- •1. Случайные события
- •1.1. Понятие теории вероятностей
- •1.2. События и их вероятности
- • Виды событий
- • Вероятность события
- • Принцип практической невозможности маловероятных событий
- • Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу,
- •1.3. Элементы комбинаторики
- • Перестановки, сочетания и размещения без повторений
- • Перестановки
- • Размещения
- • Правило сложения и правило умножения комбинаций
- • Перестановки, сочетания и размещения с повторениями
- • Сочетания с повторениями
- • Размещения с повторениями
- •1.4. Классическое определение вероятности:
- •1.5. Геометрическое определение вероятности
- •1.6. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- • Зависимые и независимые события
- • Теорема умножения вероятностей независимых событий
- • Задачи на теоремы сложения и умножения
- • Условная вероятность
- • Теорема умножения вероятностей зависимых событий
- •1.7. Формула полной вероятности
- •1.8. Формулы Байеса
- •1.9. Независимые испытания и формула Бернулли
- •1.10. Формула Пуассона
- •1.11. Локальная теорема Лапласа
- •1.12. Интегральная теорема Лапласа
- •1.13. Статистический подход к определению вероятности
- • и обратная задача
- •2. Случайные величины
- •2.1. Понятие и виды случайных величин
- •2.2. Дискретная случайная величина
- • Математическое ожидание дискретной случайной величины
- • Формула для нахождения дисперсии
- • Многоугольник распределения
- • Вероятность попадания в промежуток
- •2.3. Наиболее распространённые дискретные распределения
- • Биномиальное распределение вероятностей
- • Гипергеометрическое распределение вероятностей
- •2.4. Непрерывная случайная величина
- • Вероятность попадания в промежуток
- • функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей
- •2.5. Распространённые виды непрерывных распределений
- • Равномерное распределение вероятностей
- • Показательное распределение вероятностей
- • Нормальный закон распределения вероятностей
- •Решения и ответы
Показательное распределение вероятностей
Показательным или экспоненциальным называют распределение, которое характеризуется следующей функцией плотности:
0, |
если |
x 0 |
, где 0 |
f (x) |
|
|
|
..., |
если |
x 0 |
|
Убедимся в том, что перед нами не «подделка». Поскольку несобственный интеграл:
|
0 |
|
|
|
|
f (x)dx |
0dx ... |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim (e x ) |
b |
lim (e b |
0 e0 ) (0 1) 1 |
, то функция |
|
b |
|
0 |
b |
|
|
|
|
|
|
задаёт закон распределения непрерывной случайной величины.
f (x) 0 и
f (x) действительно
Используя стандартный алгоритм, легко найти функцию распределения данной случайной величины:
0, |
если |
x 0 |
|
|
||
F (x) P( X x) |
e |
x |
, |
если x 0 |
( 0) |
, |
1 |
|
|
|
и опять же через общие формулы нетрудно получить числовые характеристики экспоненциального распределения:
M ( X ) |
1 |
, |
D( X ) |
1 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
Большим достоинством показательного распределения является тот факт, что оно определяется всего лишь одним параметром. Всего лишь одним, Карл! И по этой причине нам достаточно разобрать одну-единственную задачу, проще всего для 1. Как-то так получилось, что во всех примерах параграфа Равномерное распределение мы начинали с функции f (x) , и поэтому для разнообразия зайдём в лес с другой стороны:
Задача 117
Непрерывная случайная величина X задана своей функцией распределения:
0, |
x 0 |
|
|
F (x) |
Ae x , |
x 0 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
Требуется:
1)определить коэффициент A ;
2)найти плотность распределения вероятностей f (x) ;
3)схематично построить графики функций F (x) и f (x) ;
4)вычислить математическое ожидание и дисперсию X ;
5)определить вероятность того, что X примет значение из интервала (2; ) .
Одним словом, обычная задача на НСВ, бессмысленная и беспощадная, заметьте, кстати, что в условии ничего не сказано о том, что эта величина распределена по экспоненциальному закону.
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
150 |
|
Решаем:
1) В силу непрерывности функции распределения:
F(0) 1 A e0 1 A 0 |
|
A 1 – при этом и только при этом значении |
предложенная функция задаёт закон распределения непрерывной случайной величины:
0, |
x 0 |
, что соответствует шаблону для 1, таким образом, мы |
|
F (x) |
|
|
|
1 e x , |
x |
0 |
|
|
|
|
|
имеем дело с экспоненциальным распределением. |
|||
2) Найдём функцию плотности распределения: |
|||
|
0, |
x 0 |
|
f (x) F (x) |
x |
, что полностью соответствует шаблону. |
|
|
e |
|
, x 0 |
|
|
|
|
На всякий случай производная сложной функции: (1 e x ) 0 e x ( x) e x . |
3) Условие допускает схематическое построение графиков, но зачем занижать планку? Даже при их ручном построении не составляет никакого труда найти пару дополнительных точек и проявить маломальскую аккуратность.
