состоянии покоя все заряды распределены
сферически-симметрично, и поэтому атомы между собой не взаимодействуют. Но если сместить за-
ряды из их положения равновесия, то атом приоб-
ретет дипольный момент, вокруг него возникнет электрическое поле, которое индуцирует диполь-
ный момент в другом атоме. Поэтому, если заряды
в атомах постоянно колеблются, причем эти коле- бания не исчезают ни при каких условиях, то ато-
мы имеют меняющиеся со временем дипольные
моменты, и, значит, должны взаимодействовать между собой. Докажем, что эти быстро меняющие- ся дипольные моменты находятся друг относите- льно друга в такой фазе, что в результате возника- ет притяжение.
Найдем энергию взаимодействия между двумя дипо- лями, изображенными на рисунке. Эта энергия обусловлена притяжением разноименных зарядов и отталкиванием одноименных. По закону Кулона:
U12 |
1 |
|
|
|
e2 |
|
e2 |
|
|
e2 |
|
|
e2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||||||
4 |
0 |
r x |
r x |
2 |
r x |
2 |
x |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(28.1) |
|
e |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
4 0r |
1 |
|
x1 |
|
1 |
x2 |
|
1 |
x2 x1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
r |
r |
|
|
r |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. r >> x1, и r >> x2, то дроби, стоящие в скобках можно разложить в ряды по общей формуле:
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
2 |
... |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
... |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
||||
1 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и в каждом из этих разложений ограничиться первы- ми тремя членами. Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
U12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 0r |
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
x12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x1 |
|
|
|
|
x2 x1 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||
4 |
|
|
r |
|
r |
2 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
e2 |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x2 |
|
2x x |
2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
2 |
|
|
r |
|
|
r |
2 |
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
r |
2 |
|
r |
2 |
|
|
r |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 0r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
2x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e2 |
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0r |
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0r3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
U12 |
|
2e2 |
x1x2 |
|
4 0r3 |
|||
|
|
|
|
Это и есть потенциальная энергия, обусловленная взаимодействием диполей.
Если атомы одинаковы, то при отсутствии взаимо- действия между ними (когда атомы находятся да- леко друг от друга) уравнение движения заряда в каждом из них имеет вид
m |
d 2 x |
|
f x1, |
m |
d 2 x |
|
f x2 |
(28.3) |
1 |
2 |
|||||||
|
dt2 |
|
|
|
dt2 |
|
|
|
где m - масса колеблющегося заряда (например,
электрона), f - квазиупругая сила, под действием
которой происходят колебания; m и f одинаковы у обоих атомов.
Обозначим: |
f |
|
|
||
|
||
0 |
m |
|
|
тогда уравнения движения зарядов принимают вид
уравнений гармонических колебаний:
d 2 x |
2 x 0, |
d 2 x |
2 x 0 |
|
||
1 |
2 |
(28.4) |
||||
dt2 |
0 |
1 |
dt2 |
0 |
2 |
|
|
|
|
т.е. частота колебаний в невзаимодействующих ато-
мах одинакова и равна 0.
Теперь учтем взаимодействие атомов. Смещение заряда dx1 в первом осцилляторе вызывает доба- вочную силу f12 во втором осцилляторе, и наоборот, смещение dx2 во втором осцилляторе вызывает добавочную силу f21 в первом.
Силы f12 и f21 найдем по формуле (28.2):
|
U |
|
|
2e2 |
|
|
|
U |
|
2e2 |
||||||
f |
|
12 |
|
|
|
|
x , |
f |
|
|
12 |
|
|
|
|
x |
|
4 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
||||||||
12 |
x |
|
0 |
r3 2 |
|
21 |
|
|
0 |
r3 1 |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Обозначим: |
2e2 |
k |
|
4 0r3 |
|
|
|
(28.5) |
Внесем в уравнения движения (28.3) эти добавочные
силы: |
d 2 x |
|
|
, m |
d 2 x |
|
|
m |
1 fx kx |
2 |
fx |
kx |
|||
|
|||||||
|
dt2 |
1 |
2 |
|
dt2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
тогда вместо уравнений (28.4) получаем:
d 2 x |
2 x |
k |
x 0, |
d 2 x |
2 x |
k |
x 0 |
1 |
|
2 |
|
||||
|
|
||||||
dt2 |
0 1 |
m 2 |
dt2 |
0 2 |
m 1 |
Покажем, что оба связанных осциллятора могут со- вершать простые колебания с одной и той же об- щей частотой , т.е. будем искать решение систе- мы (28.6) в виде:
x1 = Aei t, |
x2 = Bei t. |
Подставим это в (28.6), и после сокращения на ei t получим:
A 02 2 |
k |
B 0, |
|
k |
A 02 2 B 0 |
(28.7) |
|
m |
m |
||||||
|
|
|
|
|
Это два линейных однородных уравнения относи- тельно двух неизвестных A и B. Для того, чтобы та- кая система имела нетривиальное решение, надо,
чтобы ее определитель был равен нулю.
Определитель: |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем два возможных значения
для частоты : |
k |
|
|
|
k |
|
|
1 02 |
, |
2 |
02 |
(28.8) |
|||
m |
m |
||||||
|
|
|
|
|