Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг
.pdfтак как w=const. Окончательно находим закон равномерного кри волинейного движения точки в виде
s=st+vt. |
(25) |
Если в равенстве (25) положить $>=0, то s даст путь, пройденный точкой за время t. Следовательно,, при равномерном движении путь, пройденный точкой, растет пропорционально времени, а скорости точки равна отношению пути ко времени:
s=vt, v—sU. |
(25') |
3. Р а в н о м е р н о е п р я м о л и н е й н о е д в и ж е н и е . В этом случае ап—ах= 0, а значит, и а = 0 . Заметим, что единствен ным движением, в котором ускорение точки все время равно нулю, является равномерное прямолинейное движение.
4. Р а в н о п е р е м е н н о е к р и в о л и н е й н о е д в и ж е н и е . Равнопеременным называется такое криволинейное дви жение точки, при котором касательное ускорение остается все время постоянным: ат= const. Найдем закон этого движения, считая, что при t=Q s=s», a v=ve, где vt — начальная скорость точки. Со гласно первой из формул (21) dv=axdt. Так как a t =const, то, беря от обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим
v—vt+ a xt. |
(26) |
Формулу (26) представим в виде
ds/dt—Vf+a^t или ds=i\,d/4-aT/d/.
Вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного криволи нейного движения точки
s= se-fv0/ + a x/*/2. |
(27) |
При этом скорость точки определяется формулой (26).
Если при криволинейном движении точки модуль скорости воз растает, то движение называется ускоренным, а если убывает,— замедленным. Так как изменение модуля скорости характеризуется
а) |
а л |
6) |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
\ |
/ |
"I |
„ |
о |
м |
м0 |
|
L A T |
v |
м |
I |
I |
» — |
Т * |
|
|
м |
|
|
*■** |
|
*■ |
||
|
Рис. |
125 |
|
|
|
Рис. 126 |
|
|
касательным ускорением, то движение будет ускоренным, если ве личины v и ах имеют одинаковые знаки (угол между векторами v и а острый, рис. 125, а), и замедленным, если разные (угол между
о и а тупой, рис. 125, б)
В частности, при равноперемет ном движении, если в равенстве
111
(26) о и Of имеют одинаковые знаки, движение будет равноускорен ным, а если разные знаки,— равнозамедленным.
Формулы (25) — (27) определяют также законы равномерного или равнопеременного прямолинейного движения точки, если считать s= x. При этом в равенствах (26) и (27) ат= а , где а — чис
ловое |
значение ускорения данной точки [см. формулу (23)]. |
5. |
Г а р м о н и ч е с к и е к о л е б а н и я . Рассмотрйм пря |
молинейное движение точки, при котором ее расстояние х от начала координат О изменяется со временем по закону
х= А cos kt, |
(28) |
где А и k — постоянные величины. |
|
Точка М (рис. 126) совершает при этом движении |
колебания |
между положениями Л1„ (+/4) и М у(—А). Колебания, происходящие по закону (28), играют большую роль в технике. Они называются простыми гармоническими колебаниями. Величина А, равная наи большему отклонению точки от центра колебаний О, называется
амплитудой колебаний.
Легко видеть, что, начиная движение в момент t=0 из положения M t, точка вновь придет в это положение в момент времени tu для
которого cos ktt= l , т. е. |
kti= 2л. |
Промежуток времени |
T = tl=2n/k, в течение которого точка |
совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.
Веря производные от х по t, |
найдем значения скорости и уско |
|
рения точки: |
|
|
v= vx= —Aksinkt, |
а —ах= —Ak*coskt. |
(29) |
Следовательно, в этом движении и скорость, и ускорение точки изменяются с течением времени по гармоническому закону. По знакам у и а легко проверить, что когда точка движется к центру колебаний, ее движение является ускоренным, а когда от центра колебаний,— замедленным.
Аналогичные колебания происходят и при законе x=Asmkt, только движение в этом случае начинается из центра О.