Вычислим пару опорных значений: F(1) 1 e 1 1 0,37 0,63 , |
|
|
F(2) 1 e 2 1 0,14 0,86 и простенький предел lim |
F(x) lim (1 e x |
0 ) 1. Таким |
x |
x |
|
образом, прямая y 1 (изображена пунктиром) является горизонтальной асимптотой для графика F (x) при x :
Показательное распределение нашло широкое применение в прикладных задачах, и пока чертёж не уехал вверх, приведу конкретный пример. Пусть на промежутке x 0 переменная «икс» обозначает время и в момент времени x 0 начинает эксплуатироваться некий прибор, например, обычная лампочка. Тогда экспоненциальная случайная величина X характеризует время работы лампочки до перегорания. И тогда функция F (x) P( X x) описывает вероятность того, что лампочка проработает
МЕНЬШЕ, чем прошедшее время x . По понятным причинам при увеличении x эта вероятность стремится к единице, что хорошо иллюстрирует вышеприведённый график.
Кстати, о чём идёт речь в 5-м пункте условия? В контексте рассматриваемого примера, нам нужно найти P(2 X ) – вероятность того, что лампочка проработает
более 2 тыс. часов (значения, естественно, условные). Давайте сразу и вычислим эту вероятность:
5) P(2 X ) F( ) F(2) 1 (1 e 2 ) 1 1 e 2 e 2 0,14
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
151 |
|
Ситуацию наглядно иллюстрирует чертёж ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей:
Площадь между графиком f (x) и осью абсцисс равна единице (проверено в начале параграфа), и значительная часть этой площади (а именно, 0,86 ) сосредоточена на промежутке от 0 до 2.
Применительно к «ламповому» примеру, определённый интеграл k f (x)dx равен
0
вероятности того, что лампочка проработает от 0 до k тыс. часов. В частности, как раз:
2 e xdx 2 e xd ( x) ....
0 |
0 |
|
|
Соответственно, несобственный интеграл f (x)dx – есть вероятность того, что
k
лампочка проработает более k тыс. часов, и Пункт 5) можно решить вторым способом:
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P(2 X ) |
|
e xdx |
|
e x d ( x) lim |
(e x ) |
b |
|
||
|
|
|
|
b |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
lim (e b |
0 e2 ) (0 e2 ) e2 |
0,14 |
|
|
|
||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Вычислим математическое ожидание и дисперсию.
Несмотря на то, что существуют готовые формулы для расчёта этих характеристик, решать, конечно же, будем подробно. По формуле математического ожидания:
0
M ( X ) xf (x)dx x 0 dx xe xdx 0 xe xdx xe xdx
0 0 0
Сначала удобно найти неопределенный интеграл:
xe x dx (*)
Вспоминаем интегрирование по частям: u x du dx
dv e xdx v e x
udv uv vdu
(*) xe x e xdx ... – произвольную константу приплюсовывать не надо, т.к. она всё равно сократится.
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
152 |
|
Таким образом:
|
|
|
x 1 |
|
|
|||
M ( X ) |
|
xe xdx lim |
b |
... |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
b |
e |
x |
0 |
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Примечание: b b 1 0 , т.к. знаменатель более высокого порядка роста. e
Дисперсию вычислим по формуле D( X ) x2 f (x)dx (M ( X ))2 , и из избушки на
курьих ножках появляется следующий интеграл:
|
|
x2 f (x)dx |
x2e x dx |
|
0 |
Как и в случае с матожиданием, сначала проясним первообразную:
x2e x dx (*)
По канонам жанра тут нужно дважды интегрировать по частям, но решение облегчается тем, что после 1-го применения формулы udv uv vdu мы сталкиваемся с только что решённым интегралом:
u x2 |
du 2xdx |
dv e xdx v e x
(*) x2e x 2 xe xdx ...
Таким образом, несобственный интеграл:
|
|
|
|
|
|
(x2 2x 2) |
|
|
b |
|
||
|
2 |
|
x |
|
|
|
||||||
|
x |
e |
|
dx lim |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
b |
e |
x |
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Примечание: |
b2 |
2b 2 |
0 |
|
по той же самой причине. |
|||||||
|
eb |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом:
D( X ) 2 12 2 1 1
Проверим полученные результаты с помощью готовых формул:
M ( X ) |
1 |
|
1 |
1, |
D( X ) |
1 |
|
|
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
Готово.
Показательное распределение нашло широкое применение в теории надёжности, этой теме, в частности, посвящены отдельные главы учебного пособия В.Е. Гмурмана. Помимо лампочек и более грустных примеров существуют и другие приложения. Так, например, в простейшем потоке событий время ожидания каждого последующего события распределено именно по экспоненциальному закону.
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
153 |
|