Гармонические колебания по закону s—Acoskt (или в=Л sinW) точка может совершать, двигаясь вдоль любой кривой (см., напри мер, в § 46 задачу 51). Все сказанное о характере движения при этом сохранится с той лишь разницей, что последняя из формул (29) будет определять касательное ускорение точки; кроме него точка будет еще иметь нормальное ускорение an=v*/p,
§45. ГРАФИКИ ДВИЖЕНИЯ, СКОРОСТИ
ИУСКОРЕНИЯ то ч к и
Если в соответствующих масштабах откладывать вдоль оси абс цисс время t, а вдоль оси ординат — расстояние s, то построенная в этих осях кривая s=f(f) будет изображать график расстояний, или график двиясения точки. По этому графику наглядно видно, как изменяется положение точки (ее координата s) с течением времени.
112
Аналогично, в соответствующих масштабах могут быть построе ны кривые, дающие зависимость v(t) — график скорости и ax(t), aH(t), a(t) — графики касательного, нормального и полного ускоре ний.
На рис. 127, а, б, в сверху показаны графики движений, опре деляемых соответственно уравнениями (25), (27) и (28). Ниже на тех же рисунках изображены для этих движений графики скоростей и графики касательных ускорений.
а) |
6) |
6) |
График равномерного движения изображается, как мы видим, прямой линией, направленной под углом к оси абсцисс, график ско рости в этом случае — прямой, параллельной оси абсцисс (v=const), а график касательного ускорения — прямой, совпадающей с осью абсцисс (ат= 0). Для равнопеременного движения (в изображенном на рис. 127, б случае — ускоренного) график движения изобра жается ветвью параболы, график скорости — прямой, направлен ной под углом к оси абсцисс, а график касательного ускорения — прямой, параллельной оси абсциис (ах= const). Наконец, для гар монических колебаний (рис. 127, в) соответствующие графики изоб ражаются косинусоидами или синусоидами.
График движения не следует смешивать с траекторией, которая во всех рассмотренных случаях должна быть задана дополнительно.
Графики нормального и полного ускорений на рис. 127 не пока заны, так как ап и а кроме закона движения зависят еще от р, т. е. от вида траектории, и при одном и том же законе s—f(t) будут для разных траекторий разными.
д-1870 |
113 |
§46. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Как уже указывалось, для решения задач кинематики надо знать закон движения точки. Если движение задано естественным спосо бом (дана траектория и закон движения вдоль траектории), то все характеристики движения (скорость, касательное, нормальное и полное ускорение) определяются по формулам, полученным в § 42—44. Этими формулами можно, конечно, пользоваться и когда движение задано другим способом.
Покажем, как можно найти касательное и нормальное ускорения точки, когда движение задано координатным способом, например, уравнениями (4). Для этого по формулам (12) — (15) находим н и а. Беря производную по времени от найден ной скорости v, можно определить ax=dv!dt. Но обычно это проще делать иначе.
Возьмем равенство i>*=t>J+t>J и продифференцируем обе его части по t\ получим
2 w = 2 v j.’x + 2vyvy . Отсюда, учитывая |
равенства (14') |
и то, что v= ax, находим |
окончательно |
|
р0) |
д 0> А + У ?) |
||
т |
v |
|
Теперь, зная а и axi определяем ап из равенства а’= а ? + вЦ. Одновременно мож
но найти радиус кривизны траектории р из формулы а„=«^/р. Пример таких рас четов дан в задаче 53.
Задача 51. При небольших углах отклонения груз маятника (рис. 128) дви жется по окружности радиуса / по закону s = 4 sin kt (начало отсчета в точке О, Л и * — постоянные величины). Найти скорость, касательное и нормальное ускорения груза и те положения, в которых эти величины обращаются
внуль.
Ре ш е н и е . Пользуясь соответствующими формулами, находим:
Аксо» М; ot = о.= —<4**slnW;
а„ = v*/l = (А*к*/1) cos* kt.
Из закона движения следует, что груз со вершает вдоль траектории гармонические коле бания с дуговой амплитудой А. В крайних по ложениях (в точках В, и В,) sin kt= ± 1, а сле довательно, cos k t= 0. Поэтому в тбчках в , и Bt
скорость п нормальное ускорение обращаются в нуль; касательное же ускорение имеет здесь наибольшее по модулю значение ат т м ’=/**1-
Когда груз приходит в начало отсчета О, |
то s = 0 и, следовательно, sin JW=0, |
a cos * /= 1. В этом положении ах—0, a v и |
ап имеют максимальные значения: |
Pibi*=^A!, а„ m»*=,i4***//.
Из данного примера видно, что при криволинейном неравномерном движении
вотдельных точках траектории атили а„ могут обращаться в нули. При этом вт= 0
втех точках, где do/dt^O , т. е. там, например, где о имеет максимум или минимум,
аап= 0 в тех точках, где о= 0 (как в нашем случае) или где р=оо (точка перегиба
траектории). |
|
|
Звдач» 52. П е р е х о д о т к о о р д и н а т н о г о |
с п о с о б а з а д а |
|
н и я д в и ж е н и я к |
е с т е с т в е н н о м у . Движение точки М задано в де |
|
картовых координатах |
уравнениями: |
|
|
X =MR cos (е<*/2), y=*R sin (е/*/2), |
(а) |
где R я е — постоянные положительные величины, имеющие размерности: R — длины, « — углового ускорения (см, § 49),
114
Перейти к естественному способу задания движения, т. е. определить тра екторию и закон движения точки вдоль траекторйи в виде s= /(/). Найти также
скорость и ускорение |
точки. |
|
Р е ш е н и е . |
Возведя каждое из уравнений (а) почленно в квадрат и затем |
|
сложив их, получим |
Следовательно, траекторией точки является ок |
|
ружность радиуса |
R |
с центром в начале .координат. Из уравнений (а) видно, |
что при t= 0 x = R , у — О, т. е. точка М находится на оси Ох. Примем это положение А<0 за начало отсчета О' расстояния s; тогда при < = 0 s = 0 . Когда <>0 у начинает возрастать, а х — убывать, т. е. точка начинает двигаться по направлению к оси Оу; примем это направление за положительное направление отсчета расстояния s.
Для определения зависимости s= f(t) |
найдем |
выражение |
ds. Как известно, |
||
ds, =dx*-(-dy*, a d*= x’d/, iy —ydt. Тогда |
ds — V |
х*-\-у* At, |
и |
поскольку при |
|
<=0 4= 0, |
______ |
|
|
|
|
t |
|
|
|
||
а ■= ^ |
+ у* d/- |
|
|
(С) |
|
о |
|
|
|
|
|
Из уравнений (я) находим x ——R et sin (е/*/2), у —R et cos |
и х*+У*= |
^=P,eг/, . Подставляя это выражение в равенство (б) и вынося постоянный множи тель за знак интеграла, получим
t |
|
t = Re J t dt или s = R e it /2. |
(в) |
о
Таким образом, точка движется по окружности радиуса R по закону s=Rel*/2. Скорость точки
o — s = R U |
|
(г) |
|
■ растет пропорционально времени. Далее находим |
|
||
ах = » = /?е, ап = |
о*//? = /?е*Л |
00 |
|
Так как eT=const и знаки v и а%совпадают |
(и>0 и а%> 0), то движение точки |
||
является равноускоренным (см. § 44, п. 4). |
|
|
|
Наконец, по формулам (22) находим |
|
|
|
а = R t V 1 + е*/\ |
tg ц = 1 /е Л |
(е) |
|
Как видим, при <=0 а = ах= Re (а„= 0) и ц = л /2 . Затем со временем величина а |
|||
растет, а угол р между вектором а и радиусом |
окружнЛти |
убывает, стремясь |
|
к нулю. |
|
горизонтально скорость, движет |
|
Задача 53. Точка, получив направленную |
ся по закону, определяемому уравнениями:
x = v j, y=gi*/2,
где VQ и g г— некоторые постоянные.
Найти траекторию, скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нор мальное ускорения и радиус кривизны траектории в любом положении, выразив
их через скорость в этом положении. |
вО второе, |
|
Р е ш е н и е . Определяя из первого уравнения t и подставляя |
||
Получим |
|
|
Траектория точки — парабола (рис. |
129). |
|
Дифференцируя уравнения движения по времени, найдем) |
|
|
ox = i = |
t ’o, vu = y = g tt |
ffi) |
откуда |
_______ |
|
v = V v l+ i'P . |
<«) |
Таким образом, в начальный момент времени (/= 0) скорость точки о = с „ а затем с течением времени скорость непрерывно возрастает.
Наедем ускорение точки. По соответствующим формулам имеемз |
|
ах = х = 0, ау= У=8• |
О») |
Следовательно, ускорение точки |
|
a=g. |
(г) |
В данном случае точка движется с постоянным по модулю я направлению ус* корением, параллельным ося Оу (это ускорение силы тяжести). Обращаем внима ние на то, что хотя здесь а = const, движение точки не является равнопеременным, так как условием равнопеременного движения является не a=const, a aT=const.
В этом же движении, как мы сейчас увидим, ах не посто янно.
Для определения ат воспользуемся формулой (30). Под.
ставляя в нее значения соответствующих величин из ра венств (а) и (в), получим
ax= g 4 /v .
Но из равенства (б) о*=«£+£*<* я, следовательно*
<•=(!/*) Ко*—оJ-
Подставляя это значение t, выразим ах через скорость я
ax= g V l —i&lvK |
(д) |
Отсюда следует, что в начальный момент времени, когда v= vt , et = 0. Затем, с увеличением v значение ах растет и при v-*-oo ax-*-g; следовательно, в пределе величина касательного ускорения стремится к полному ускорению g.
Для нахождения ап обратимся к зависимости a*= aj-|-Оп. Отсюда
вИ> =в* — flj = g*—g* (1 —vS/o*)= g'•oj/o*
fl„= oeg/o. |
(«) |
Таким образом, в начальный момент времени (о=щ ) а „ = ^ , а затем с увеличе нием v значение а„ убывает, стремясь в пределе к нулю.
Для нахождения радиуса кривизны траектории воспользуемся формулой вв=в*/р, откуда
р—o*/an=t)*/o0g.
Вначальный момент времени радиус кривизны имеет наименьшее значение РпИп»
=0#lg, а затем с увеличением v радиус кривизны растет и, следовательно, кривизна
траектории уменьшается. При р-ю о р-*-оо, а кривизна стремится к нулю,
f47*. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
ВПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
Когда точка движется все время в одной и той же плоскости, ее положение можно определять полярными координатами г и ф (рис. 130). При движении точки эти координаты с течением времени изменяются. Следовательно, закон движения точки в полярных координатах будет задаваться уравнениями:
г = Ш . Ф = Ш - |
(31) |
118
Скорость точки численно равна ds/d/, т. е. отношению элемен тарного перемещения ds к промежутку времени df. В данном случае перемещение ds геометрически слагается из радиального перемеще ния, численно равного dr, и поперечного перемещения, перпендику
лярного радиусу ОМ и численно равного „ |
|
||||
г *dtp. Следовательно, сама скорость v будет |
|
||||
геометрически слагаться |
из |
радиальной |
|
||
йкорости vr и поперечной скорости |
vv, |
|
|||
численно равных |
|
|
|
|
|
vr = T t ^ r ' |
Vi = r i$-==rv- |
<32) |
|
||
Так как vr и vv |
взаимно |
перпендику- |
|
||
вярны, то по Модулю |
|
|
0 |
х |
|
v = |
=ж |
-+ г*<р*. |
(33) |
|
Формулы (32) и (33) определяют скорость точки в полярных ко ординатах при плоском движении.
Равенство (33) можно еще получить, выразив через т и <р декартовы координа ты точки в виде (рис. 130):
х — т cos ф, y = r sin ф.
Тогда х = г сое q>— r<psin ф, y = r sin ф +лр cos ф и по формуле (13)
0«=|/"Х* + у * = V Г*+Г*ф*.
Таким же путем, вычислив х и у; можно по формуле (15) найти выражение для ускорения точки в полярных координатах
а = V (г— гф*)* + (гф + 2г ф)*. |
(34) |
При этом величина, стоящая под знаком радикала в первых скобках, равна а „ а во вторых скобках равна Ощ
Глава X.
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
f 48. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
В кинематике, как и в статике, будем рассматривать все твердые тела как абсолютно твердые. Задачи кинематики твердого тела рас падаются на две части:
1) задание движения и определение кинематических характе ристик движения тела в целом; 2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела.
Начнем с рассмотрения поступательного движения твердого тела.
Поступательным называется такое движение твердого тела,
117
при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.
Поступательное движение не следует смешивать с прямолиней ным. При поступательном движении тела траектории его точек мо гут бьгть любыми кривыми линиями. Приведем примеры.
1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно. Прй этом траектории его точек будут пря мыми линиями.
2. Спарник АВ (рис. 131) при вращении кривошипов 0 ХА -и 0 ,5 (0 ,Л = 0 ,А ) также движется поступательно (любая проведенная в нем прямая остается параллельной ее начальному направлению). Точки спарника движутся при этом по окружностям.
Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном двиясении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению ско рости и ускорения.
Д ля доказательства рассмотрим твердое тело, совершающее по ступательное движение относительно системы отсчета Охуг. Возьмем в теле две произвольные точки А и В, положения которых в момент
времени t определяются радиусами-векторами гА и гв (рис. 132); проведем вектор^ А В, соединяющий эти точки. Тогда
гв — гА-\- АВ. |
.(35) |
При этом длина А В постоянна, как расстояние между точками твердого тела, а направление АВ остается неизменным,__так как тело движется поступательно. Таким образом, вектор А В во все
время движения тела остается постоянным (i4B=const). Вследствие этого, как видно из равенства (35) (и непосредственно из чертежа), траектория точки В получается из траектории точки А параллель
ным смещением всех ее точек на постоянный вектор АВ. Следова тельно, траектории точек А и В будут действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми.
Д ля нахождения скоростей точек А я В продифференцируем обе части равенства (35) по времени. Получим
drB/dt = drA/dt + d (AB)/dt.
118
Но производная от постоянного вектора А В равна нулю. Про изводные же от векторов тА и гв по времени дают скорости точек 4 и В. В результате находим, что
»л = va,
г. е. что скорости точек А и В тела в любой момент времени оди наковы и по модулю, и по направлению. Беря от обеих частей полу- <енного равенства производные по времени, найдем:
dvA/di —dvB/dt илИ аА—аa:
Следовательно, ускорения точек А и В тела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению.
Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из найден ных результатов следует, что у всех точек тела их траектории, а также скорости и ускоре ния в любой момент време ни будут одинаковы. Таким образом, теорема доказана.
Скорости и ускорения точек движущегося тела образуют векторные поля— ноле скоростей и поле ускорений точек тела.
Из доказанного следует, что поля скоростей и ускорений точек тела, движущегося поступательно, будут однородными (рис. 133), но вообще не стационарными, т. е. изменяющимися во Времени (см. } 32).
Из теоремы следует также, что поступательное движение тверкогр тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела :водится к задаче кинематики точки, нами уже рассмотренной.
При поступательном движении общую для всех точек тела ско рость v называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение а — ускорением поступательного движения тела. Век-
горы v и а можно изображать приложенными к любой точке Тела. Заметим, что понятия о скорости и ускорении тела имеют смысл
полько при поступательном движении. Во всех остальных случаях гочки тела, как мы увидим, движутся с разными скоростями и ускорениями, и термины «скорость тела» или «ускорение тела» для этих движений теряют смысл.
1 49. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во
119
все время двизкения неподвижными (рис. 134). Проходящая через неподвижные точки А и В прямая А В называется осью вращения.
Так как расстояния между точками твердого тела .должны оста ваться неизменными, то очевидно, чго при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности; плоско сти которых перпендикулярны оси враще
ния, а центры лежат на этой оси.
Для определения положения вращаю щегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось Az, полуплос кость I — неподвижную и полуплоскость. // , врезанную в само тело и вращающую ся вместе с ним (см. рис. 134). Тогда поло жение тела в любой момент времени одно значно определится взятым с соответствую
щим знаком углом <р между этими полуплоскостями, который назо вем угло'м поворота тела. Будем считать угол ср положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положитель ного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол ф будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла <р от времени t, т. е.
Ф =/(/). |
(36) |
Уравнение (36) выражает закон вращательного движения твер дого тела вокруг неподвижной оси.
Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ш и углевое ускорение е*.
Если за промежуток времени At=tx—t тело совершает поворот на угол Д<р=ф!—ф, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет ыср=Дф/А/. В пределе при Дi-*0
найдем, что |
|
— Й - или (В = ф. |
(37) |
Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной 6т угла поворота по времени. Равенство (37) показывает также, что величина о равна отношению элементарного угла поворота <1ф к соответствующему промежутку времени At. Знак со определяет направление вращения
* Подобно тому, как в § 42 мы условились обозначать символом ti числов значение скорости и одновременно ее модуль, здесь со и е будут обозначать число вые (алгебраические) значения угловой скорости и углового ускорения и одно временно их модули, когда-это не может Вызвать недоразумений.
120